A one-dimensional mathematical model of barrel vibrations with arbitrary cross-sectional shapes.pdf Введение Основная задача исследований в области проектирования орудий - повышение мощности, надежности, живучести стволов и точности стрельбы, а также удешевление производства стволов автоматических пушек [1]. Повышение характеристик эффективности стрельбы неизбежно приводит к увеличению толщины стенок стволов, что входит в противоречие с техническими и экономическими требованиями их изготовления. В этой связи необходимо искать компромисс между меньшим весом, высокой огневой мощью и жесткостью конструкции. Математическое моделирование позволяет проводить анализ влияния различных факторов на эффективность функционирования артиллерийских орудий еще на этапе проектирования стволов [1, 2]. В данной работе рассматривается вопрос уменьшения поперечных колебаний ствола автоматической пушки в вертикальной плоскости. Одним из способов решения данной проблемы является усовершенствование формы ствола, например с помощью ребер жесткости [3]. Существуют известные разработки 30 мм автоматических пушек, например Mk44 Bushmaster II [4], которые имеют не ко льде вое сечение ствола (рис. 1). Рис. 1. Стрельба из 30 мм автоматической пушки Mk44 Bushmaster II Fig. 1. Firing from a 30 mm Mk44 Bushmaster II automatic cannon 134 Русяк И.Г., Суфиянов В.Г., Клюкин Д.А. Одномерная математическая модель колебаний ствола Жесткость конструкции имеет важное значение для автоматических пушек, так как из-за высокого темпа стрельбы из этих орудий имеет место большой разброс траекторий движения снарядов. Рассмотрим поперечные сечения ствола различной формы трех типов (рис. 2). Будем считать базовым типом кольцевое сечение ствола пушки (см. рис. 2, a). В остальных случаях (см. рис. 2 a, b) для обеспечения одинакового веса площади поперечных сечений выбирались равными площади поперечного сечения базового типа. a b c Рис. 2. Поперечные сечения стволов: (а) без ребер жесткости, (b) ребра жесткости 1-го типа, (c) ребра жесткости 2-го типа Fig. 2. Cross sections of barrels: (a) without stiffeners, (b) type 1 stiffeners, and (c) type 2 stiffeners Трехмерные модели пушек с соответствующими типами ребер жесткости представлены на рис. 3. Рис. 3. 3D модели стволов 30 мм пушки: a - ребра жесткости 1-го типа, b - ребра жесткости 2-го типа Fig. 3. 3D models of 30 mm gun barrels: (a) type 1 and (b) type 2 stiffeners Целью данной работы является анализ влияния формы поперечного сечения ствола автоматической пушки на величину начального прогиба ствола под действием сил тяжести и определение амплитуды колебаний ствола автоматической пушки на основе математического моделирования процесса стрельбы очередями. 1. Математическая модель Рассмотрим систему дифференциальных уравнений начального прогиба ствола, направленного под углом возвышения ф [2, 5, 6], с учетом произвольной формы сечения ствола автоматической пушки. Помимо силы тяжести самого ствола будем учитывать силы, действующие на ствол со стороны снаряда при его дви-135 Механика / Mechanics жении по каналу: q° (x) - по оси Ox, q0 (x) - по оси Oy; q0 (x) - по оси Oz, где ось Ox направлена вдоль оси ствола, ось Oy вверх, ось Oz направлена так, что единичные орты образуют правую тройку векторов [6]. Модель учитывает технологические дефекты изготовления ствола, а именно отклонения центров масс сечений ствола н00 и w00 от оси симметрии канала ствола с кольцевым сечением [2]. FE^ UpFgsinф-q0(x) д_ dx2 ,2 ( EJ. XI Л д и0 д' dx ,2 ( .2 dx 0 d dx dx LpdMо d(u0 + u00)| , or \\ i FEfa & I=-ppg cos ф+q2 (x) dU0 d(w0 + w00 ) l = q 0 (x) (i) XI Л d w0 d dx1 I dx I dx dx Ч У где u0 = u0 (x) - величина начального прогиба по оси Ox; и0 = и0 (x) - величина начального прогиба по оси Oy; w0 = w0 (x) - величина начального прогиба по оси Oz; E - модуль Юнга; F = F(x) - площадь поперечного сечения в точке с координатой х; р - плотность материала ствола; g - ускорение силы тяжести; Jy = Jy (x) - момент инерции сечения относительно оси Oy; J2 = J2 (x) - момент инерции сечения относительно оси Oz. Площадь поперечного сечения F, моменты инерции Jy и Jz вычисляются по формулам F = J df, Jy = J z2 df, J2 = J y2 df, (2) F F F Запишем граничные условия у казенного среза. Считая, что ствол жестко закреплен, будем иметь: u 0 (°) = 0 dx EJ, и 0 (0)=0, dd dx w(0)=0, ^ = 0, (3) x=0 = 0, x=0 граничные условия для дульного среза запишутся в виде: FE du0 (x) dx = 0, EJ. дЧ (x) dx2 EJ, d2ws(x) 2 dx2 x=L = 0, - dx = 0, x=L ( EJ d4(x)A dx2 = 0, (4) x=L x=L d dx EJ d2w0 (x) dx2 У = 0. x=L Процесс колебаний ствола в одномерной постановке рассматривается как задача о колебаниях стержня, которая описывается системой дифференциальных уравнений 136 Русяк И.Г., Суфиянов В.Г., Клюкин Д.А. Одномерная математическая модель колебаний ствола „ д 2 и . / \\ д [„ Л dS РР-г = -PFgsinф + ?1 [x,t) + - {Fo )-p! - dt дх дх Рғ= -pFg cosф + q2 (х t)+-d((fctх -PiSЦ°°) [і( + 1УУ + СТ zz ғ У Я>2 \\ д и z дХ2 V дх pF д 2 w - = q3 (хt) + дt2 дх (х, ,)+-|[(ғ0-х - PiS + + V £||И+0-V/1-il[е,д2"л F дх2 У дх2 (5) стх = E - + Ѵ Г(стyy + стzzW, дх F 1 V Г F где u = и(х, t) - величина продольных колебаний ствола по оси Ох; u = п(х, t) -величина поперечных колебаний ствола по оси Oy; w = w(х, t) - величина поперечных колебаний ствола по оси Oz; ѵ - коэффициент Пуассона. На ствол действуют внешние динамические силы q1 (х, t), q2 (х^) и q3(х, t). В рамках допущений работы будем рассматривать только силу взаимодействия снаряда со стволом. Нагружение ствола внутренним давлением определяется из решения задачи внутренней баллистики с учетом периода последействия в термодинамической постановке [7, 8]. В качестве допущения одномерной модели распределение суммы напряжений стyy + стzz в поперечном сечении определим на основе решения задачи Ламе [9] для всего интервала углов а е [°,2д) (рис. 4) по формуле 2 (6) 1 2 2 Г2 - Г1 Рис. 4. К использованию решения задачи Ламе для сечений: a - без ребер жесткости, b - с ребрами жесткости 1-го типа, c - с ребрами жесткости 2-го типа Fig. 4. To the Lame problem solution for sections: (a) without stiffeners, (b) type 1 stiffeners, and (c) type 2 stiffeners стyy + стzz = 2 p где pi - давление внутри канала ствола. 137 Механика / Mechanics Погрешность представления (6) определялась с помощью расчета напряженно -деформированного состояния сечений ствола в пространственной постановке в ANSYS. При сравнении результатов расчета значений интегралов J(ау + а zz F при нагружении внутренним давлением p = 400 МПа отклонения составили: для сечения базового типа - 0,01%, для сечения с ребрами жесткости 1-го типа -15,7%, для сечения с ребрами жесткости 2-го типа - 1,5%. Система уравнений (5) решается при следующих начальных условиях: = о, dt „(х.о)= „„(4 t=0 и(х,0)= в о (4 ^1. dt = о, (7) t =0 w(x,0) = wo (x) ^ = 0. t=0 Граничные условия закрепления для казенного среза: и (о, t) = u0 (о), и(0, t.= и о (4 du(X’1. dx = 0, (8) x=0 w(0, t ) = »о (0) ^ dx = 0 . x=0 Граничные условия для дульного среза при отсутствии внешних сил имеют вид: , du(x, t) FEdx EJ. d2r>(x,t) = 0 x=L 2 z dx2 x=L = 0, - dx EJ EJ, d 2w(x,t) dx = 0, d_ dx EJ d2r>(x,t) z dx2 у d2 w ( x,t) dx2 = 0, (9) x=L Ҳ = 0. Решение уравнений (1)-(9) проводится на расчетной сетке в пространственной области 0 < x < l = Lm, + L : i e {о, 1,..., I}, h = l (10) а шаги по времени определяются в области 0 < t < T : i e {о, 1, ., (11) где I - количество узлов в пространственной области; £ш, L - длины камеры и ствола соответственно; N - количество узлов во временной области; T - конечное время решения задачи. 138 Русяк И.Г., Суфиянов В.Г., Клюкин Д.А. Одномерная математическая модель колебаний ствола Неявная разностная аппроксимация дифференциальных уравнений в узлах расчетной сетки осуществляется интегро-интерполяционным методом [10]. В результате получается система алгебраических уравнений диагонального вида, решение которой определяется методом прогонки [11]. 2. Построение сечения произвольной формы и верификация результатов численного интегрирования Рассмотрим методы построения различных типов сечений, представленных на рис. 2. Границы областей поперечных сечений определяются из параметрического уравнения окружности: у = ус + r sin(t), z = zc + r cos(t), t e[0, 2n], (12) где yc, Zc, r - координаты центра и радиус окружности. В случае отсутствия ребер жесткости внутренняя граница сечения канала ствола определяется окружностью радиуса r = ri, а внешняя граница - окружностью радиуса r = Г2. Вешние границы сечения канала ствола c ребрами жесткости 1-го типа образуются из кольцевого сечения удалением областей, удовлетворяющих неравенствам (у - Ус)2 +(z - zc)2 ^ r . (13) Внешние границы сечений канала ствола c ребрами жёсткости 2-го типа образуются добавлением к внешней части кольцевого сечения областей, определяемых по формуле (13). Для обеспечения одинакового веса рассматриваемых типов стволов сечения каналов с ребрами жесткости строились таким образом, чтобы на каждом срезе их площади сечений, расположенных на одном и том же расстоянии от казенного среза, совпадали с площадями сечений ствола с круговым сечением. В рассматриваемых сечениях вычисляются площади сечений F, а также моменты инерции относительно соответствующих осей и другие параметры в системе уравнений (5). Численное интегрирование производится в сечениях ствола, разбитых на треугольные конечные элементы. На рис. 5 представлены результаты дискретизации области интегрирования методом триангуляции Делоне [12]. a b c Рис. 5. Триангулированные поперечные сечения: a - без ребер жесткости, b - с ребрами жесткости 1-го типа, c - с ребрами жесткости 2-го типа Fig. 5. Triangulated cross sections: (a) without stiffeners, (b) type 1 stiffeners, and (c) type 2 stiffeners 139 Механика / Mechanics Проведем сравнение аналитических решений и результатов численного интегрирования для F, Jy, Jz по формулам (2). На рис. 6-8 представлено сравнение аналитического (сплошная линия) и численного (точки) интегрирования площади поперечного сечения F и моментов инерции Jy, Jz ствола без ребер жесткости на различных расстояниях Ox от казенного среза. 140 F, см2 • • • расчетное значение -аналитическое значение Рис. 6. Сравнение аналитического и расчетного значений площади поперечного сечения F Fig. 6. Comparison of the calculated and analytical values of the cross-sectional area F 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 .г. M Рис. 7. Сравнение аналитического и расчетного значений момента инерции Jy Fig. 7. Comparison of the calculated and analytical values of the moment of inertia Jy Рис. 8. Сравнение аналитического и расчетного значений момента инерции Jz Fig. 8. Comparison of the calculated and analytical values of the moment of inertia Jz Русяк И.Г., Суфиянов В.Г., Клюкин Д.А. Одномерная математическая модель колебаний ствола Отклонение расчетных и аналитических значений определяется согласно норме „ „ I 1 ѵ* - V. ѵ*-.і=тЕЧ^-і()о%- (14) 1 '=о I У, I где у* - аналитическое значение параметра; у - расчетное значение параметра. Погрешность численного интегрирования на расчетной сетке из 3 000 треугольных элементов составила ||ғ*-Ғ|| = 0.16%, ||у* -JvI = 0.39%, |/* -F 1 = 0.39%. На рис. 9, 10 представлено сравнение распределений моментов инерции по длине ствола для рассматриваемых типов сечений. Jy 10 2. см4 Рис. 9. Сравнение расчетных значений момента инерции Jy. 1 - без ребер жесткости, 2 - с ребрами жесткости 1-го типа, 3 - с ребрами жесткости 2-го типа Fig. 9. Comparison of the calculated values of the moment of inertia Jy. (1) without stiffeners, (2) type 1 stiffeners, and (3) type 2 stiffeners Jz-lOF cm4 Рис. 10. Сравнение расчетных значений момента инерции Jz. 1 - без ребер жесткости, 2 - с ребрами жесткости 1-го типа, 3 - с ребрами жесткости 2-го типа Fig. 10. Comparison of the calculated values of the moment of inertia Jz. (1) without stiffeners, (2) type 1 stiffeners, and (3) type 2 stiffeners 141 Механика / Mechanics Сходимость результатов численного интегрирования в зависимости от числа конечных элементов K на примере ствола с ребрами жесткости 2-го типа показана на рис. 11. Аналогичные результаты были получены и для других типов сечений. 5. ° о Рис. 11. Зависимость погрешности расчета от числа конечных элементов в сечении: 1 - площадь поперечного сечения F; 2 - момент инерции Jy; 3 - момент инерции Jz Fig. 11. Calculation error as a function of the number of finite elements in the section: (1) cross-sectional area F, (2) moment of inertia Jy; and (3) moment of inertia Jz Из рис. 11 видно, что для достижения точности 1% необходимо 1 500 конечных элементов в сечении. Далее при моделировании использовалось именно такое количество элементов. 3. Результаты математического моделирования Решим основную задачу внутренней баллистики (ОЗВБ) в термодинамической постановке для выстрела из 30 мм автоматической пушки с осколочнофугасным снарядом. Кривые давлений и скорости снаряда представлены на рис. 12. Согласно теории наибольших деформаций [1] вычислим допустимое давление с запасом прочности n по формуле (15) _£ст (Г>/ ri )2~! 2n е 2-(r2/r)2 +1 откуда можно определить зависимость допустимой толщины ствола hmm от давления р: 1,5сте + n • p 1,5ve - 2n • p -1 (16) где ce - предел пропорциональности материала, для стали се = 784 МПа. Построим эпюру максимальных давлений и определим допустимую толщину в каждой точке ствола с запасом прочности 20% (n = 1, 2) (рис. 13). При построении ребер жесткости 1 -го и 2-го типов минимальная толщина ствола принималась равной минимально допустимой толщине (16) с запасом прочности n = 1, 2. Проведем моделирование колебаний ствола при стрельбе очередью из 5 выстрелов с интервалом 15 мс между выстрелами при стрельбе под углом возвышения ф = 5°. Сравнение начальных прогибов и колебаний дульного среза для различных типов поперечных сечений представлено на рис. 14. 142 Русяк И.Г., Суфиянов В.Г., Клюкин Д.А. Одномерная математическая модель колебаний ствола р, МПа - ркн---рсн .........ѵсн ѵ, м/с Рис. 12. Зависимости давления газа у дна канала, у дна снаряда и скорости снаряда от времени при решении ОЗВБ в термодинамической постановке Fig. 12. Gas pressure at the face of the breech and at the bottom of the projectile and the projectile velocity as functions of time when solving the problem of internal ballistics in a thermodynamic formulation p, МПа pmax . h h, мм hmin Рис. 13. Эпюра максимальных давлений и допустимая толщина ствола Fig. 13. Diagram of maximum pressures and allowable barrel thickness Из рис. 14, a видно, что стволы с ребрами жесткости испытывают меньший начальный прогиб, чем без ребер жесткости. Так, для ствола без ребер жесткости прогиб составил 1.07 мм, для 1-го типа ребер - 1.00 мм, для 2-го типа ребер -1.03 мм. При этом существенно уменьшается амплитуда колебаний (рис. 14, b): 143 Механика / Mechanics для ствола без ребер жесткости амплитуда составила 55 мкм, для 1-го типа ребер -22 мкм, для 2-го типа ребер - 32 мкм. Полученный результат, очевидно, должен привести к меньшему разбросу углов вылета снаряда, а следовательно, и повышению точности при стрельбе очередями. Ѵо, мм Рис. 14. Начальный прогиб (a) и колебания дульного среза (b) 30-мм автоматической пушки: 1 - без ребер жесткости, 2 - с ребрами жесткости 1-го типа, 3 - с ребрами жесткости 2-го типа Fig. 14. (a) Initial deflection and (b) muzzle vibrations for a 30 mm automatic cannon: (1) without stiffeners, (2) type 1 stiffeners, and (3) type 2 stiffeners Заключение 1. Разработана и реализована математическая модель продольно-поперечных колебаний ствола автоматической пушки при наличии ребер жесткости с учетом влияния давления пороховых газов и взаимодействия снаряда со стволом. 144 Русяк И.Г., Суфиянов В.Г., Клюкин Д.А. Одномерная математическая модель колебаний ствола 2. Определены амплитуды колебаний дульного среза для стволов различных поперечных сечений на основе решения задачи о продольно-поперечных колебаниях при стрельбе из 30 мм автоматической пушки. 3. Исследовано влияние ребер жесткости на величину начального прогиба и амплитуду колебаний. Расчеты показали, что прогиб ствола для ребер жесткости 1-го типа уменьшается на 8,1%, для 2-го типа - на 4,6% по сравнению с кольцевым сечением ствола пушки. При этом амплитуда колебаний дульного среза ствола для ребер жесткости 1 -го типа уменьшается в 2 раза, для 2-го типа - почти в 1,5 раза.

Скачать электронную версию публикации