Construction of an infinitly narrow 2-dimensionally orderedfield .pdf 1. Постановка задачиПусть (P0, 0 при x = a.d_ Г .ад ^Иначе, K есть множество тех и только тех xe K, для которых выполнено неравенство> F2(a) (3)Fi (a) F2 (a)'o oОбозначим, как ранее, K" = K" \ (-K"). Легко видеть, что x e Ku , если итолько еслиFi'(a) > F2(a)Fl (a) F2(a)Так же x e (-K"), если и только еслиFi'(a). < F2(a)Fi (a) F2 (a)2) В [1] доказан следующий критерий верхнего конуса двумерного порядка в поле.Теорема. Пусть P есть поле характеристики нуль, P" - его подмножество. Обозначим P0 = PMn(-P"), P" = P" \ (-P"). Для того чтобы P" было верхним конусом2-порядка на поле P, необходимо и достаточно выполнение следующих 4 условий.(a)()P" + P" = P";(b)()P" U-P" = Р;(c)()(P"\{0})-1 = -P"\{0};(d)()если a, ce P", b e P" , ba -1, cb -1 eP", то ca -1 eP".(a)Задание верхнего конуса единственным образом определяет 2-порядок в полеР [1]. "Убедимся, что K" есть верхний конус 2-порядка в поле K. 3) Проверим замкнутость множества K" относительно сложения. Пусть x, ye K". Тогда> 0 при x = a.F(a) d F(x) F2 (a) ' dx F2 (x)Точно так же> 0 при x = a,_ G1 (a) d Gl (x) G2 (a)' dx G2 (x)где F;(x), G;(x)eP0[x]. Но тогда имеемd ( Fi (x) i Gl (x)> 0 при x = a.dx ^ F2 (x) G2 (x)Значит, (x + y)eK".Условие (b) выполнено. В самом деле, пустьx e K, x =F (a) F2 (a)^ F (a) F2 (a)„. ^F (a) F2 (a), „.Если 1V ^ >, то xeK". Если же 1V ' 0 при x = a (мы опуска-dx H2 F1ем здесь технически сложный вывод). Но последнее неравенство означает, что xz -1eP". Итак, свойство (в) выполнено. Таким образом, в поле P0(a) эффективно задан нетривиальный двумерный порядок.

Скачать электронную версию публикации