About the Chizotti's formula and her application .pdf В монографии М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [1. С.227] приведена формула Чизотти, которая дает выражение для конформного отображения w = f (z) из канонической области на односвязную область D, ограниченную кривой Г, если известен угол наклона 0 = 0(z) касательной к Г в точке w, соответствующей z на границе канонической области.1. Формула Чизотти для отображения из единичного круга и верхней полуплоскостиПолучим формулу Чизотти для конформного отображения w = f (z) из единичного круга E = (zeC: |z| < 1} на односвязную область D, ограниченную такой кривой Г, что в каждой точке w = f (ей), te[0;2ji], известен угол наклона 0 = 0(t) касательной к Г.Введем вспомогательную функциюh(z) = - / ln(-i(1-z)2f(z)). (1)Для нее Re h(z)| _ „ = arg f \eь) + - +1 = 6(7).2Если функция 0(t) известна и кусочно-непрерывна, то функция h(z) восстанавливается с помощью интеграла Шварца [1. С.222] по формулеh(z) = - f 0(t) --zdt + iA , 2n 0 - - zгде A e R . Зная h(z), из равенства (1) находим искомое отображение w = f (z). Потенцируя (1), получаемf'(z) = i-(1 - z)2В результате интегрирования получаемw = f (z) = i I 2 d^ + c0 . l(1" S)2Тем самым доказана теорема.Теорема 1. Пустьf: E -» C - конформное отображение, где E = (zeC: |z| < 1}. Пусть f (E) = D, D - односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г. Пусть угол наклона 0 = 0(t) касательной к Г в точке w = f (e"), te [0;2п], - кусочно-непрерывное отображение. Тогда справедлива формула 0 (1" ®2где h(z) =- f 6(t)--Z dt + iA, A e R.2n 0 e -zФормула (2) называется формулой Чизотти.Получим формулу Чизотти для конформного отображения w = f (z) из верхней полуплоскости П = (zeC: Im z > 0} на односвязную область D, ограниченную такой кривой Г, что в каждой точке w = f (x), xeR, известен угол наклона 0 = 0(x) касательной к Г.Введем вспомогательную функциюh(z) = - i lnf(z). (3) Для нее Re h(z)|Imz=0 = arg f'(x) = 6(x).Если функция 0(x) известна, кусочно-непрерывна и существуетdx10(x)"-сто функция h(z) восстанавливается с помощью интеграла Шварца [1. С.224] по формуле1 ч dxh( z) = - f 6( x)7 TT J-iA.-дагде AeR. Зная h(z), из равенства (3) находим искомое отображение w = f (z). Потенцируя (3), получаем eih(z) = f '(z).В результате интегрирования получаемzw = f (z) = J e*Я)dC + c0 . Тем самым доказана теорема.Теорема 2. Пусть f: П - C - конформное отображение, где n=(zeC: Im z > 0}. Пусть f (П) = D, D - односвязная область ограниченная кусочно-гладкой кривой Г. Пусть угол наклона 0 = 0(x) касательной к Г в точке w = f (x), xeR, - кусочно-непрерывное отображение. Пусть существует19(x) .J x - z-сюТогда справедлива формулаzh(z) = - f 9(x)+ iA, A e R.irr JV - 7w = f (z) = j+ c0, c0 e C , (4)1 dxгдеin J x - z-даФормулу (4) будем называть формулой Чизотти для отображения из верхней полуплоскости.2. Формула Чизотти для отображения с симметрией переноса вдоль вещественной осиОбласть D, D с C, называют областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, если D = L(D), L(w) = w + 2п.Однолистное и голоморфное отображение/: П - C , где П = (zeC: Im z > 0}, называют отображением с симметрией переноса, если оно удовлетворяет условиям:1..f (П) = D- односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п типа полуплоскости,2..f (z + 2nk) = f (z) + 2nk , keZ,3.lim (f (z) - z) = 0 и lim f'(z) = 1.Im z-+coIm z--KoПолучим формулу Чизотти для конформного отображения w = f (x) из верхней полуплоскости на область D с симметрией переноса, ограниченную такой кривой Г, что в каждой точке w = f (x), xeR, известен угол наклона 0 = 0(x) касательной к Г.Введем вспомогательную функциюh(z) = lnf'(z)+z. (5) Для нее Im h(z) | Im z =0 = arg f'(x) = 0(x).Отображение (5) является отображением с симметрией переноса и непрерывно продолжается на вещественную ось.Если функция 0(x) известна, то функция h(z) восстанавливается с помощью интеграла Шварца [2]1 гx - zh(z) = - I 0(x)ctgdx + z .2n 0 2Зная h(z), из равенства (5) находим искомое отображение w = f (z). Потенцируя (5), получаем eh(z)-z = f '(z).В результате интегрирования по гладкой кривой от точки z0 до z в П, где П = (zeC: Im z > 0}, получаемzw = f (z) = Je^dt, + c0 . Тем самым доказана теорема.Теорема 3. Пустьf: П - C , где П = (zeC: Im z > 0}, - конформное отображение c симметрией переноса, непрерывно продолжаемое на вещественную ось и удовлетворяющее условиям:1..f (П) = D - односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п типа полуплоскости, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г,2..f (z + 2nk) = f (z) + 2nk , keZ,3.lim (f (z) - z) = 0 и lim f'(z) = 1.Im z-+coIm z->-+oПусть угол наклона 0 = 0(x) касательной к Г в точке w = f (x), xeR, - кусочно-непрерывное отображение. Тогда справедлива формулаzw = f (z) = J eh(^ d^ + c0, c0 e C , (6)z0Л 2пгде h(z) = - I 0(x)ctgdx + z .2n 0 2Формулу (6) будем называть формулой Чизотти для отображения с симметрией переноса.Вообще, функция 0(x) неизвестна, и формула Чизотти не дает эффективного решения задачи конформного отображения. В случае отображения на многоугольник 0(x) равна известной постоянной на каждом отрезке вещественной прямой, соответствующем стороне многоугольника, поэтому формула Кристоффеля - Шварца легко получается из формулы Чизотти.3. Формула типа Кристоффеля - Шварца для счетноугольникаОдносвязную область D с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости, граница которой Г состоит из отрезков прямых и лучей, причем при движении по границе от точки w0 до w0+2n их должно быть конечное число, называют счетноугольником [3]. Двигаясь по границе счетноугольника от w0 до w0+2n в положительном направлении (то есть в таком, что счетноугольник остается слева), обозначим последовательно встречающиеся угловые точки границы через Aj(0), A^00A^00, A^00 ф Aj(0) + 2п , а углы обозначим соответственно через оцл, а2п,.. .,аил. Если A^0 е C, то 0 < ak < 2, если Af0 =, то ak = 0.Пусть отображение f является отображением с симметрией переноса. Пусть образом верхней полуплоскости при этом отображении является счетноугольник.Обозначим через af0 прообраз Af0, к = 1, n, для отображения f Можно считать, что Vaf0 е (0;2п).Запишем отображение f с помощью формулы Чизотти из теоремы 3. Исходя из геометрического смысла аргумента производной, имеемГ0Х, 0 < x < a{0),2, &i < X < (Л^ ,0( x) = arg f'(x) = \0 a(0) < X < a(0) 0l, аП0) < x < 2п.Построим вспомогательное отображение h: П -» С, используя формулу Шварца для отображений с симметрией переноса [2]. Имеемx - z с x - z 2h(z) = I 0jctgdx + I 02ctg-dx +... +02a}0' 2x - z , г . , x - zj 6„ctg -zdx + j 0lCtg -z + z .a(0) a(0)an-l anИнтегрируя и переставляя соответствующим образом слагаемые, получаемh( z) =^2 lnsm «Tli.Tnsin(0)0 - 0a(0) - z 0 - 0a(0) - zп2n 2Зная, что 0k - 0k+1 = (ak - k = 1, n, после простых преобразований получимnh(z) = z + In p[k=1vsin-Подставив h в формулу (6), получимsin( n ( af - 4 Г*1 ^= /(z) = J exp in Пsm-где ci, c2 - постоянные.Тем самым доказана теорема.Теорема 4. Пусть/: П -» C, где П = (zeC: Im z > 0} - конформное отображение c симметрией переноса, непрерывно продолжаемое на вещественную ось и удовлетворяющее условиям:1..f (П) = D - счетноугольник;2..f (z + 2nk) = f (z) + 2nk , keZ;3.lim (f (z) - z) = 0 и lim f'(z) = 1.Im z--+coIm Z^+COТогда справедлива формула типа формулы Кристоффеля - Шварца:^ П If (z)=ci Jnlsinaf - % -z0 k=1 V"7где c1, c2 - комплексные постоянные, e (0;2п) - прообразы вершин счетноугольника с углами akn.

Скачать электронную версию публикации