On the brachistochrone shape under the Magnus effect.pdf Введение Вопрос, которому посвящена настоящая работа (как и предыдущие статьи [1-3]), относится к классическим проблемам механики, связанным с выяснением влияния на форму брахистохроны различных внешних физических факторов, приводящих к ее существенной деформации. Ранее было рассмотрено влияние на траекторию движения таких природных проявлений, как силы сухого и вязкого сопротивления, центробежные силы, связанные с вращением брахистохроны, и т.п. В настоящем сообщении мы продолжим изучение влияния на ее форму результата воздействия внешних природных факторов и проанализируем возможное изменение желоба при учете собственного вращения тела, которое мы выберем в форме шара (или сплошного диска), катящегося под действием силы тяжести. Задачу будем решать без учета проскальзывания, но с учетом его собственного момента инерции, а также с учетом силы Магнуса, которая при этом проявляется вполне естественным образом. Напомним, что суть этого эффекта заключается в дополнительном воздействии на тело силы, порождаемой собственным вращением. Действительно, если имеется катящийся шар, то он должен характеризоваться своей частотой вращения ю, что естественным образом приводит, во-первых, к появлению дополни, J ю2 тельной энергии, которую можно записать как E =-, где момент инерции для шара J = - шст, m - его масса, a - радиус, во-вторых, дополнительной силы, действующей перпендикулярно траектории движения и представляющей из себя силу Магнуса FM. Она определяется в виде векторного произведения (см., напр.: [4-16]): FM = кт [V х ю], (1) 1 Pc где к = -, pc - плотность окружающего континуума, р - плотность шара, m - его P масса, V - результирующая скорость, связанная с траекторией движения соотношением Ѵ = г, где конец вектора г(/) описывает интересующую нас траекторию движения. Формулу (1) для дальнейшего использования удобно переписать в виде: FM = кт[Ѵ х ю] = ктю V [т х k] = -ктю V n, (2) где т - единичный вектор касательной, направленный вдоль траектории движения, k - единичный вектор по направлению частоты вращения, т.е. перпендикулярный плоскости рис. 1, n - единичный вектор нормали к траектории. Как видно из формулы (2), сила Магнуса направлена против силы реакции, действующей со стороны желоба на тело. 88 Гпадкое С. О., Богданова С.Б. О влиянии на форму брахистохроны эффекта Магнуса Рис. 1. Схематическое изображение постановки задачи Fig. 1. Schematic representation of the problem formulation Далее, поскольку сила Магнуса (1) линейна по плотности континуума, то с формальной точки зрения нам необходимо учесть и силу сопротивления Стокса, также линейную по плотности. В свете вышесказанного мы можем теперь записать полную систему уравнений, позволяющих найти аналитическое решение задачи о возможном изменении формы брахистохроны с учетом эффекта Магнуса. 1. Основные уравнения. Таким образом, с учетом формулы (2) имеем согласно второму закону Ньютона mV = mg + Ғ^. + Fs - him Vn , (3) где g - ускорение силы тяжести, а его разложение по подвижному базису т-n имеет вид: g = g (т sina + n cos a), (4) Ff = (IN = -pNT, (5) здесь p - тензорный коэффициент трения, p - общепринятое обозначение коэффициента трения, N - сила реакции желоба. Сила Стокса F =-6щаVт . (6) Поскольку ускорение в базисе т-n имеет вид: • ■ V2 V = Ѵт + --и, (7) R то с учетом (4)-(7) векторное уравнение (3) становится таким: • V2 . \\ N V Ѵтн--и = glxsina + ncosaH-и--т-Ато Ѵп , (8) R in т где введено время релаксации (9) 1 6 пца т m Проектируя уравнение (8) на базис т-n, мы автоматически приходим к двум следующим уравнениям: 89 Механика / Mechanics ■ . цЛГ V V = gsina----, т х f V2 N = m I - - g cos a + kю V I. (10) Заметим, что верхнее уравнение в системе (10) представляет собой следствие закона сохранения полной суммарной мощности системы (см.: [17]), и была учтена формула (5). Нижнее уравнение представляет собой полную силу реакции желоба. В соответствии с алгоритмом, намеченным в работах [1, 2], полагаем, что V2 - = -g cos a + кю V. R (11) Следовательно, силу реакции желоба с учетом формулы (11) можно вычислить, исходя из следующего общего выражения: f кю V N = 2mg I--cos a I g Полная же система уравнений с учетом (10) и (11) становится такой: ' • . цЛГ V V = gsina----, т х (12) < (13) = -g cos a + кю V. 2. Анализ уравнений (13) при отсутствии диссипативных сил Если пренебречь силами сопротивления и вспомнить, что V = RO., то уравне ния (10) существенно упростятся, и мы получим IV = gsina, [Va = -gcosa + &co V. х V Так как ю = -, где a - радиус шара, то, разделив верхнее уравнение на ниж- (14) a нее и вводя новую функцию p = cos a, приходим к линейному уравнению Р = - kV V ag (15) (16) , dp где p= dV. Его решение имеет вид: p = cos a = Q Vk V2 ag (17) где C - константа интегрирования. 90 Гпадкое С. О., Богданова С.Б. О влиянии на форму брахистохроны эффекта Магнуса Из(16) получим V = C ag f C ag 2 ag cos a 2k 2k ) k В предельных случаях отсюда имеем, если k ^ 0, то cos a k cos2 a (18) V «-c ca (19) Напомним, что cos a < 0, поскольку -

Скачать электронную версию публикации