The set K_p in some finite groups.pdf В [1-3] изучались некоторые свойства конечных групп, содержащих элементы порядка р, порядок централизатора которых равен порядку элемента. Множества таких элементов мы обозначали Kp, где р - произвольное простое число. В настоящей работе рассмотрено множество Kp в группе G, порядок которой -составное число, имеющее каноническое разложение: |G| = k > 3. 1. Множество Kp в группе G, где |G| = k> 3,pi р, что противоречит тому, что а е Кр; 2) пусть а 3, pi G = H = (а). Следовательно, o(a) = pk, o(b) = p\\p2-pk-\\. Рассмотрим холлову подгруппу H р - максимальную подгруппу G. Пусть S Так как G - неабелева, то Nq * 1. > Пусть Nq = р. Подсчитаем |G|. Группа G содержит р подгрупп по q элементов, 2 пересекающихся только по единичному элементу, и одну подгруппу порядка р. Тогда |G| = p(q - 1) + p2 = p2q . Отсюда: p(q - 1) = p2(q - 1), чего быть не может. > Следовательно, Nq = р2 и Vg g (g * e ^ o(g) е {p, p2, q}) (*). Пусть o(g) = q. Так как (g) с CG(g), то |CG(g)| > q. Если |CG(g)| = pq, то в CG(g) существует элемент х, такой что о(х) = р. Так как xg = gx, то o(xg) = pq, что противоречит (*). Если |CG(g)| = p2q, то g е Z(G), что противоречит условию. Таким образом, Vg g (o(g) = q ^ CG(g) = (g)). То есть K = p2(q - 1). II. p < q. Заметим, что в группе А.4 (^І4| - 2 *3) нормальны^з делителем является группа V4, а в группе порядка 22*5 нормальной является подгруппа Н5. Покажем, что одна из силовских подгрупп группы G является ее нормальным делителем. 8 Забарина А.И., Фомина Е.А. Множество Kp в некоторых конечных группах Так как \\\\, = 1 + kq, то \\\\, = 1 при к = 0. Таким образом, Hq < G. Если кФ 0, то Nq = р2 (так как 1 + q> р и р2:( 1 + kq)). Тогда во всех ^-подгруппах группы G содержитсяp2(q - 1) неединичных элементов. Так как |G| = p2q, то |G| = p2(q - 1) + р2. Следовательно, Np = 1, Нр2 < G. Рассмотрим множество Kq в обоих случаях. Заметим, что порядок каждого неединичного элемента g е G принадлежит множеству {q. р. р21. Следовательно, если: > Hg Нр2 < G, то \\Kq\\ =p\\q - 1). Вопрос о строении множеств Kp, Kq в группе G, где |G| = p2q, полностью рассмотрен. 3. Множество Ks в группе Ьз(4) Обратимся теперь к двум простым группам одинакового порядка: знакопеременной группе подстановок А8 и трехмерной проективной специальной линейной группе, имеющей два обозначения: Тз(4) [7] и PSLs(4) [8]. Вторая группа построена факторизацией SL3(4) по подгруппе скалярных матриц над полем Р = {0, 1, a, a4 }. Известно, что \\А8\\ = |PSL3(4)| = 26325-7. Последняя группа участвует в доказательстве простоты спорадической группы - группы Матье М22. В отличие от А8 [3. С. 34-35] множество К5 в группе PSL3(4) непусто. Убедимся в этом. Приведем таблицы сложения и умножения в поле Р: + i a a 1 a a 1 1 0 a-1 a a a-1 i a a- 0 i ai a a~l a 1 0 Отметим, что в данном поле каждый элемент противоположен самому себе. (10 0 4 : Ж(3,4). Непосредственные вычисления Рассмотрим матрицу А =00 1 ѵ0 1 а показывают, что о (А) = 5, причем (1 0 0 4 (1 0 0 4 (1 0 04 А2 = 0 1 а , А3 = 0 а а , А4 = 0 а 1 ѵ 0 а а j ѵ 0 а 1J ѵ0 1 0 j Пусть Н = {E, aE, a lE}. Остается убедиться, что С^(4^AH) = (A , где А = АН. Пусть BH е С^(4^(AH),т.е. ВНАН = ЛН-ВН, где В е SL(3, 4). Отсюда следует, что АВ = ВАП, где U е H. Покажем, что В = ЛгѴ*, где U* е H. Рассмотрим всевозможные значения U. 9 Математика / Mathematics 1) U = Е. Тогда ' bii 0 0 " АВ = ВА ^ В = 0 У x , 0 x y + ах j где b\\\\(y2 - x2 + axy) = b\\\\(y2 + x2 + axy) = 1. Исследуем вид матрицы B в зависимости от значения элементов. a) b\\\\ = 1 ^y2 - x2 + axy = 1. Переберем все возможные варианты для элемента у: > у = х ^ ax2 = \\ ^у = х = а ^ В = А3; > у = 0 ^ - x2 = x2 = \\ ^ х = \\ ^ В = А; > у = \\ ^ \\ + x2 + ax = \\ ^ х(х + а) = 0 ^ (х = 0) ѵ (х + а = 0) ^ (В = Е) ѵ (х = а ^ В = А2); > у = а ^ а2 - x2 + a2x = \\ ^ а2(\\ + х) = а4^ + х) = \\ + х2 = \\-х2 = (\\ - х)(\\ + х) ^ (х = \\) ѵ (а- = \\ - х) ^ (В = А4) ѵ (х = а ^ В = А3) (см. случай у = х); > у = а4 ^ а - x2 + x = 1. Несложно проверить, что при любом значении х данное равенство не имеет места. Значит,у Ф а4 при b\\\\ = L Вывод: если b\\\\ = 1 и АВ = ВА, то В = A1. b) b\\\\ = а ^y2 - x2 + axy = а2 = а4. Переберем все возможные варианты для элемента у: > у = х ^ ax2 = а - ^у = х = а4 ^ ' а 0 0 > (1 0 0" В = 0 а2 а =а 0 а 1 ѵ 0 а 0 J ,0 1 0 j = аЕ ■ А4 ѵ В = аЕА3 (см. случай у = х). ' а 0 0 > (і 0 0 > В = 0 а2 а2 =а 0 а а = аА = аЕ ■ А3 ,0 а2 а j ,0 а 1J ' а 0 0 > Г1 0 0 > > у = 0 ^ x2 = а2 ^ х = а ^ В = 0 0 а =а 0 0 1 = аЕ ■ А ; ѵ 0 а 2 а j ,0 1 а j > у = а ^ а2 - x2 + a2x = а2 ^ x2 + a2x = 0 ^ х = 0 ^ ' а 0 0 > (1 0 0 > В = 0 а 0 =а 0 1 0 = аЕ; ѵ0 0 а j ,0 0 1 j > у = а1 ^ а - x2 + x = а2 ^ x2 + x = а2 + а ^ (х = а ѵ х = а 1) ^ > у = \\ ^ \\ - x2 + ax = а2. Можно проверить, что при любом значении х данное равенство не имеет места. Значит, у Ф 1 при b\\\\ = а. Вывод: если b\\\\ = а и АВ = ВА, то В = аЕА'. c) b\\\\ = а2 ^y2 - x2 + axy = а. Переберем все возможные варианты для элемента у: 10 Забарина А.И., Фомина Е.А. Множество Kp в некоторых конечных группах > у = х ^ axy = а ^ у = х = 1 ^ (а2 0 0 Л (1 0 0 Л В = 0 1 1 = а2 0 а а , 0 1 а2 j V 0 а 1j (а2 > у = 0 ^ х2 = а ^ х = а2 ^ В = = а2 А3 = а1 Е ■ А3 0 Л (10 0 Л 0 0 0 а2 а 1 j ѵ 01 а j > у = 1 ^ 1 + х2 + ах = а ^ (1 - х)2 = а(1 - х) ^ (х = 1) ѵ (х = а2) ^ В = а2ЕА3 (10 0 Л (см. случай у = х) ѵ В = 0 Ч = а ^ (1 II (N 'н 1 (а2 0 0 Л 0 1 а2 = а , 0 а2 0 j 0 а 1 010 0 0 1 0 1 а = а2 Е ■ А4 = а2Е ■ А ; > у = а1 ^ а - х2 + х = а ^ х2 = х ^ (х = 0 ѵ х = 1) ^ 'а2 0 0 л (1 0 0Л 'а2 0 0Л (1 0 0 Л В = 0 а2 0 = а1 0 1 0 = а2Е ѵ В = 0 а2 1 = а2 0 1 а v0 0 а2 j V 0 0 1j V 0 1 1j V0 а ау = а2 Е ■ А2: > у = а ^ а2 - х2 + а2х = а ^ а2(1 + х) = х2 + а. При любом значении х данное равенство не имеет места. Значит, у Ф а при Ьц = а2. Вывод: если Ьц = а2 и АВ = ВА, то В = а2ЕАг. 2) U = аЕ. Тогда АВ = ВАаЕ ^ (1 0 0 Л ' b11 b12 b13 Л ' b11 b12 b13Л ' а 0 0 Л 0 0 1 b21 b22 b23 = b21 b22 b23 0 0 а V 0 1 а у V Ь31 Ь32 Ь33 j V Ь31 Ь32 Ь33 .2 V0 а -1 а j г b11 b12 b13 ^ abu ab ab + а “Ь 3 ab22 + а Ь23 ab32 + а~Ь33 J ѴЬ21 ' Ц3 + аЬ. ab ab V ab31 аЬ. 21 аЬ -'22 + аЬ,. '32 ^23 + “^33 / Ьц = abn ^ Ьц = 0, Ь12 = аЬіз ^ аЬі2 = а-1Ь13, Ьіз = аЬ12 + ачЬ13 = 0 ^ Ь12 = 0 ^ det B = 0. 3) U = а 1Е. Тогда АВ = ВА а 1Е ^ b,, V а 1 (1 0 0 Л( bn bn 0 0 1 bb ^21 и22 b Л b13 b (b b L/,, u,r bbb 21 22 23 1° 1 а А Ь31 Ь32 Ь33 j 1Ь31 Ь32 Ь33 j ѵ 0 а 1 1 j bn b12 b ^ b13 а Ьп а Ь13 а~'Ь12 + Ь13 b21 b22 b23 = а~'Ь21 а ‘Ь23 а~1Ь22 +" Ь23 ѵЬ21 + аЬ31 Ь22 + аЬ32 Ь23 + аЬ33 V ча~Ь31 а _1Ь33 а~Ь32 + Ь33 j 11 Математика / Mathematics b11 = a -b\\\\ ^ Ьц = 0, bi2 = a-1bi3, Ьіз = a^b12 + b13 ^ a^b12 = 0 ^ b12 = 0 ^ b13 = 0 ^ det B = 0. Таким образом, о( А ) = 5 и V ВН (а • В = В • А ^ В = А j. C^(a)(AH) = (А ^ Ks(G) Ф 0 Замечание. Так как |Тз(4)| = 26-32-5-7 и Ks ф 0, то в Тз(4) нет таких элементов g, что o(g) = 5т, где (5 ,т) = Іи m\\k ,кф\\. Открытым остается вопрос о множестве К7 в данной группе.

Скачать электронную версию публикации