A stability problem for a low-height curvilinear porous arch under random loading.pdf В качестве несущих конструкций зданий используются арки различных конфигураций. Повышение надежности арок является актуальным в настоящее время. Решение задачи устойчивости пологой арки, выполненной из сплошного материала, было представлено в ряде работ. С позиций детерминистического нагружения данная проблема рассмотрена в [1, с. 671]. В случае стационарного случайного процесса нагружения устойчивость арки из сплошного материала исследована авторами статьи [2, с. 39]. Настоящая работа авторов является логическим продолжением их предыдущих исследований. В статье рассматривается пологая арка, выполненная из несплошного материала, дается оценка ее надежности и материалоемкости. Распределение пористости по сечению задано параболическим, что близко к рациональному [3, с. 122]. Рассмотрим пологую арку сечения b х h под воздействием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (рис. 1). Арка выполнена из пористого железа. Для модуля Юнга использована эмпирическая формула e = а + a2P+ар1, (1) где P - пористость, а коэффициенты a1, a2, a3 на основе экспериментальных данных составили [4, с. 14] а = 2,092857 • 105МПа , а =-5,35•ІО5МПа , (2) а = 3,21428 -105 МПа . Для сплошного материала модуль Юнга принят равным E = 2,1-105 МПа. (3) Высота арки Y(X) выражается функцией Y = Yl X(2l - X), (4) где 2l - расстояние между опорами, X меняется в пределах 0 < X < 21. 163 Рис. 1. Область решения задачи Fig. 1. Problem solution region Механика / Mechanics Рис. 1. Схемы нагружения арки (слева) и поперечного сечения арки (справа) Fig. 1. Schemes of the arch loading (on the left) and arch cross-section (on the right) Степень надежности арки соответствует вероятности того, что за время эксплуатации арки T нагрузка q ни разу не превысит критической. Под критической нагрузкой q^ понимаем нагрузку, при которой происходит скачкообразное изменение прогиба с выпуклостью арки в обратную сторону. Надежность при этом определяется формулой [5, с. 58] H = exp (5) где f функция, связывающая критическую силу со скоростью измене ния действующей силы, q - производная действующей интенсивности нагрузки по времени. Формула надежности в случае нормального стационарного процесса q(t) имеет вид [5, с. 62]: H = exp Гст Я (зіф - тч) 2 ~ ехр 2яад L 2а) J (6) где и. - среднеквадратическое отклонение скорости изменения критической силы, а - среднеквадратическое отклонение действующей силы. На основе экспериментальных исследований корреляционная функция процесса может быть представлена формулой [5, с. 128] Кч (Х) = а2е~“°Н I cos РоT + ^sin р0 |х| V ро где 0(0, Рѳ - эмпирические коэффициенты. Используя (7), запишем формулу надежности (6) в виде: (7) H = exp т а2 +Р2 ()кр - m) ) 2 exp 2% l_ 2а2) \\ (8) 164 Шляхов С.М., Кривулина Э.Ф. Задача устойчивости криволинейной арки малого подъема После определения величины критической нагрузки qKp может быть найдена искомая надежность. Гарантию надежности обеспечивает условие H > Ннорм • (9) Здесь Янорм - нормативная надежность для конструкций заданного типа. Для определения критической нагрузки q^ используем принцип минимума полной потенциальной энергии системы [1, с. 672]. Геометрия арки в деформированном состоянии отражена на рис. 2. Характеристики перемещений следующие: w - вертикальное перемещение, и - горизонтальное перемещение, Д - угол поворота сечения. Рис. 2. Геометрия деформирования арки Fig. 2. Arch deformation geometry Для случая малых деформаций угол поворота Д и изменение кривизны к представим в виде: Д = w', к = Д' = w". (10) В этом случае продольная деформация е будет следующей: (11) du ( $ е = + ДІ Ө + dx ^ 2 Окончательно полная потенциальная энергия системы равна I f I I U = - 1*1 к2dx + * 1е2 dx + qI wdx . (12) 2 0 2 0 0 Первое слагаемое в формуле (12) представляет собой энергию изгиба, второе является энергией растяжения-сжатия, а третье слагаемое соответствует потенциалу внешних сил: 165 Механика / Mechanics I, = 2b j E(y)y1 dy, F = 2b j E(y)dy . 0 0 Выразим перемещения u, w в виде формул [1, с. 672] w = Ax (2l - x) , u = B i1 - x)-jr (l - x) где A - параметр, B - константа. Учитывая (14), а также (4), (10) и (11), найдем к = -Э' = -2А, s = -B + Выполняя интегрирование (12), получим U = 12 A2l + F* 2 (l - xY B2l - - l3B {4аЗ- + 2А1 + У B- - 3 I l2 2 2 5 После преобразований из (16) следует 8 -ql2 = 62 + 8FF4| + A II 8 + -A |. -qA-l3 3 (13) (14) (15) (16) (17) Максимальный прогиб арки при х = l равен (18) f = -Al2. Следовательно, A = - f/l2 . Используя (17) и (18), находим зависимость между распределенной нагрузкой q и прогибом f в виде: Ih h 6+Ft y - f )iY° (19) Потеря устойчивости арки будет наблюдаться при условии q = q^, что соответствует первому экстремуму функции (19). Поскольку потеря устойчивости сопровождается изгибом арки, представляется целесообразным увеличить пористость в зоне малых нормальных напряжений при приближении к центру тяжести поперечного сечения. Примем распределение пористости по сечению (рис. 3) в виде функции [6, с. 111] P = Po У УУ'I (20) где Р0 - пористость в центре тяжести сечения. В соответствии с (20), учитывая (1), получаем распределение модуля Юнга по высоте поперечного сечения E(y) = a + a2ро--422азр02. (21) Упруго-геометрические параметры һ и F имеют вид: I = - ia + 0.2aP + 0.114285aP2) , 12 V 1 2 0 3 0 ' (22) F = bhia + 0.6666a2P0 + 0.53333a3P02) . 166 Шляхов С.М., Кривулина Э.Ф. Задача устойчивости криволинейной арки малого подъема В качестве расчетного примера рассмотрим арку, для которой b х h = 5 х 5 см, l = 3 м, ү = 10 см, Р = 0.2 . Соответственно, будем иметь I = 0.098622 МНхм2, F = 362.022484 МН. Fig. 3. Porosity distribution along the cross-section Обозначим ql4 Th x = f h (23) На основании (22), (23) функция (19) примет вид: m = Х(6 + 9788.7785(0.1-Ж05)(0.1-Ж025)) . (24) Выполняя вычисления для сплошного и пористого сечений, получим следующую таблицу, из которой найдем экстремальное значение ю и, соответственно, значение q^. Параметры сплошного и пористого сечений max 7 0.75 0.9 0.95 юспл 53.25 54.504 54.378 Юпор 41.815 42.952 42.926 Для сплошного сечения арки получим 54 04ЕІҺ q^™ = -174-= 3679.86-10-6 МНм . Для пористого сечения будем иметь 42 952І Һ q^ = ^29^ = 2614.83-10-6 МН/м. Даны следующие параметры нагрузки: - интенсивность распределенной нагрузки q с математическим ожиданием m = 1530 Нм; - cреднее квадратичное отклонение нагрузки ст = 150 Нм ; 167 Механика / Mechanics - срок эксплуатации арки T = 10 лет = 315 • 106 с ; - параметры случайного процесса а0 = 0.3 с-1, ро = 0.4 с-1. - нормативная надежность Ннорм = 0.999 . По формуле (8) определим надежность арки пористой структуры: нпор = exp 315-106 • 0.5_ ( ^2614.83-1530 У 1Y 2 • 3.14 V К V 150 J 2)) = 0.999889. Полученная надежность больше нормативной: Нпор = 0.999889 > = 0.999, значит эксплуатационная надежность обеспечена. Детерминистический коэффициент запаса устойчивости пористой арки равен ny = m 2614.8 1530 = 1.71. Оценим теперь надежность сплошной арки: нспл = exp 315-106 • 0.5 2 • 3.14 ( exp V 3679.86-1530 'і2 1^ 150 =1. Как показало сравнение обеих надежностей, они практически равны. Пористая арка лишь незначительно уступает сплошной. Выясним материалоемкость пористой и сплошной арок. Для сплошной арки площадь поперечного сечения A^ = bh . Для пористой арки часть площади, занятая порами, равна Лор = 2bIP(y)dy = 2bIPo (1 --y2)dy = 0.666Pohb . 0 0 h Оценим рациональность конструкции: 4о, A = -^ • 100% = 0.666 • 0.2 • 100 = 13.3%. Аспл Таким образом, надежность пористой арки остается практически такой же, как у сплошной, однако материалоемкость снижается при этом на 13.3%.

Скачать электронную версию публикации