Optimization of a program for launching the payload on a specified trajectory.pdf Введение Постоянный рост заказов на выведение искусственных спутников Земли приводит к ежегодному дефициту ракетоносителей (РН) порядка нескольких десятков единиц. В литературе рассматривается идея использования в качестве РН баллистических ракет (БР), снятых с вооружения. К преимуществам использования БР в качестве РН следует отнести низкую стоимость и малые сроки их переоборудования, возможность обеспечения высокой надежности, широкие возможности варьирования траекториями выведения полезной нагрузки (ПН). Однако в связи с тем, что параметры траекторий выведения ПН отличаются от параметров баллистических траекторий, возникает необходимость доработки снимаемых с вооружения БР при переоборудовании их под РН; в частности, необходимо доработать логику функционирования их систем управления [1, 2]. Цель данной работы - исследование возможности выведения ПН на круговые орбиты при использовании в качестве РН гипотетической БР, снятой с вооружения, определение диапазона масс ПН, разработка и оптимизация программы выведения, позволяющей осуществить как прямой вывод ПН на круговую орбиту, так и вывод с использованием промежуточной эллиптической орбиты. Постановка задачи Следует представить вывод уравнений, описывающих движение РН в инерциальной геоцентрической системе координат. Рассматривается движение в плоскости стрельбы. Кажущиеся ускорения РН в системе координат, связанной с продольной осью ракеты, описываются следующими уравнениями [3]: 60 Глазунов А.С., Сизова А.А., Петрова И.Л. Оптимизация программы выведения полезной нагрузки (1) w = ((t)-\\( (h,М)р(h) V2Sm j/mj); w, =[ 1 c*(M )арѴ2 Sm j / m (t); w2 = 0, где P(t) - сила тяги ракетного двигателя; cx0(h, M) - коэффициент лобового сопротивления; p(h) - плотность воздуха; V - модуль скорости движения РН относительно атмосферы Земли; Sm - площадь миделевого сечения РН; m(t) - масса РН; cya(M) - производная коэффициента подъемной силы по углу атаки a; M -число Маха; h - высота полета РН. Для перехода к стартовой системе координат необходимо сделать один поворот вокруг оси zc стартовой системы координат на угол тангажа 9. Матрица перехода следующая: cos Q - sin Q 0 sin Q cos Q 0 0 0 1 (2) Чтобы получить проекции кажущегося ускорения в инерциальной геоцентрической системе координат, осуществляются три поворота в следующей последовательности: на угол широты ф, на угол долготы X и на угол азимута А. Матрица перехода выглядит следующим образом: - sin ф cos X cos A - sin X sin A cos ф cos X sin ф cos X sin A - sin X cos A C = sin ф sin X cos A + cos X sin A cos ф sin X cos ф cos A sin ф sin ф sin X sin A + cos X cos A - cos ф sin A . (3) В результате проекции кажущегося ускорения в инерциальной геоцентрической системе координат wu = C ■ B ■ w. (4) Для получения абсолютных ускорений необходимо к кажущемуся ускорению добавить ускорение силы тяжести Земли. В качестве модели Земли выбран эллипсоид вращения, гравитационное поле которого описывается зональными гармониками до четвертой включительно. Гравитационное ускорение в соответствии с моделью нормального гравитационного поля Земли рассчитывается по формуле [3] g ==-М {о-+р)г-г+Ар ■*^}, (5) здесь fM - произведение гравитационной постоянной на массу Земли, r - вектор координат центра масс ракеты, ёт = (0,0,1) - орт оси вращения Земли, s = -ёш = z, p = 1.5a2 {J20(1 -) -1.875J40a?(1 - 14d + 21d2)}, Ap = a- {3J20 - 2.5J40a- (3 - 7d)}, a2 = 2 I , d = s2, (6) 61 Механика / Mechanics где a - экваториальный радиус Земли, J20 и J40 - коэффициенты второй и четвертой гармоник потенциала гравитационного поля. В результате система уравнений, описывающая движение РН в инерциальной геоцентрической системе координат, имеет вид [3]: < dVx. dt V dt dVz dt = w + g xu ox = w + g ; yu oy > = w + g zu z dx = V . dt x ’ ± = V dt y ’ (7) =V dz dt где Wxu, Wyu, wZu - проекции кажущегося ускорения на оси инерциальной геоцентрической системы координат, gx, gy, gz - проекции гравитационного ускорения, Vx, Vy, Vz - проекции скорости РН в инерциальной геоцентрической системе координат. Требуется определить и оптимизировать программу выведения ПН на заданную круговую орбиту. Разработка и оптимизация программы выведения Выведение РН условно разбивается на два участка: выход из атмосферы и участок выведения. На обоих участках используется программа управления, в которой параметром является угол тангажа 9. Программа выхода из атмосферы выглядит следующим образом: & = л /2, если 0 < T < t0z; & = л /2 - dZ • (T - t0z), если t0z < T < t0z + tz; & = л/2-dZ • t если t0z + tz < T < toz + tz + tуд ; & = Ѳ + а, где a = астя6 • e -kz +'уд )) (8) если toz + tz + ^ < T < t0z + tz + ^ + ^аб ; & = Ѳ, если L +1 +1 +1 , < T < t 0z z уд стаб аз Здесь T - время полета; t0z - время вертикального взлета; tz - время «заклона»; dZ -угловая скорость «заклона»; tуд - время удержания угла тангажа для стабилизации переходных процессов (задается жестко, не более одной секунды); Ѳ - угол наклона вектора скорости к местному горизонту; 4таб - время специального управления, при котором происходит медленное уменьшение угла атаки а; астаб -угол атаки на момент окончания удержания угла тангажа; к - коэффициент при управлении по углу атаки; tатм - момент выхода из атмосферы. 62 Глазунов А.С., Сизова А.А., Петрова И.Л. Оптимизация программы выведения полезной нагрузки Во время полета в атмосфере в момент /и происходит разделение первой и второй ступеней. Здесь tk1 - время окончания работы первой ступени. Разделение происходит во время гравитационного разворота при небольших угловых скоростях вращения РН, при этом угол тангажа продолжает плавно изменяться. Так как задачей является выведение ПН на орбиту, то вектор скорости при выходе из атмосферы должен быть направлен как можно ближе к касательной к Земле. Однако ограничение на величину скоростного напора при разделении первой и второй ступеней накладывает граничное условие «снизу» на угол наклона вектора скорости в момент выхода из атмосферы. Таким образом, требуется определить время «заклона» 4, обеспечивающее выведение на минимальный угол наклона вектора скорости, при котором соблюдается ограничение по скоростному напору. Данная задача решается с помощью метода Ньютона: (9) д, =де»,„ дК где Qak1 - величина скоростного напора в момент отделения первого разгонного блока. После успешного выхода из атмосферы начинается участок выведения, в котором варьируемыми параметрами программы управления являются начальный угол тангажа $0 и скорость изменения угла тангажа d&. Граничными условиями, необходимыми для нахождения указанных параметров, являются угол наклона вектора скорости в конце работы третьей ступени (должен быть равен нулю) и конечное значение модуля вектора скорости. Данная задача является двухпараметрической и также решается методом Ньютона: да ^ дэ„ да„ дК дЭ, ^ ДЭ0 + 0 д( d Э) дУл з д( d Э) Д( d Э) = ДѲ k: Д( d Э) = ДКл: (10) где Ѳк3 - угол наклона вектора скорости в момент времени окончания работы третьей ступени tk3, Vk3 - модуль скорости в момент времени окончания работы третьей ступени. Программа управления для участка выведения с учетом найденных параметров $о и d$ выглядит следующим образом: Э = Э„ + dЭ- (T -t ), если t 0 ѵ атм' ’ аз Э = Э0 + dЭ- (tk2 - tks - tатм X если Э=Э0 + ЭГ + d Э-(T - tks - Хтм X если Э = Э0 + Э + d Э-(tk3 - 2 - tks - tатм X если < T - tk 2 - tks ; tk 2 - tks < T - tk 2 ; tk 2 < T - tk 3 - tks ; (11) tk 3 tks < T - tk 3, где tk2 - время окончания работы второй ступени, tk3 - время окончания работы третьей ступени, tks - время удержания угла тангажа, - добавка к углу тангажа. Результаты моделирования Расчеты производились для гипотетической РН со следующими параметрами: m0 = 60 т - стартовая масса, mc1 = 500 кг/c - массовый расход первой ступени, 63 Механика / Mechanics тс2 = 150 кг/c - массовый расход второй ступени, mc3 = 50 кг/c - массовый расход третьей ступени, ue = 2 800 м/с - эффективная скорость истечения газов, Sm = 3 м2 -площадь миделевого сечения для всех ступеней, cx ~ 0.2 - среднее значение коэффициента лобового сопротивления, с/ = 0.04 1/рад - среднее значение производной коэффициента подъемной силы по углу атаки. Моменты переключения программы управления были выбраны следующие: toz = 0.5 с, /уд = 0.6 с, 4тм = 90 с, tki = 60 с, fe = 133 с, fe = 176 с, /ь = 10 с. При расчетах космическим пространством принималась высота выше 100 км, поэтому если конечная высота выведения оказывалась ниже 100 км, то задача считалась нерешенной. Для определения массы ПН при решении задачи выведения на круговую орбиту использовался итеративный перебор, который заключался в следующем: некоторая начальная масса ПН постепенно уменьшалась на величину Дт,- (Дт1 = = -100 кг, Дт2 = -200 кг и т.д.), и с ней решалась задача выведения. Сначала шаг изменения массы выбирался около 100 кг, затем границы уточнялись с шагом 10 кг и 1 кг. В результате были получены минимальная и максимальная масса ПН, которую РН сможет вывести на заданную круговую орбиту. Для решения задачи выведения РН на круговую орбиту была написана программа на языке C++. Алгоритм программы заключается в следующем: 1. Задается вектор приращений Дт,, которые по очереди подаются в алгоритм. 2. С заданными начальными условиями выполняется расчет вертикального участка движения РН. 3. С начальными условиями, полученными в конце вертикального участка, решается однопараметрическая задача Ньютона и определяется время «заклона» РН. 4. С полученным временем «заклона» выполняется расчет движения РН до момента выхода из атмосферы. 5. С начальными условиями, соответствующими моменту выхода из атмосферы, решается двухпараметрическая задача Ньютона и определяются параметры 80 и d8. 6. Если двухпараметрическая задача Ньютона сходится, то выполняется расчет участка выведения, запоминается масса полезной нагрузки, и работа программы возвращается к п. 2; 7. Если двухпараметрическая задача Ньютона не сходится, то возвращаемся к п. 2, выбирая следующее приращение. Результат вычислений диапазона масс ПН, которую РН способна вывести на круговую орбиту, представлен в табл. 1-3. Таблица 1 Вариация массы ПН с шагом 100 кг Дт, кг Задача Ньютона Время заклона, с Начальный тангаж, ° Производная тангажа, °/с Высота на момент конца работы 3-й ступени, км -700 Не сошлась 1.329 - - - -800 Сошлась 1.322 -22.3 0.008 122.7 -900 Сошлась 1.318 -39.3 0.417 102.3 -1000 Не сошлась 1.311 - - - 64 Глазунов А.С., Сизова А.А., Петрова И.Л. Оптимизация программы выведения полезной нагрузки Т аблица 2 Вариация массы ПН с шагом 10 кг Am, кг Задача Ньютона Время заклона, с Начальный тангаж, ° Производная тангажа, °/с Высота на момент конца работы 3-й ступени, км -780 Не сошлась 1.328 - - - -790 Сошлась 1.326 -18.2 -0.092 127.8 -910 Сошлась 1.315 -40.5 0.446 100.9 -920 Не сошлась 1.312 - - - Таблица 3 Вариация массы ПН с шагом 1 кг Am, кг Задача Ньютона Время заклона, с Начальный тангаж, ° Производная тангажа, °/с Высота на момент конца работы 3-й ступени, км -784 Не сошлась 1.327 - - - -785 Сошлась 1.326 -13.9 -0.191 133.1 -916 Сошлась 1.317 -41.3 0.463 100.1 -917 Не сошлась 1.317 - - - На рис. 1-6 представлены результаты моделирования для максимальной и минимальной массы ПН при выведении на круговые орбиты. Рис. 1. Зависимость углов тангажа и наклона вектора скорости от времени для максимальной полезной нагрузки Fig. 1. Dependence of the pitch angle and the velocity vector inclination angle on time for the maximum payload 65 Механика / Mechanics Рис. 2. Зависимость углов тангажа и наклона вектора скорости от времени для минимальной полезной нагрузки Fig. 2. Dependence of the pitch angle and the velocity vector inclination angle on time for the minimum payload Рис. 3. Зависимость высоты от времени для максимальной полезной нагрузки Fig. 3. Dependence of the altitude on time for the maximum payload Рис. 4. Зависимость высоты от времени для минимальной полезной нагрузки Fig. 4. Dependence of the altitude on time for the minimum payload 66 Глазунов А.С., Сизова А.А., Петрова И.Л. Оптимизация программы выведения полезной нагрузки Рис. 5. Зависимость инерциальной скорости от времени для максимальной полезной нагрузки Fig. 5. Dependence of the inertial velocity on time for the maximum payload Рис. 6. Зависимость инерциальной скорости от времени для минимальной полезной нагрузки Fig. 6. Dependence of the inertial velocity on time for the minimum payload Исходя из результатов исследований, можно сделать вывод, что прямое выведение на круговую орбиту возможно для весьма ограниченного диапазона масс ПН. Скорректируем предъявляемые граничные условия и поставим задачу следующим образом. Требуется определить программу управления, которая позволит вывести ПН на промежуточную эллиптическую орбиту, используя весь запас характеристической скорости РН. Далее ПН переводится на заданную круговую орбиту с помощью дополнительного импульса двигателя ступени разведения, приложенного в апогее эллиптической орбиты. При этом ограничение на конечную скорость выведения снимается, и ставится задача найти ее максимум. Алгоритм поиска программы управления для вывода на промежуточную эллиптическою орбиту ПН заданной массы заключается в следующем: 1. Задается некоторое начальное ограничение на скорость РН в конце работы третьей ступени, к примеру первая космическая скорость, и проверяется сходимость описанной выше двухпараметрической задачи Ньютона. 67 Механика / Mechanics 2. Скорость увеличивается с шагом 100 м/с, и определяется максимальное значение скорости РН в конце работы третьей ступени, при котором двухпараметрическая задача Ньютона сходится. 3. Если конечная скорость на участке выведения начинает превышать вторую космическую, то расчет останавливается. Для решения данной задачи была написана программа на языке C++. В ходе решения задачи была также произведена оценка импульса Д/ двигателя ступени разведения для перевода ПН на круговую орбиту. В табл. 4 приведены результаты моделирования выведения ПН различной массы на эллиптические орбиты. При расчетах некоторая начальная масса ПН постепенно уменьшалась на величину Дт,-. Т аблица 4 Влияние начальной массы ПН на конечную скорость Дт, кг Задача Ньютона Высота апогея, км Ф о о d8, °/с Д/, м/с Конечная скорость, м/с -700 Не сошлась - - - - - -800 Сошлась 122.7 -22.3 0.007 -4.171 7 836.515 -900 Сошлась 456.4 -30.1 0.198 94.839 7 942.218 -1 000 Сошлась 1 223.2 -25.0 0.077 285.215 8 138.184 -1 100 Сошлась 2 106.6 -20.3 -0.034 465.135 8 334.230 -1 200 Сошлась 3 130.2 -17.6 -0.093 634.361 8 531.780 -1 300 Сошлась 4 319.0 -20.1 -0.033 792.433 8 733.519 -1 400 Сошлась 5 818.6 0.8 -0.514 938.019 8 914.746 -1 500 Сошлась 8 517.3 -9.4 -0.269 1 133.401 9 223.326 -1 600 Сошлась 11 010.2 5.9 -0.608 1 243.622 9 408.338 -1 700 Сошлась 17 928.5 -17.8 -0.071 1 415.705 9 830.243 -1 800 Сошлась 27 013.7 -28.3 0.158 1 482.248 10 140.170 -1 900 Сошлась 72 633.6 -1.3 -0.411 1 367.411 10 612.371 -2 000 Не сошлась - - - - - На рис. 7-12 представлены результаты моделирования для максимальной и минимальной массы ПН при выведении на эллиптические орбиты. Рис. 7. Зависимость углов тангажа и наклона вектора скорости от времени для максимальной полезной нагрузки при эллиптической орбите Fig. 7. Dependence of the pitch angle and the velocity vector inclination angle on time for the maximum payload in an elliptical orbit 68 Глазунов А.С., Сизова А.А., Петрова И.Л. Оптимизация программы выведения полезной нагрузки Рис. 8. Зависимость углов тангажа и наклона вектора скорости от времени для минимальной полезной нагрузки при эллиптической орбите Fig. 8. Dependence of the pitch angle and the velocity vector inclination angle on time for the minimum payload in an elliptical orbit Рис. 9. Зависимость высоты от времени для максимальной полезной нагрузки при эллиптической орбите Fig. 9. Dependence of the altitude on time for the maximum payload in an elliptical orbit Рис. 10. Зависимость высоты от времени для минимальной полезной нагрузки при эллиптической орбите Fig. 10. Dependence of the altitude on time for the minimum payload in an elliptical orbit 69 Механика / Mechanics Рис. 11. Зависимость инерциальной скорости от времени для максимальной полезной нагрузки при эллиптической орбите Fig. 11. Dependence of the inertial velocity on time for the maximum payload in an elliptical orbit Рис. 12. Зависимость инерциальной скорости от времени для минимальной полезной нагрузки при эллиптической орбите Fig. 12. Dependence of the inertial velocity on time for the minimum payload in an elliptical orbit Заключение Исходя из результатов исследований, можно сделать следующие выводы: 1. Если уменьшить массу полезной нагрузки БР, то снимаемые с вооружения ракеты можно использовать для выведения полезной нагрузки на круговые и эллиптические орбиты. 2. Диапазон масс, которые БР может вывести на круговую орбиту, довольно узкий, однако его можно значительно расширить, если использовать промежуточную эллиптическую орбиту. 3. При снижении массы полезной нагрузки хотя бы на 1.5 т можно получить достаточно высокие орбиты. 4. Для формирования траекторий выведения ПН на круговые и эллиптические орбиты можно использовать практически неизменный параметрический класс программ управления.

Скачать электронную версию публикации