The radicals of endomorphism rings of Abelian groups .pdf Одной из важных задач теории абелевых групп и их колец эндоморфизмов является исследование радикалов колец эндоморфизмов. Естественно, что в силу исключительно важной роли радикала Джекобсона в структурной теории колец, основное внимание уделялось именно этому радикалу. В своей монографии [1] Р.С. Пирс поставил проблему описания элементов из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой _р-группы в терминах их действия на группе. Он ввел идеал H(G) всех эндоморфизмов абелевой _р-группы G, повышающих высоты элементов порядка р группы G, который оказался очень полезен при решении указанной проблемы. Изучение радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов р-группы в последующих статьях других авторов, так или иначе, касается связи между идеалом H(G) и радикалом. Эти статьи освещены в обзорах [2, 3]; укажем только некоторые более поздние работы [4 - 7].По аналогии с примарным случаем, автор определил в [8] идеал H(G) всех эндоморфизмов абелевой группы без кручения G, повышающих р-высоты ее элементов. С помощью этого идеала в [8] охарактеризован радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы без кручения конечного ранга, даны критерии его нильпотентности и равенства нулю. В [9] найдены условия совпадения радикала с идеалом H(G) и условия равенства нулю пересечения степеней радикала. В [8, 9] рассматривалось также строение фактор-кольца кольца эндоморфизмов по радикалу. Для групп бесконечного ранга нет оснований надеяться на описание радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов в общем случае. В [10] установлено, что радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов алгебраически компактной группы без кручения G совпадает с H(G). В [9] выделены довольно обширные классы групп без кручения с нильпотентным радикалом Джекобсона кольца эндоморфизмов.В настоящей статье вычисляется радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов вполне разложимой группы без кручения G (теорема 2.3). Для группы G конечного ранга это сделано в [11].Помимо периодических групп и групп без кручения третьим основным классом абелевых групп является класс смешанных групп. Согласно определению, смешанная группа содержит как ненулевые элементы конечных порядков, так и элементы бесконечного порядка. Автору неизвестны работы, в которых затрагивались бы радикалы колец эндоморфизмов смешанных групп. В п.3 находится радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы из одного класса смешанных групп, интенсивно изучающегося в последние годы (теорема 3.2). Рассматривается также фактор-кольцо кольца эндоморфизмов такой группы по радикалу. В частности, выяснено, когда оно регулярно в смысле Неймана (теорема 3.5).Все встречающиеся в статье группы - абелевы, р обозначает некоторое простое число. Если G - группа, то E(G) - ее кольцо эндоморфизмов (иногда вместоE(G) пишем R). Для гомоморфизма а через aA обозначаем сужение а на подгруппе А. J(K) - радикал Джекобсона кольца К, N(K) - ниль-радикал, т.е. сумма всех ниль-идеалов кольца К. Используем без пояснений ряд известных свойств радикала Джекобсона. Групповые термины, примененные к кольцу, как обычно, относятся к его аддитивной группе. Ф - знак прямой суммы групп, идеалов или конечного числа колец.1. Вспомогательные результатыРангом группы без кручения G называется мощность любой ее максимальной линейно независимой системы элементов. Группа G называется однородной, если все ее ненулевые элементы имеют одинаковый тип [12, § 85]. Пусть n(G) = {p IpG^G). Если n(G) - конечное множество, то говорят, что G - почти делимая группа.р-высоту элемента xeG обозначаем hp(x). Базис окрестностей нуля группы G в Z-адической топологии составляют подгруппы nG, neN.Для группы без кручения G положимH(G) = ^ае Е(G)aD = 0, где D - делимая часть группы G; 1 x е G - D, h (x) < да => hp (x) < hp (ax), p e n(G).JПонятно, что H(G) - идеал кольца E(G). Если G - редуцированная группа, то H(G) = {aeE(G)|xeG, hp(x) hp(x) < h^(ax),pen(G)).Для удобства чтения и ссылок приведем главные результаты работы [8]. Напомним, что под псевдоцоколем SocG группы без кручения G понимают сервант-ную подгруппу, порожденную семейством всех ее минимальных сервантных вполне характеристических подгрупп.Предложение 1.1. Пусть G - группа без кручения конечного ранга. Тогда1..H(G) с J(E(G)) и идеал J(E(G))/H(G) нильпотентен;2..Радикал J(E(G)) нильпотентен тогда и только тогда, когда G не имеет ненулевых почти делимых квазислагаемых;3.J(E(G)) = 0 в том и только в том случае, если G = SocG и G не имеет ненулевых почти делимых квазислагаемых.В общем случае ни один из идеалов J(E(G)) и H(G) не содержится в другом. Рассмотрим некоторые соотношения между этими идеалами.Предложение 1.2. Пусть G - редуцированная группа без кручения. Включение H(G) с J(E(G)) справедливо тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие (*): для любых aeG и aeH(G) существует lim bn (предел в Z-адической топологии), где bn= a+aa+...+an-1a.Доказательство. Пусть H(G) с J(E(G)). В таком случае элемент 1 - X обратим в E(G) для любого XeH(G), или, что то же, 1 - X - автоморфизм группы G. Если теперь aeG, aeH(G), то выберем элемент beG так, что (1 - a)b = a. Имеем bn = a + aa +...+ an-1a = (1 - a)b + (a - a2)b +.. .+(an-1 - an)b = (1 - an)b. Откуда b - bn = anb. Поскольку aeH(G), тоa"b e f] p"G .pen (G )Следовательно, b = lim bn и (*) выполняется.Обратно, пусть (*) выполняется. Достаточно показать, что элемент 1 - X обратим в E(G) для всякого XeH(G). Если 0 Ф xeG, то hp(x) < да для некоторого р. Тогда hp(x) < hp(Xx) и hp((1 - X)x) = hp(x - Xx) = hp(x) < да. Отсюда (1 - X)x Ф 0. Возьмем теперь некоторый элемент aeG и положим b = lim bn, где bn=a + Xa +...+ Xn-1a. Имеем (1 - X)b = (1 - X)(lim bn) = lim (1 - X)bn = lim (bn - Xbn) = lim (a - Xna) = = a - lim Xna = a, так как X"a e Q p"G и, значит, lim Xna = 0. Таким образом,(1 - X)b = a. Получили, что 1 - X - автоморфизм группы G, т.е. обратимый элемент кольца E(G). Предложение доказано.Если G - группа без кручения, aeG, aeE(G), то 0> и 0>* обозначают соответственно подгруппу и сервантную подгруппу, порожденную элементами a, aa, a2a,... .Следствие 1.3. Пусть L - односторонний идеал кольца эндоморфизмов редуцированной группы без кручения G, состоящий из эндоморфизмов a, таких, что подгруппа 0> имеет конечный ранг для любых aeG и aeL. Тогда H(G)flL с J(E(G)).Из доказательства предложения 1.2 видно, что достаточно проверить выполнение условия (*) для идеала H(G)HL. Пусть aeG, aeH(G)HL. Положим А = 0>*. Группа А имеет конечный ранг и a| А eH(A). По предложению 1.1 Н(А) с J(E(A)). Ввиду предложения 1.2 условие (*) для идеала Н(А) выполняется, т.е. существует lim bn в группе А, где bn= a + aa +...+ an-1a. Значит, существует lim bn в группе G, что и означает выполнимость условия (*) для H(G)HL. Следствие доказано.Выделим один класс групп, для которых справедливо включениеJ(E(G)) с H(G).Группа без кручения G называется вполне транзитивной, если для любых ее элементов a,b ф0, таких, что hp(a) < hp(b) при всех р, существует 9eE(G), переводящий a в b [13].Предложение 1.4. Если G - однородная вполне транзитивная группа без кручения, то J(E(G)) с H(G).Доказательство. Группу G можно считать редуцированной. В таком случае H(G) = О pE(G). Радикал равен пересечению всех примитивных идеаловкольца. Поэтому достаточно доказать, что идеал pE(G) примитивен, т.е. существует точный простой E(G)/pE(G)-модуль для каждого _pen(G). Зафиксируем некоторое qen(G) и покажем, что точный E(G)/qE(G)-модуль G/qG прост. Для произвольных элементов x, y e G - qG найдем такой эндоморфизм tpeE(G), что tpx -y e qG. Ввиду однородности группы G существует целое число k Ф 0, такое, что hp(x) < hp(ky) для всех _pen(G). При этом можно считать, что (k, q) = 1. Следовательно, ks + qt = 1, где s, t - целые числа. Далее, поскольку hp(x) < hp(ksy), _pen(G), то существует 9eE(G) со свойством фх = ksy Теперь имеем фх - y = ksy - y = -qtyeqG и предложение доказано.Группа без кручения, являющаяся прямой суммой групп ранга 1, называется вполне разложимой. Группа без кручения G называется сепарабельной, если каждое конечное подмножество элементов из G содержится в некотором вполне разложимом прямом слагаемом группы G (теория групп ранга 1, вполне разложимых и сепарабельных групп изложена в [12, §85 - 87]). Однородная сепарабельная группа вполне транзитивна. Поэтому имеет местоСледствие 1.5. Для однородной сепарабельной группы G всегдаJ(E(G)) с H(G).Введем в рассмотрение еще один идеал кольца эндоморфизмов. Эндоморфизм a группы G назовем поэлементно нильпотентным, если для всякого ae G найдется ne N (зависящее от a), такое, что ana = 0. Обозначим через N(G) сумму всех идеалов кольца E(G), состоящих из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов группы G. Понятно, что N(E(G)) с N(G).Лемма 1.5. N(G) с J(E(G)).Доказательство. Покажем, что каждый идеал L кольца E(G), состоящий из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов, содержится в J(E(G)). Для этого проверим, что элемент 1-a обратим в E(G) для любого ae L. Допустим, что (1 - a)a = 0, где aeG. Положим А = 0>. Тогда оА с А и о|А - нильпо-тентный, а 1-о|А - обратимый элементы кольца E(A). Это влечет a = 0. Пусть теперь beG и В = 0>. Тогда a|B - нильпотентный, а 1-a|B - обратимый элементы кольца E(B). Откуда (1-a)c = b для какого-то ceB. Следовательно, 1-a -автоморфизм группы G и обратимый элемент кольца E(G).Лемма 1.6 [9]. Пусть группа G = АФВ, е: G - A - проекция, i: A - G - вложение. Тогда 1) еслиfeJ(E(G)), то e/ieJ(E(A)); 2) если geJ(E(A)), тоfeJ(E(G)), где f совпадает с g на А и аннулирует В.2. Случай вполне разложимой группы без крученияОбщий тип всех ненулевых элементов однородной группы без кручения А называется типом группы А и обозначается t(A) (см. начало п.1). В частности, это касается группы А ранга 1. Напомним, что вполне разложимые и сепарабельные группы без кручения определены в п.1.даЛемма 2.1. Пусть группа без кручения G = Ф Ai, где А,- - группа ранга 1и t(A;) < t(A;+1), i> 1. Для любого aeJ(E(G)) существует такое meN, что aG с A;®...®Am.Доказательство. Предположим, что для некоторого aeJ(E(G)) числа m не существует. Положим n0= 1. Пусть индекс k1 таков, что aAj с Ах Ф... © Aki, причем k1 - минимальное число с указанным свойством. Ввиду предположения существуют индексы n1 и k2, для которых n1, k2>k1 и aAnj с Ах ©... © Акг, причем k2 -минимальное число с таким свойством. Продолжая этот процесс, получим последовательность групп А^, Akj, Ani, Ak^,.... Определим теперь эндоморфизмфeE(G), взяв в качестве ср|Ak некоторый ненулевой гомоморфизм Ah - Л^. длядавсех i'eN и положив фAs= 0 для s Ф k;. Образуем группу В =® Ak , и пустьj: В - G, e: G - В - соответственно вложение и проекция. По лемме 1.6 ea^'e J(E(B)). Однако элемент 1 - ea^' необратим в кольце Е(В), чего не может быть. Действительно, для каждого ieN ограничение ea^' на Ak является гомоморфизмом Ak -»Ф Ak и (еафу) Ak с£ Ф Ak . Это означает, что для ненулевого1 s=1 s' s=1 sэлемента a е Ak элемент (ea^')a имеет ненулевую компоненту в Ak ^. Откуда Aki

Скачать электронную версию публикации