Pseudotrees and equivalent norms in the continuous.Functions spaces .pdf В середине 30-х годов прошлого века Д. Курепа [5] определил понятия дерева и псевдодерева. Частично упорядоченное множество (T, t} не является линейно упорядоченным для каждого элемента teT. Индексом i(t) элемента teT назовем супремум мощностей семейств попарно дизъюнктных в T интервалов (t, u/)/eL. Ясно, что точка t является точкой ветвления тогда и только тогда, когда i(t) > 1. Дерево называется конечно ветвящимся, если индекс каждой точки конечен.Естественные расширения псевдодеревьевВ отличие от деревьев, псевдодеревья не обязаны быть локально компактными пространствами. Тем не менее, существует несложная процедура построения локально компактного расширения, которое также несет структуру псевдодерева. Это возможно осуществить в три этапа.Этап 1. Добавление минимальных элементовВначале опишем естественное расширение псевдодерева, которое получается добавлением минимальных элементов. По определению псевдодерева для произвольного элемента te T множество Ft = [ se T; s < t} является линейно упорядоченным множеством. Введем обозначение t0 для минимального элемента в Ft, если он там имеется. Если такого элемента в Ft нет, то определим новый элемент t0, который будем считать строго меньшим всех элементов из Ft. Примем следующее соглашение: t0 = s0 тогда и только тогда, когда существует некоторый элемент ueT, такой, что u < t и u < s. Множество всех таким образом определенных минимальных элементов обозначим через T0. На множествезададим естественное расширение имеющегося отношения порядка на множестве T правилом: t0 < t. Относительно этого порядка множество TuT° также будет псевдодеревом, причем элементы множества T0 будут попарно несравнимы между собой. Легко понять, что элементы множества T0 \ T не могут попасть в AT. Далее мы будем предполагать, что T0 с T, т.е. что расширение псевдодерева добавлением всех минимальных элементов уже произведено.Этап 2. Окаймление «дыр»Лемма 1. Если множества AT содержит инверсию ординала Я+1, т.е. транс-финитную последовательность, упорядоченную по правилу: а1 > а2 >...> aЯ , причем Я есть предельный ор>динал и aЯ является точной нижней гр>анью последовательности aY , 1 < у < Я, в T, то ветвь [t; t < a1} не является компактной.Доказательство. В самом деле, множество [te T; t < a1} есть объединение своих открыто-замкнутых подмножеств вида (ay+1 , aY], а также еще множества [t; t < aЯ}. Из этого покрытия нельзя извлечь конечного подпокрытия. ■Обозначим через AT множество всех точек teAT, удовлетворяющих условиюt = inf [seAT; s > t} (точная нижняя грань берется в T). Для каждой точки t е ATопределим новую абстрактную точку t+, для которой: t < t+ и t < s => t+ < s. Точку t+ будем считать несравнимой с какой-либо точкой множества T, если с ней несравнима точка t. Обозначим A+ = {t+; t е AT} и Т + = Т u A+. Нетрудно видеть, чтомножество T+ является псевдодеревом для любого псевдодерева T.Пример 1. Пусть T = (0, 1] является уже упомянутой выше стрелкой Зорген-фрея. Тогда множество T0 будет состоять из единственного минимального элемента, который можно обозначить через 0. Обозначим T1 = [0}uT. Тогда AT^ = (0,1). Нетрудно проверить, что пространство Т+ совпадает с хорошо известным пространством «две стрелки».Пример 2. Пусть T - множество всех неотрицательных рациональных чисел, включая 0, упорядоченное естественным образом. Нетрудно видеть, что AT = 0, следовательно, описанное выше расширение не приводит к компактным пространствам.Этап 3. Сечения по ДедекиндуПоследний пример показывает, что для псевдодеревьев имеет смысл рассмотреть некоторые расширения, построенные наподобие «сечениям» по Дедекинду.Определение. Сечением T мы назовем его разбиение на непересекающиеся множества M и L, такие, что1))множество M линейно упорядочено, и вместе с каждым элементом te M это множество содержит все элементы s, такие, что s < t;2))множество M не имеет наибольшего элемента;3))множество L обязательно содержит верхние грани для M, причем среди этих верхних граней нет минимальных.Для произвольного сечения псевдодерева T определим новый элемент, который будет строго больше всех элементов из M и, вместе с тем, строго меньше любой верхней грани для M из множества L. Пополнение множества T всеми такимиэлементами обозначим через T. Упорядочим множество T естественным образом. А именно, из определения ясно, какие отношения связывают новый элементs е T\ T со всеми элементами множества T. Для элементов s1 и s2 из T\ T мы будем говорить, что s1 < s2, если [teT; t < s1}c[teT; t < s2}.Теорема 1. Пусть T - произвольное псевдодерево и T1 - псевдодерево, полученное из него посредством добавления минимальных элементов, окаймления «дыр» и сечений по Дедекинду, т.е. T1 = T°+. Тогда T1 является локально компактным пространством и, более того, множество [teT1; t < s} компактно для каждого seT1.Доказательство. Нам достаточно установить только последнее утверждение, т.е. что множества вида [teT1; t < s} компактны. Согласно этапу 1, это множество должно иметь наименьший элемент a, поэтому [teT1; t < s} = [a, s]. Для того чтобы множество [teT1; t < s} = [a, s] было компактным, достаточно показать, что любая трансфинитная убывающая последовательность сегментов [[ua , v„]}1

Скачать электронную версию публикации