Determination of the values of transfer characteristics in multicomponent media on the basis of micro-process analysis.pdf 1. Математическое описание микропроцессов в многокомпонентных газовых средах Уравнения, полученные на основе корпускулярного (мольного) описания процессов в многокомпонентных средах, содержат коэффициенты переноса, характеризующие транспортные характеристики сред [1, 2]. Так, вязкость зависит от вязкоупругих и геометрических характеристик молекул в смеси. Аналогично значения других коэффициентов переноса, используемых в макроуравнениях, должны определяться на основе анализа микропроцессов в смеси. В связи с этим при численном моделировании задач прикладной гидроаэромеханики на основе макроуравнений для определения значений полуэмпирических коэффициентов переноса в этих уравнениях необходимо использовать результаты кинетической теории газов и жидкостей [3-6]. Поскольку в уравнении Больцмана столкновительная часть описывает процессы, связанные со взаимодействием молекул, то будем ее использовать в алго-50 Анисимова И.В., Игнатьев В.Н, Лаптева Е.Ю. Определение значений переносных характеристик ритме определения переносных характеристик многокомпонентных смесей. Столкновительная часть уравнения Больцмана состоит из восьмикратных несобственных интегралов, содержащих осциллирующие подынтегральные функции. Одним из них является несобственный интеграл, описывающий угол рассеяния взаимодействующих молекул [3, 4]: со %(b,g) = n + 2bjdr r 2 r х Ф(г) 1 (1) где b - прицельный параметр, g - относительная скорость взаимодействующих молекул, r - межмолекулярное расстояние, r0 - минимальное положительное значение корня нелинейного алгебраического уравнения [7, 8]: f («)■ (/^-Л2(”+3) AJ_ в\\\\ = о • (2) Функция ф(r), входящая в подынтегральное выражение (1), описывает процесс взаимодействия молекул в газовой среде. Рассмотрим газовые смеси, в которых силы притяжения определяются зависимостью [3, 4] ф( r ) = -c ■ r- , (3) где c - некоторая постоянная. Соотношение (3) является степенной функцией и, как отмечается в [3, 4], удовлетворительно аппроксимирует кривую графика сил притяжения взаимодействующих молекул. Проводя анализ сил, действующих на молекулы как в простых, так и многокомпонентных средах, можно предположить, что сила притяжения взаимодействующих молекул обладает свойством «автомодельности» и удовлетворительно аппроксимируется степенной зависимостью (3) [3]. В отличие от силы притяжения сила отталкивания, действие которой велико при малых г, зависит не только от электромагнитных полей, но и от вязкоупругих свойств взаимодействующих молекул. Эти свойства молекул и их влияние на значение силы отталкивания наряду с силой электромагнитных полей будем учитывать при аппроксимации степенной функцией [7, 8] ч2(и+3) / \\6_ (4) ф( r ) = f (п ) где с - расстояние от начала координат до точки пересечения функции (4) с осью абсцисс, т.е. ф(с) = 0, а е характеризует максимальное значение глубины потенциальной ямы. Функция f (n) в (4) определяется выражением 3 ( п + 3 V f ( п ) 1 - п+3 (5) и является монотонно убывающей для V п > О. Параметр n в (4) характеризует суперпозицию сил, влияющих на процесс отталкивания взаимодействующих мо-51 Механика / Mechanics лекул в смеси (в частности, вязкоупругих свойств молекул), и электромагнитных сил. Для каждой газовой смеси параметр n в (4) определяется минимизацией квадратичного функционала ошибки между расчетным и экспериментально определенным значением одного (любого) коэффициента переноса в смеси. Отметим, что при n = 3 потенциал (4) содержит в своем семействе потенциал Леннарда-Джонса (12,6), который не всегда корректно используется в программных продуктах, предназначенных для проведения расчетов в области механики многокомпонентных жидкостей и газов: STAR-CD, FLUENT и CFX компании ANSIS и др. _ * r , d, + d2 , * b * ф Введем новые переменные r =-, d12 =--- , b =-, ф = - в которых dn 2 dn e выражение (1) имеет вид: со x(6*,g*) =тг + 26* Jdr (6) r *2 r ieff (n, AI,b\\g 2 1 *2 g*2 Подынтегральная функция, входящая в несобственный интеграл (6), содержит фе#: (7) где безразмерное число AI 2ст - характеризует геометрические параметры d + d2 молекул. Для описания взаимодействия молекул в N-компонентной среде (N > 2) воспользуемся теорией аппроксимации и обобщением кинетической теории газов при создании алгоритма вычисления значений коэффициентов переноса в газовой среде с учетом микропроцессов. Такой подход позволяет учитывать геометрические и вязкоупругие свойства взаимодействующих в смеси молекул. С этой целью исходную N-компонентную смесь аппроксимируем газовой средой, состоящей из молекул максимальной концентрации в смеси диаметром d\\. Остальную часть исходной смеси аппроксимируем средой с молекулами с осредненным диаметром d* = £ d 1=2 N-1 Введем безразмерное число AI * соотношением (8) ,т* ст ст AI AI =-- =--- = -- £ di d * £ di £ di i =1 i=1 i=1 где d * d + d2 2 52 Анисимова И.В., Игнатьев В.Н, Лаптева Е.Ю. Определение значений переносных характеристик Соотношение (8) позволяет установить взаимосвязь между безразмерными числами где AI и где AI *: AI = AI* • £ dt. (9) t=1 Подставляя (9) в (7), получаем выражение, описывающее взаимодействие молекул в Ж-компонентной газовой среде, которое учитывает их геометрические и вязко-упругие свойства: Pejf (Л П, A, d*)= f (П) AI * •£ dt y(n+3) , К \\ 6 Л AI I -X dt (10) Следуя кинетической теории газов [3, 4], коэффициенты переноса в Ж-компо-нентной газовой среде определяются в результате решения систем линейных алгебраических уравнений. Коэффициенты данных систем уравнений пропорциональны интегральным скобкам полинома Сонина. Вводя понятие угла рассеяния взаимодействующих молекул, удается упростить интегральные скобки и свести их к выражениям многочленов, зависящих от несобственного интеграла: Q(',r)=f-Y j exp (-у2 )y2r+3Q(,)dy, (11) j о в котором Q(l)(g* ) = 2п](1-cos' (X(g*,b* ))fdb* (12) Таким образом, чтобы определить значение интеграла (11), необходимо найти значение несобственного интеграла (12), который содержит осциллирующую функцию (l-cos'(%(g*,b*)))b*. Данная функция зависит от потенциала ф*#(r ,п,AI,d*) (10), который описывается кривой взаимодействия молекул в Ж-компонентной смеси. Данная кривая содержит подобласть потенциальной ямы. Г еометрические характеристики этой подобласти описывают микропроцессы, которые существенно влияют на определение значений интегралов (11) и (12), а следовательно, коэффициентов переноса. Микропроцессы в потенциальной яме, как правило, приводят к уменьшению значений переносных характеристик среды: вязкости, теплопроводности, диффузии и др. 2. Квадратура Г аусса-Кристоффеля в алгоритме расчета интегралов столкновения молекул Поскольку расчет интегралов (11), (12) является основной частью алгоритма определения переносных характеристик смесей, то необходимо использовать математически обоснованные численные алгоритмы. Для численного интегрирования интегралов (11), (12) предлагается квадратура Гаусса-Кристоффеля, построенная на теории ортогональных многочленов [9]. Построение узлов разбиения на исходном отрезке интегрирования и значений весов в них происходит из условия минимизации функционала для погрешности квадратуры. Использова- 53 Механика / Mechanics ние квадратуры такого типа для определения значений интегралов (11), (12) позволяет учесть микропроцессы в потенциальной яме и их влияние на значения коэффициентов переноса. На рис. 1 приведена графическая иллюстрация наиболее сложного интеграла (12) с осциллирующей подынтегральной функцией для различных значений параметра п, который влияет на геометрию потенциальной ямы. Расчеты и построение графиков осуществлялись с помощью пакета Wolfram Mathematica [10]. №) 157.00 156.98 156.96 156.94 '--1-1-'-'-'-1-1-'-'-1-1-'-'-1-1-■-'-1-1 s' 0 2 4 6 8 10 Рис. 1. Значение интеграла (12) при различных п Fig. 1. The value of integral (12) at various n В предложенном методе определения коэффициентов переноса в Ж-компо-нентных газовых смесях необходимо использовать алгоритмы параллельных вычислений, что связано с необходимостью решений систем алгебраических уравнений. Количество систем зависит от числа определяемых коэффициентов переноса в Ж-компонентной среде. Алгоритм распараллеливания решения совокупности систем уравнений зависит от структуры вычислительного комплекса и представляет научный интерес авторов в будущих работах. Заключение Для качественного моделирования газодинамических процессов в газожидкостных смесях необходимо формирование адекватной математической модели, которая базируется на взаимосвязи макроуравнений тепломассопереноса с переносными характеристиками среды из кинетической теории, а также создание эффективных вычислительных технологий для определения значений коэффициентов переноса. В работе предложено определение значений коэффициентов переноса (вязкости, теплопроводности, диффузии и др.) в Ж-компонентных газовых смесях с учетом анализа микропроцессов. С этой целью введено понятие аппроксимации исходной многокомпонентной смеси бинарной средой, состоящей из молекул двух типов. Одну часть среды формировали молекулы с максимальной концентрацией, другую часть - остальные молекулы с осредненным диаметром. 54 Анисимова И.В., Игнатьев В.Н, Лаптева Е.Ю. Определение значений переносных характеристик При математическом описании взаимодействия молекул в среде кроме сил притяжения, отталкивания и электромагнитных сил учитывались геометрические и вязкоупругие характеристики молекул. При использовании в уравнении Больцмана столкновительной части, состоящей из восьмикратных интегралов, и теории многочленов Сонина задача определения коэффициентов переноса сводится к отысканию решения систем линейных алгебраических уравнений для каждого коэффициента переноса. В данных системах коэффициентами являются многочлены, которые зависят от значений трехкратных несобственных интегралов с осциллирующими подынтегральными функциями. Эти интегралы описывают микропроцессы в среде. Для вычисления данных интегралов была предложена квадратурная формула, основанная на теории ортогональных многочленов и минимизации ее погрешности. Такой подход позволил определять значения коэффициентов переноса, используемых в макроуравнениях гидродинамики, на основе анализа микропроцессов среды.

Скачать электронную версию публикации