Maximum principle for difference of almost solutions of ellipticequations .pdf 1. />-Гармонические уравнения1..Условимся в обозначениях. Пусть R" - n-мерное евклидово пространство, n > 1, со стандартным скалярным произведением (,> и модулем | | = >/(v) . ПустьD с R"- область и пусть k(x):D - R1- измеримая по Лебегу, неотрицательная и почти всюду конечная функция.Пусть A:DxR" - R" - отображение, удовлетворяющее следующим предположениям:(i)()для почти всех x е D отображение ^eR" - A(x,Ј) определено и непрерывно;(ii)()отображение xeD -> A(x,Ј) измеримо для всех ^eR" ;(iii)для почти всех xeD и всех ^eR" выполняются следующие структурные ограничения:Ц1*(x)|$|а A(x,$)); (1)\A(x,S)\ 1 и рь р2 > 0 - некоторые постоянные.Удобно обозначить ц=ц2/ц1 . Ясно, что всегда р > 1. Рассмотрим уравнениеdiv A(x,V h) = 0. (3)Уравнения описанного вида называются А-гармоническими [1]. Следует отметить, однако, что в монографии [1] предполагаются более жесткие ограничения на весовую функцию k(x). В частности, предполагается, например, чтобы k(x) была ограничена сверху и отграничена от нуля в существенном на компактных подмножествах области D и др. [1. С. 7].На наш взгляд, подобные ограничения при описании класса уравнений излишни, поскольку носят во многом технический характер.Простой пример А-гармонического уравнения доставляет уравнениеdiv (|Vhr2 Vh) = 0, p > 1. (4)Решения h уравнения (4) называются p-гармоническими функциями, а само уравнение - _р-гармоническим [1, глава 6].2..Символом C(E) ниже обозначается класс функций, непрерывных на множестве E, символом Ck(D) - множество функций, имеющих производные порядка k, k=1,2,..., в области D, символом CU(D) - множество функций класса C1(D) с производными первого порядка, удовлетворяющими условию Липшица локальнов D.Функция h принадлежит классу W1,a(D), a > 1, если она имеет обобщенные в смысле С.Л. Соболева частные производные 5h/5x;, (i=1,...,n), суммируемые по D со степенью a. Функция h принадлежит классу (D), если она принадлежитклассу W1'a(Dr) на всякой подобласти D'c D. Последнее означает, что замыкание D' компактно и содержится в D.Определение 1. Непрерывная функция h:D - R1 класса (D) являетсяпочти-решением уравнения (3), если для всякой функциифеЖ0'а(D)nC(D), 0 2, Hi =1,, р2 = 1 + P - 2| приp > 1,[p -1 при 1 < p < 2,и если уклонения h1 , h2 суть s1 > 0 и s2 > 0 соответственно, то уклонение почти-решения h равно s1+s2.Доказательство. Так как ht (i=1,2) суть почти-решения уравнения (4), то для всякой функции ф со свойствами (5) выполненоj( УФ>| ЩГ2 VA;) dHn |п|. Пользуясь (19), имеемip (Ц, n) < \ (Х(| Ц-М)+N)р-2 d *.=■ 'j т X т = -^jfl. (20)Ш-Ы П р -1 Ш-\чС другой стороны, на основании (19) находим11 ip(s,n)> Ix|$|-(i-x)|4p~2 = Ix($|+fol)-Nlpp-dx =0 0 1 s= J|X(^ + hl)-HIPP- dX+ J||n|-X(|$| + H)pp2 dX,s 0гдеs =т^г-. ■ (21)Вычисляя последние два интеграла, получаемIp(S,л) >71Ъ1 ,,, . |,'| , p > 2. (22)Пусть 1 < p < 2. Как и выше, предположим, что |S|>|n|. В соответствии с (19) можем записатьip & п) < | х|$|-(1 -х)| 4 ppl = J| х( ^+hl)-HI p~2 dd =oo= J||4 - x(^+hl)p 2 dx +1x($|+hl) - hllp 2 dx,0s где величина s > 0 определена равенством (21). Таким образом, находимIpn) 2, (28) иcw (p)(\$2-- +h|2-- )-1 < Ip ($, Л) < cu (p)(\$2-- 2-- с11 (P) =-^-Г C12 ((P)>P - 1p - 15..Напомним необходимые понятия из [2]. Пусть D - область в Rn и A, B - непустые, замкнутые относительно D, непересекающиеся подмножества. Обозначим черезcapk (A, B)=inf f k(x)|Vu|2 dH", u e C1 (D), u|A = 0, u|B = 1,uDвзвешенную k-емкость конденсатора (A, B; D) и черезj k (x) |Vu|2 dH nXk (O) = inf O , . гя ,« e C1 (O) n C0 (O), «|ao = 0, (30) u j k(x) u dHовзвешенную основную частоту открытого множества O с Rn.Будем говорить, что неограниченная область D с Rn является k-узкой в окрестности бесконечно удаленной точки Rn, если при всяком r > 0 выполненоlimcapk (Dr, D \ DR) = 0,где Dt = {|x |< t}nD.Теорема 7.1.1 из [8] и лемма 1 влекут справедливость следующего утверждения.Теорема 1. Пусть h\, h2 - почти-решения с уклонениями Ei > 0, s2 > 0 в области D с Rn p-гармонического уравнения (4), удовлетворяющие предположениюlimsup(hx(x)-h2(x)) < 0, x e D, x0 e 3D. (31)Тогда либо hi(x) < h2(x) всюду в D, либо открытое множествоO = { xeD: (hi(x) - h2(x)) > 0}не пусто и- \ k(x)|V(AL - h2) dHn 0 - измеримая функция.В некоторых случаях имеет смысл предполагать, что символ A(x, Е) подчинен условиюA(x, Е) = A(x, п) тогда и только тогда, когда Е = п. (40) Условиям (39) с V = 1, k(x) = 1 и (40) удовлетворяет уравнение минимальной поверхностиdiv ■ Vh(x) = 0 (41) V1 + |VA( x)\2(см. [9] - [13])-Другой пример доставляет одно уравнение газовой динамикиdiv (ст(| VA( x)|)VA( x)) = 0, ст(/) = (l - Y-1t2 jY-1, (42)где у - постоянная, характеризующая поток субстанции [14, §2; 15, §2].В [16] установлено, что в случае постоянной -» < у < -1 уравнение (42) удовлетворяет (39) c V = 1, k(x) = 1 и (40). При у > -1 в [16] указаны некоторые оценки множества, на котором выполнено (39).2.2. Пусть h1 и h2 - произвольная пара почти-решений уравнения (3) в области D с Rn, такие, что в каждой граничной точке x0e dD выполненоlim( h (х) - Й2 (х)) < 0. (43)Предположим, что в некоторой точке aeD выполнено hi(a) > h2(a). Обозначим через O открытое множество{xeD: hi(x) - h2(x) > 0},содержащее точку a.Всюду на границе dO имеем h1(x) - h2(x) = 0. Рассмотрим функциюГА[ (x) - h2 (x) при x е O,f (x) ,' 0при x е D \ O.Данная функция непрерывна, неотрицательна и принадлежит классу W1p(D). Зафиксируем r > 0 так, чтобы пересечение шараB(0, r) = {x € Rn : \x\ < r}с областью O было непусто и R > r. Пусть \|/(|x|):R"-» R1 - непрерывная функция, равная 1 на B(0, r), обращающаяся в 0 на R"\B(0, R), принадлежащая классу W1,2(Rn) и такая, что 0 < y(x) < 1.Не ограничивая общности, можем считать, что функция 0 и е2 > 0, то, в силу (5), имеемJ(Уф, A(x, УН1)) dHп - J(Уф, A(x, VA2)) dHnDDJ( Уф, A( x, VA!) - A( x, V h2)) dHn< (Si +62 )M,DгдеM = max(Aj (x) - h2 (x)).V > s(44)ТогдаJ y2k(x)|A(x,Vhl)-A(x,Vh2)\2dH" 0, удовлетворяющего (44), выполнено j k(x)|A(x,V«i)- A(x, Vh2)|2 dHn 0 выполненоlim cap л (Dr, D \ DR) = 0 .R-oo kИмеет место следующая форма принципа максимума разности для почти-решений.Теорема 3. Пусть hi, h2 - почти-решения в области D с Rn уравнения (3) с ограничениями (i), (ii) и (iv). Предположим, что h\, h2 удовлетворяют условиюlim swp(hl (x) - h2 (x)) < 0, x e D, x0 e dDи имеют уклонения Ei > 0, e2 > 0 соответственно.Тогда либо hi < h2 всюду в D, либо множество O = {xe D: hi(x) > h2(x)} не пусто и имеет место (45). В частности, если область D ограничена или является кГ1-узкой на бесконечности, то для любого r > 0 выполненоj k(x)|A(x,Vh1)-A(x,Vh2)|2dH" < - (6l +s2). (46)On{|x|

Скачать электронную версию публикации