Finite groups with permuted strongly generalized maximal subgroups.pdf Введение Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Напомним ряд основных понятий, используемых в работе. Подгруппа A перестановочна с подгруппой B в группе G, если AB = BA. Группа Шмидта - это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Рассмотрим ряд подгрупп вида G3 < G2 < G3 < G, где G1 - максимальная подгруппа в G, G2 - максимальная подгруппа в G1, G3 - максимальная подгруппа в G2. Тогда G2 и G3 называются 2-максимальной подгруппой и 3-максимальной подгруппой в G соответственно. Кроме того, некоторая подгруппа группы G называется строго /-максимальной, если она i-максимальна в G, но при этом не является i-максимальной ни в одной собственной подгруппе группы G для i > 2. В данной статье рассматривается одно из направлений теории групп, связанное с анализом вопроса: как на строение группы влияет наличие в ней некоторых систем перестановочных подгрупп? Отметим, в частности, работы [1, 2], в которых получено строение групп, в которых любая 3 -максимальная подгруппа перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами или со всеми максимальными подгруппами. Опираясь на эти результаты, на Гомельском алгебраическом семинаре (2005) В.С. Монаховым и О.И. Тавгенем были сформулированы задачи описания точного строения групп с перестановочными 2-максимальными подгруппами, а также групп с перестановочными 3-максимальными подгруппами. Эти две задачи в ненильпотентном случае были решены в работе автора [3]. В связи с последним результатом возникает вопрос описания ненильпотентных групп с перестановочными строго i-максимальными подгруппами, который был решен автором в классе разрешимых групп для i = 2, 3 в недавней работе [4]. В частности, было доказано, что класс ненильпотентных разрешимых групп с перестановочными i-максимальными подгруппами совпадает с классом ненильпотентных разрешимых групп с перестановочными строго i-максимальными подгруппами (i = 2, 3). 27 Математика / Mathematics Данная работа посвящена описанию структуры групп, в которых любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 3-максимальной подгруппой. Доказано, что класс групп с указанным свойством совпадает с классом групп, в которых любая 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной 3-максимальной подгруппой, и, как следствие, такие группы являются разрешимыми. Данный результат позволяет усилить формулировки основных теорем более ранней работы [1], заменив условие перестановочности всех 3-максимальных и 2-максимальных подгрупп на условие перестановочности только строго 3-максимальных и строго 2-максимальных подгрупп. В качестве вспомогательных результатов в работе описано также строение групп, в которых каждая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой. Показано, что класс таких групп совпадает с классом групп, в которых любая 2-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами, и, как следствие, такие группы являются сверхразрешимыми. 1. Вспомогательные результаты и условные обозначение Приведем основные обозначения и результаты, используемые в работе. Пусть G - группа. Тогда: |G| - порядок группы G; F(G) - подгруппа Фиттинга группы G, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы G; Op(G) - наибольшая нормальная p-подгруппа группы G; \\G : Н| - индекс подгруппы H в группе G; MG = CoreG (Н) - ядро подгруппы M в группе G, т.е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с M в группе G; [N]M - полупрямое произведение нормальной подгруппы N группы G и подгруппы M группы G; G' - коммутант группы G, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы G; Z(G) - центр группы G; Ф^) - подгруппа Фраттини группы G, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы G; (х) - циклическая подгруппа, порожденная элементом х. Лемма 1.1 [5. Леммы 1.43, 1.44]. Пусть А и B - собственные подгруппы группы G. Тогда: (1) Если G = AB, то G = АВх для всех х е G; (2) G Ф ААх для всех х е G. Лемма 1.2 [6. Гл. VI, теоремы 26.1, 26.2]. Если G - группа Шмидта, тогда: (1) g=[ р]( a , где P и a - силовские p-подгруппа и q-подгруппа группы G, соответственно; (2) G имеет в точности два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются группы P(aq} и Pа); (3) G' = P; 28 Горбатова Ю.В. Конечные группы (4) Ф(О) = Z(G) = P'х(aq) ; (5) P / Ф(Р) - главный фактор группы G, причем если |P / Ф(Р)| = ра , то pa сравнимо с единицей по модулю q; (6) Наибольшая нормальная подгруппа группы G, строго содержащаяся в P, совпадает с Ф(P) = P' = Cp (a) ; (7) Если P абелева, то она элементарна; (8) Если P неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппа Фраттини совпадают и имеют экспоненту р. Лемма 1.3 [7. Следствие 2.5]. Предположим, что группа G не является нильпотентной. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) в группе G каждая 2-максимальная подгруппа нормальна; (2) в группе G каждая строго 2-максимальная подгруппа нормальна; (3) в группе G каждая 2-максимальная подгруппа S-квазинормальна; (4) в группе G каждая строго 2-максимальная подгруппа S-квазинормальна. Лемма 1.4 [7. Теорема 2.1]. Пусть G - ненильпотентная группа. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) G является группой Шмидта, нормальная силовская подгруппа которой имеет простой порядок; (2) каждая 2-максимальная подгруппа группы G нормальна; (3) каждая строго 2-максимальная подгруппа группы G S-квазинормальна. Теорема 1.1 [1. Теорема 2.4]. Каждая максимальная подгруппа группы G перестановочна с каждой 2-максимальной подгруппой из G в том и только в том случае, когда G либо нильпотентна, либо G является сверхразрешимой группой порядка |G| = pqa такой, что силовская q-подгруппа Q = (х) из G является циклической и Q, = ^ х“-1). Теорема 1.2 [1. Теорема 3.5]. Пусть G - конечная ненильпотентная группа. Тогда каждая 2-максимальная подгруппа из G перестановочна со всеми 3-макси-мальными подгруппами из G в том и только в том случае, когда либо Gl = paqtг 1, где p, q, r - различные простые числа и а + Р + у< 3, либо G является группой одного из следующих типов: (1) G - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами и |G| = pa q , где a + b > 3; (2) G = [P\\Q - группа Шмидта, где P - группа кватернионов порядка 8 и Q -группа порядка 3, либо G - сверхразрешимая группа одного из типов: (3) G = [P]Q и Q: CQ(P)| = q , где P - группа простого порядка p Ф q, Q -нециклическая группа с порядком |Q| = qa (a > 2) и все максимальные подгруппы из Q, отличные от Cq(P), являются циклическими; (4) G = [P] Q, где P - группа порядка р2 (р - простое число), все максимальные подгруппы из P нормальны в G, Q = (а) - циклическая q-группа (q Ф p) с порядком |Q| > q и C(P) = (aq^ ; 29 Математика / Mathematics (5) G = [P] Q, где P = (a) - циклическая группа порядка p3 (p - простое число), Q - группа простого порядка q Ф p и Ca (a2) = P ; (6) G = [P x Q ] R , где P - группа простого порядка p, Q - группа простого порядка q Ф p, R - циклическая группа порядка |R| = ra (a > 1), R не является нормальной в G, но всякая максимальная подгруппа из R нормальна в G. 2. Структура групп, для которых любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой Лемма 2.1. Пусть G - примитивная разрешимая группа. Тогда и только тогда в группе G любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой, когда G = [N]M причем N и M - группы различных простых порядков. Доказательство. Необходимость. Пусть G - примитивная разрешимая группа, в которой любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой. Тогда, в силу строения примитивных групп (см.: [8. Ch. А, 15.6 Theorem]), имеем G = [N]M, где N = F(G) = Op(G) = Ca(N) и M - максимальная подгруппа из G с единичным ядром. Пусть M1 - максимальная подгруппа в M. Тогда M1 является 2-максимальной подгруппой в G. Предположим вначале, что M1 - строго 2-максимальная подгруппа в G. Тогда, в силу условия леммы, получаем MXM < G для всех элементов x е G. Следовательно, имеет место ряд подгрупп M < < G. В силу мак симальности M в G, имеем либо MXM = M, либо MXM = G. Если MXM = G, то MxM = G, что противоречит лемме 1.1 (2). Следовательно, MXM = M . Это влечет M х < M для всех x е G. Следовательно, M < Ma = 1. Предположим теперь, что M1 не является строго 2-максимальной подгруппой в G. Это означает, что в группе G существует некоторая строго 2-максимальная подгруппа T, содержащая Мі. Тогда Mx < M п T и имеет место ряд подгрупп M1 < M п T < M. В силу максимальности М1 в М имеем либо M1 = M п T, либо M п T = M . Если M п T = M , то M < T, что противоречит максимальности M в G. Следовательно, Mx = M п T. Так как T - строго 2-максимальная подгруппа в G, то, по условию, TxM < G для всех элементов x eG. Следовательно, имеет место ряд подгрупп M < TxM < G. В силу максимальности подгруппы М в G, имеем либо TxM = M, либо TxM = G. Если TxM = M, то Tx

Скачать электронную версию публикации