Rotation of supermolecules around an intermediate axis of inertia.pdf Введение Существует два основных подхода в описании вращательного движения тел, в частности супермолекул. Первый - подход Эйлера. В этом подходе уравнения теоремы о кинетическом моменте рассматриваются в подвижных осях, и вводятся в рассмотрение углы Эйлера (углы, определяющие взаимное расположение подвижного и неподвижного базисов). Причем углы Эйлера находятся из так называемых кинематических соотношений Эйлера, которые имеют координатную особенность при значениях углов нутации, кратных п. Кроме того, подход Эйлера имеет такое свойство, как «блокировка осей», и результат будет зависеть от выбора порядка осей, вокруг которых осуществляются повороты. Общий случай этого подхода описан в [1]. В работах [2-5] представлены примеры применения этого подхода в молекулярной динамике. Второй способ описания вращательного движения можно назвать подходом Гамильтона [6]. Он опирается на использование гиперкомплексных чисел в четырехмерном пространстве, т.е. кватернионов. Эти числа позволяют проще комбинировать вращения и избежать проблем с особенностями представления поворотов в пространстве. Однако при практической реализации требуется использование в вычислительных системах встроенной алгебры гиперкомплексных чисел. Коме того, кватернионы могут становиться недействительными из-за ошибки округления чисел с плавающей запятой (эту «вкравшуюся ошибку» можно устранить ренормализацией кватерниона). Еще одним препятствием для применения кватернионов может быть высокая сложность их понимания. В работах [7-11] кватернионы использовались в расчетах 50 Бубенчиков М.А., Мамонтов Д.В., Ажеев С.А., Ажеев А.А. Вращение супермолекул молекулярной динамики. В настоящей работе представлен способ расчета вращения супермолекул без использования кватернионов и углов Эйлера. Вполне сформировавшейся к настоящему времени является проблема расчета инерциального вращения объектов с применением высокоточных алгоритмов, использующих идею пересчета на каждом шаге по времени. Надежный метод Рунге-Кутты разработан и применяется лишь для решения эволюционных задач. В рассматриваемой ситуации основное уравнение вращательного движения не имеет формы, содержащей производную по времени, поскольку записывается в виде алгебраических соотношений, определяющих постоянство проекций кинетического момента на оси абсолютного базиса. Эволюционными являются лишь кинематические соотношения для скоростей узлов супермолекулы. Эти уравнения мы интегрируем на каждой четвертой шага стандартного метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности и находим новые значения координат узлов. В то же время в каждой промежуточной позиции отдельного шага по времени из решения алгебраической системы уравнений постоянства кинетического момента мы определяем новые проекции мгновенной угловой скорости супермолекулы. После этого по новым значениям проекций скорости поворота и координат узлов находятся значения величин на полном шаге по времени. Математическое описание вращательной динамики супермолекулы Рассмотрим уравнение для кинетического момента K в абсолютном базисе. Согласно теореме об изменении момента количества движения для неизменяемого тела (1) dK _ j( e ) dt Здесь L - главный момент внешних сил. В задачах об инерционном движении супермолекул Le'> = 0 . По определению K = ^ r х mvt, (2) где Гі - радиус точки тела (в углеродных супермолекулах это радиус атома углерода), Ѵі - скорость этой точки, m - масса атома углерода. Если супермолекула вращается с угловой скоростью ш, то скорость ее отдельной точки будет определена следующим соотношением: у. = ю х г. (3) Раскрывая векторное произведение, можно записать: ю х r і j k ® ® ® x У z xi Уі z = І (®yZi - ®гУ, ) + j (®zXi - ®xZi ) + k (®хУі - ®yXi ) . Здесь использовано, что вектор угловой скорости и радиус-вектор атома углерода в углеродной конструкции имеют следующие проекции на оси абсолютного базиса: ю = (®x > ®у > ®z ) > Г = (Xi > Уі , zi ). Если подставить (3) в (2), то кинетический момент K будет определяться двойным векторным произведением векторов rt, юі, rt. Раскрывая это произве-51 Механика / Mechanics дение по известной формуле и заменяя скалярные произведения через координаты, получим К = т[toY(x[ +УІ + z[)-YГ + ыуУі + ®zz,)]. (4) Проецируя полученное выражение на неподвижные оси, найдем Kx = т[ыхY([ + [[[ -[yY[У, -[Y[[ ]e (5) Ку = т [-m [ хіУі +[y [[ + х,)-а2 [ у[, ], (6) Кг = т[-mY2іхі-ыуЦУ -Лі =ю21 X1 -юх1 Z1= Cl =юхьУі -юу1 X1. (21) По формулам Рунге-Кутты четвертого порядка точности вычисляются значения координат во второй позиции шага по времени: (22) n Atn At n At X2 = X + ^1’ У2 = У +уЛ1> Z2 = Z + yCp После этого из системы (14)-(16) находятся юх2, ю 2, юг2. Когда проекции угловой скорости во второй позиции найдены, можно вычислить , ц2, С2: ^2 =Юу2Z2 -Ю22У2’ Л2 =Ю22Х2 -Юx2Z2’ C2 = Юх2У2 -Юу2X2. (23) Третья позиция по координатам определяется формулами (24) n At n At n At X3 = X + y^2’ Уз = У +уЛ2’ Z3 = Z + ^2 Далее из (14)-(16) находим юі3, ю^3 = юг3 и вычисляем , ц3 , С3 : ^3 =ЮУ3Z3 -Ю23Уз’ Лз =ю23Х3 Юх3Z3’ С3 =Юх3Уз -Юу3X3. (25) Тогда четвертая позиция по координатам будет следующей: X = xn + At^3, ’ = уп + Atp3, ’ = Zn + At’ (26) По значениям х4, y4, z4 из (14)-(16) находим юхЛ, ю Л, юг4 и после этого ^4 = ЮУ4Z4 -Юz4У4’ Л4 = Юz4X4 Юх4Z4’ С4 = Юх4У4 -ЮУ4X4. (27) Теперь можно найти значения координат на следующем шаге по времени: xn+1 = xn + A & + 2^2 + 2^3 +^4); 6 У+1 = У + -(л + 2ц2 + 2Цз +ц4); (28) 6 Zn+1 = Zn +At (С1 + 2С 2 + 2С 3 +С 4 ). 53 Механика / Mechanics ”+1 x 5 Значения проекций угловых скоростей на очередном шаге по времени ю

Скачать электронную версию публикации