Meridians and Parallel Lines of NonholonomicDouble Rotation Hypersurface in E₄ .pdf Известно, что в четырехмерном евклидовом пространстве существует два вида вращений. Применяя эти вращения к регулярной кривой, лежащей в двумерной плоскости, можно получить два вида поверхностей вращения: сферические поверхности вращения [1] и поверхности двойного вращения [1]. Последние имеют центр вращения и две двумерные взаимно ортогональные оси вращения, пересекающиеся в одной точке (центре вращения). Характерным признаком поверхности двойного вращения является тот факт, что все нормали этой поверхности пересекают обе оси вращения (каждую в одной точке, отличной от центра вращения). Свойства нормалей гиперповерхностей двойного вращения мы положили в основу определения неголономной гиперповерхности вращения.Определение 1. Гиперраспределением на Е4 называется гладкое отображение, сопоставляющее каждой точке МеЕ4 гиперплоскость п3, проходящую через точку М [3, 5].Гиперраспределение однозначно определяет уравнение Пфаффа [3] и называется голономным, если определяемое им уравнение Пфаффа вполне интегрируемо, то есть если через каждую точку МеЕ4 проходит интегральная гиперповерхность, касающаяся в точке М плоскости п3. В этом случае говорят, что Е4 «расслаивается» на трехмерные поверхности. Если данное уравнение Пфаффа не является вполне интегрируемым, то распределение называют неголономным. Однако и в этом случае интегральные кривые или двумерные интегральные поверхности, проходящие через точку М, также касаются в этой точке плоскости п3. Возникает возможность сравнить геометрию интегральных кривых, проходящих через одну точку в голономном и неголономном случаях.Определение 2. Прямая, проходящая через точку М и ортогональная плоскости п3, называется нормалью гиперраспределения.Определение 3. Неголономной гиперповерхностью двойного вращения (НПДВ) называется такое неголономное гиперраспределение, все нормали которого пересекают две неподвижные взаимно перпендикулярные двумерные плоскости, пересекающиеся в одной точке [2].Неподвижные двумерные плоскости называются двумерными осями вращения, а точка их пересечения - центром вращения. Предполагается также, что каждая нормаль пересекает каждую двумерную ось вращения в одной точке, не совпадающей с центром вращения.1. Главные кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращенияПусть неголономная поверхность задана в некоторой области G с Е4 и Ме G. Выберем ортонормированный подвижной репер {M, ea} (а = 1,...,4) следующим образом: векторы {eb e2, e3} поместим в гиперплоскость п3, а вектор e4 направим по нормали к п3 в точке М. В деривационных формулах репераdr = юа ea,de = coaЯ eaформы a4 - главные, из них a>a - базисные и поэтомуоЛ = A\\ e;, (1.4) i = 1, 2, 3, а = 1, 2, 3, 4,в (1.3), получим02+ t2 (A2i&1 + A22K>2 + А2зю3 + Л24Ю4) = 0,03+ t2 (А2!©1 + A22&2 + А2зю3 + Л34Ю4) = 0. Отсюда, в силу независимости форм {oa} следует1 + tl A22 = 0, A2 = A32 = A42 = 0, dt2 = 2(1.5)(A3 )2Так как t2 Ф t3, то Д\ Ф A3 .Характеристическое уравнение оператора Л [4] при условиях (1.5) имеет вид41 -х0 0 4Л| -х 0A1A3 - AI(1.6)Все три корня уравнения (1.6) вещественные. А так как главные кривизны 2-го рода k1 , k2 , k3 отличаются от них лишь знаком, то это значит, что главные кривизны 2-города - вещественные числа: к1 = -Aj, к2 =-д|, к3 =-д| , при k2 Ф k3. ■Вектор p = V (A23 - A32)e1 + V (A31 - A!3)e2 + Vi (A!2 - A21)e3 называется вектором неголономности [4], так как обращение его в нуль-вектор является необходимым и достаточным условием голономности распределения. В каноническом репере в силу (1.5) он имеет координатыp1 = 0, p2 = - V A13, p3 = V A12.(1.7)Обозначим A 4 = a. Вектор ae1 - это вектор кривизны линии тока векторного поля нормалей {e4}. Уравнения (1.1) и формулы (1.4) теперь принимают вид113 22 3 4о 4 = - k1o + 2p о - 2p о + ак> , к>24= - k2co2,о34= - k3K>3 (1.8) иdF2 = 1/k2 ((k1 - k2) о1 + 2p V - 2p V + acu4)e1 ++1/k2 (k3 - k1) о3 e3 + (о4 ■d k2 (k2 )2 ) e4,dF3 = 1/k3 ((k3 - k1) о1 + 2p V - 2pV + acu4)e1 ++1/k3 (k3 - k2) о2 e2 + (о4d k3 (кз )2 ) e4.(1.9)Так как F2 описывает двумерное многообразие, то формы при e1 , e3, e4 в (1.9) линейно зависимы:dk2al 1 -3 Iси + Я(f, k "I i 2p3 22P2 юз с+a 4 сОбозначим Я1= - Яk2, Я2= - ak2, получимdk2 = Я1 ((k2- k1) о1 + 2p V - 2pV + ао4) + Я2 (k2- k3) о3 + (k2)V. (1.10)А так как F3 также описывает двумерное многообразие, то аналогичным образом находим, чтоdk3 = а1 ((k3 - k1) о1 + 2p V - 2pV + ао4) + а 2 № - k2) о3 + (k3)V. (1.11)Подставив (1.10), (1.11) в (1.9), получимdF2= 1/(k2)2((k1 - k2) о1 + 2pV - 2pV + ао4) (k2e1 - Я1 e4) + + 1/(k2)2(k2 - k3) «3(k2e3 - Я2e4),dF3= 1/(k3)2((k3 - k1) о1 + 2p V - 2pV + ао4) ^1 - а1 e4) ++ 1/(k3)2(k3 - k2) «3(k3e2 - а 2e4). (1.12) Из (1.12) видим, что плоскость Р2 содержит два независимых вектораk2e1 - Я1e4, k2e3 - Я2e4, (1.13)а плоскость Р3 содержит два независимых вектораk3e1 - k3e2 - а 2e4. (1.14)Так как Р2 _1_ Р3, то каждый вектор из (1.13) ортогонален каждому из векторов (1.14). Это приводит к следующим соотношениям:k2 k3 + а1 Я1 = 0, Я2 = а 2 =0, а1 Ф 0, Я1 Ф 0. (1.15) В результате формулы (1.10), (1.11), (1.12) принимают видdk2 = Я1 ((k2 - k1) о1 + 2pV - 2pV + ао4) + (k2)V;dk3 = а1 ((k3 - k1) о1 + 2p V - 2pV + ао4) + (k3)V; (1.16) dF2= 1/(k2)2((k1 - k2) о1 + 2p V - 2p V + ао4) (k2e1 - Я1 e4) ++ 1/k2(k2 - k3) соЧ; dF3= 1/(k3)2((k3 - k1) о1 + 2pV - 2pV + ао4) (k3e1 - а1 e4) ++ 1/k3(k3 - k2) co3e2. (1.17)Уравнения плоскостей Р2 и Р3 (двумерных осей вращения) соответственно имеют видЯ1x1 + k2 x4 =1;x2 = 0, (1.18) аре1 + k3 x4 =1,x3 = 0, (1.19)где k2 k3 + а1 Я1 = 0.Так как плоскости (1.18) и (1.19) пересекаются лишь в одной точке, тоф 0.Яi0 0 k2010 0a10 0 k300 10Отсюда следуетЯ1k3 - а^2 Ф 0. (1.20) Заметим, что условия на инварианты получены исходя из того, что точки F2 и F3 (каждая) описывают двумерные многообразия (не обязательно плоскости). А плоскости (1.18), (1.19) - это их касательные плоскости. Чтобы эти многообразиябыли бы действительно плоскостями, нужно, чтобы их касательные плоскости не менялись. Требование неподвижности плоскостей (1.18) и (1.19) приводит к ра-венствамо213о31Я1«2, а1о3,0;(1.21)213 22 3 4dа1 = ((а1) + k1 k3) о - 2p k3a> - 2p k3a> + k3 (а1 - а)о . (1.22) Таким образом, найдены все условия на инварианты, определяющие НПДВ. Итог сформулируем в виде следующей теоремы.Теорема 2.1. Для неголономной гиперповерхности двойного вращения выполняются следующие условия:1))в каждой точке все три главные кривизны 2-го рода k1, k2, k3 - вещественные числа, причем два из них не совпадающие (k2 Ф^);2)дифференциалы функций k2, k3 выражаются формулами (1.16)), в которых p2, p3, а - координаты векторов p = p2e2 + p3e3 (вектор неголономности) и ae1 (вектор кривизны линии тока), а дифференциал функции а1 определяется форму-лой (1.22);3) инварианты k2, k3, а1, Я1 связаны зависимостью k2 k3 + а1 Я1 = 0, k2 Ф 0, k3 Ф 0, а1 Ф 0, Я1 Ф 0, Я1k3 - а1k2 Ф 0.В заключение данного раздела выпишем дифференциальные продолжения уравнений (1.8):dk1 = - Y11 о1 + (2p3(Я1 + а) - Y12) о2 + (- 2p2(аl + а) - Y13) о3 ++(а2 + (k1)2 - Y14) о4,dk2 = Я1 ((k2 - k1) о1 + 2pV - 2pV + ао4) + (k2)V,132234 24dk3 = а1 ((k3 - k1) о + 2p о - 2p о + ао ) + (k3) о ,213 22 3 4dа1 = ((а1) + k1 k3) о - 2p k3a> + 2p k3a> + k3 (а1 - а)о , d Я1 = ((Я1)2 + k1 k2) о1 - 2p3k2co2 + 2p2 k2co3 + k2 (Я1 - а)о4,31233 42dp = y12 о + y22 о + y23 о + (y24 + 2p (k1 + k2)) о , 2dp2 = - Y13 о1 - Y23 о2 - Y33 о3 + (2p2 (k + - Y34) о4,da = Y14 о1 + y24 о2 + y34 о4 + y44 о4. (1.23)2. Меридианы и параллели неголономной гиперповерхности двойного вращенияИтак, мы имеем две неподвижные взаимно перпендикулярные плоскости Р2 и Р3, пересекающиеся в одной точке и определяемые в локальных координатах уравнениями (1.18), (1.19). Всякая нормаль НПДВ пересекает эти плоскости в двух точках F2 е Р2 и F3 е Р3. Плоскости Р2 и Р3 являются двумерными осями вращения данной НПДВ. А точка С, в которой они пересекаются, - это центр вращения с координатамиРанее мы показали, что две главные кривизны 2-го рода k2 и k3 не могут совпадать (k2 Ф k3). Третья же главная кривизна k1 может не совпадать ни с одной из них, но может и совпадать с какой-нибудь.Изучим каждый из этих случаев.I. Рассмотрим НПДВ, для которых k1 Ф k2, k1 Ф k3, k2 Ф k3.Находим главные направления и линии кривизны 2-го рода. Главные направления 2-го рода - это направления собственных векторов оператора A . Характеристическое уравнение (1.6) теперь имеет вид2р3 -2р20,0а собственные числа А = - k (i = 1,2,3). Отсюда следует, что главными направлениями, соответствующими главным кривизнам 2-го рода k1, k2, k3 будут направления векторовe1,2p2 e1 + (k3 - k1) e3.(2.1)А соответствующие линии кривизны 2-го рода - это линии, определяемые уравнениямио2 = о3 = о4 = 0; (2.2)(k2 - k1) о1 + 2p V =0,03= 0,04= 0; (2.3)(k3 - k1) о1 - 2pV =0,о2 = 0,о4 = 0. (2.4)Теорема 2.1. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизнам k2 и k3, лежат на двумерных сферах с центрами на двумерных плоскостях вращения.Доказательство. Покажем, что линии кривизны 2-го рода (2.3), соответствующие кривизне k2, лежат на двумерных сферах с центрами на плоскости вращения Р2.Прежде всего, покажем, что точка F2 неподвижна при движении точки М по кривой (2.3). Действительно, из (1.17), при условиях (2.3), получаем dF2 = 0, то есть точка F2 неподвижна. Следовательно, нормали вдоль линии кривизны 2-го рода (2.3) описывают конус. А так как при этом dk2=0, то есть k2=const, то это значит, что все точки кривой (2.3) находятся на одинаковом расстоянии от точки F2, лежащей на плоскости вращения (1.18).Кроме того, покажем, что плоскость x3=0 остается неподвижной в точках этой линии кривизны 2-го рода. Действительно, вдоль линии (2.3) имеем de3. То есть вектор нормали плоскости x3 = 0 не меняется. Это может быть лишь тогда, когда кривая лежит в плоскости.Таким образом, линия кривизны 2-го рода, соответствующая кривизне k2, лежит в трехмерной плоскости и все ее точки одинаково удалены от одной фиксированной точки F2 этой плоскости. Отсюда вывод: линия кривизны 2-го рода, соответствующая k2 - это линия, лежащая на двумерной сфере12 /i \2(2.5)x3 =0.Аналогично доказывается, что линия кривизны 2-го рода, соответствующая k3, лежит на двумерной сфере(x )2+(х3 )212 /i \2(2.6)x2 =0.Теорема 2.2. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизне k1, лежат в двумерных плоскостях, проходящих через нормаль НПДВ.Доказательство. Найдем соприкасающуюся плоскость той линии кривизны 2-го рода (2.2), которая соответствует k1. (Под соприкасающейся плоскостью к кривой понимаем двумерную плоскость, имеющую с данной кривой в каждой точке соприкосновение 2-го порядка, т.е. проходящую через первую и вторую производные радиус-вектора точки кривой.) Пусть r - радиус-вектор точки, лежащей на линии кривизны 2-го рода (2.2), которая соответствует k1. Тогда вдоль этой кривой dr = ro1e1||e1, d2r||e4, d3r||de4|| e1. Отсюда следует, что соприкасающаяся плоскость x2 = 0, x3 = 0 не меняется вдоль той линии кривизны 2-го рода, которая соответствует кривизне k1 . Это значит, что эта линия лежит в двумерной плоскости x2 = 0, x3 = 0, проходящей через нормаль. ■Определение 4. Линии кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращения, вдоль которых нормали образуют конус, называются параллелями НПДВ.Определение 5. Линии кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращения, лежащие в двумерных плоскостях, называются меридианамиНПДВ.Как известно [4], нормали неголономной поверхности вдоль всякой линии кривизны 2-го рода описывают торс. Вдоль каждой параллели этот торс является конусом с вершиной на одной из двумерных плоскостей вращения. А вдоль меридиана ребро возврата торса - это плоская линия, являющаяся огибающей нормалей. Действительно, в точках меридиана ю2 = ю3 = ю4 = О имеем■со1 e4(k, )2При k1 Ф k2 инвариант Yn Ф 0 и, следовательно, точка F1 описывает кривую, касающуюся нормали в каждой свой точке (рис.1).Угол между двумя параллелями (2.3) и (2.4), проходящими через точку MeG, вычисляется по формуле4р2р3>ф1 -^/(4(р3 )2 + (*2 - k )2 ) (4(р2 )2 + (кз - *, )2 ) 'Формулы^4(р3 )2 + (*2 - k )2 л/4(р2)2 + (к - k )2определяют углы соответственно между параллелью (2.3) и меридианом (2.2) и второй параллелью (2.4) и меридианом (2.2). То есть меридианы и параллели ортогональны тогда и только тогда, когда со4 = 0 вполне интегрируемое уравнение.Легко доказать, что меридианы и параллели НПДВ обладают следующими свойствами:1. Плоскость, в которой лежит меридиан, проходит через центр вращения. Действительно, координаты центра вращенияC k2 -к3 ,од_ 0l-Яjа k2 - Яj k3 al k2 - Яj k3удовлетворяют уравнению x2 = x3 =0 плоскости, в которой лежит меридиан.2..Меридианы являются геодезическими прямейшими.Напомним, что линия НПДВ является геодезической прямейшей, если в каждой ее точке ее двумерная соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль НПДВ. Действительно, соприкасающаяся плоскость меридиана определяется уравнениями x2 = x3 =0 и проходит через нормаль НПДВ x1 = x2 = x3 =0.3..Линия тока векторного поля нормалей {e4} НПДВ лежит в одной двумерной плоскости с меридианом и ортогональна ему.Докажем это. По определению линии тока векторного поля касательный вектор к ней идет в направлении вектора поля, то есть dr || e4. Значит, вдоль линии тока о1е1 + о2е2 + о3е3 + о4е4 || e4. Отсюда получаем уравнения линии тока о1 = о2 = о3 = 0. Так как касательные векторы линии тока и меридиана (соответственно e4 и e1) ортогональны как базисные векторы подвижного декартова репера, то ортогональны и сами линия тока и меридиан. Плоскость x2 = x3 =0, в которой лежит меридиан, содержит также и линию тока. Покажем, что эта плоскость постоянна вдоль линии тока. Действительно, эта плоскость содержит два линейно независимых вектора e1 и e4. При перемещении вдоль линии тока о1 = о2 = о3 = 0 имеем de1 = - ао4е4, а de4 = ао4е1, то есть плоскость {e1 и e4} не меняется. Таким образом, мы показали, что линия тока лежит в той же двумерной плоскости, что и меридиан.II. Переходим к рассмотрению случая, когда k2 Ф k3, k1 = k2.Главные направления 2-го рода, соответствующие кривизне k1 = k2 в плоскости п3, определяются системой уравненийp3f = 0,^3 = 0. (2.7)Отсюда следует, что имеются две возможности: 1) p3 ф0, 2) p3 = 0. Исследуем каждую из них.1) Пусть р3 Ф 0. Тогда кратному значению кривизны k1 = k2 соответствует единственное (в плоскости п3) главное направление 2-го рода - это направление вектора e1. Следовательно, через каждую точку MeG пройдет одна линия кривизны 2-го рода, определяемая уравнениями со2 = ю3 = = о4 = 0, соответствующая кратной кривизне k1 = k2. Это плоская линия - меридиан, вдоль которого нормали неголономной поверхности образуют пучок с центром на двумерной оси вращения P2. Действительно, при k1 = k2 инвариант Y11= 0 и, следовательно, dF1 = 0, т.е. точка F1 - неподвижная точка вдоль меридиана. Кроме того, при k1 = k2 в точках меридиана имеем dk2 = 0 (следует из (1.23)), т.е. k1 = k2 = const Ф 0. И меридиан является окружностью (рис. 2).Подведем итог.При k1 = k2, p3 Ф 0 через точку MeG проходят только две линии кривизны 2-го рода. Кривизне k3 соответствует параллель - кривая, лежащая на двумерной сфере с центром на Р3. Кратной кривизне k1 = k2 соответствует только одна линия кривизны 2-го рода. Она обладает свойствами, присущими как меридиану, так и параллели: 1) лежит в двумерной плоскости; 2) является окружностью, вдоль которой нормали образуют пучок (вырожденный конус) с центром на плоскости Р2.Переходим к исследованию 2-го случая.1) Пусть р3 = 0, ki = &2.Подставим p3 = 0, k1 = k2 в систему (1.23), получимY11 = Y12 = Y22 = Y23 = Y24 = 0,Y13 = 2p2(Я1 - а - а), Y14 = (а - Я1), dk2 = - 2p2 Я1ro3 + (а Я1 + (k2)2)ro4, dk3 = a1 ((k3 - k1) о1 - 2p2co3) + (а а1 + (k3)2)co4,21 22 3 4da1 = ((a1) + k1 k3) о + 2p k3co + k3 (а1 - а)о , d Я1 = ((Я02 + (k2)2) о12 + 2p2 k2(ц3 + k2 (Я1 - а)о4,22132 42dp = - 2p (Я1 - а1 - а) о - y33 о + (2p (k1 + k3) - y34) о,da = Y14 о1 + y24 о2 + y34 о4 + y44 о4. (2.8)Внешнее дифференцирование первых четырех форм приводит к тождественным равенствам, т.е. на инварианты k2, k3 ,a1, Я1 никаких дополнительных условий не возникает. После внешнего дифференцирования последних двух равенств получим два внешних уравнения, содержащих дифференциалы функций y33, Y34, Y44. Можно показать, что для этой системы выполняется необходимый признак Кэле-ра. Такие НПДВ существуют, широта класса - одна функция двух аргументов.„3(3.1)0Его корни, взятые с противоположными знаками, являются главными кривизнами 1-го рода [4], а собственные векторы, им соответствующие, - главными направлениями 1-го рода.Полная кривизна 1-го рода К\ равна определителю матрицы этого оператораKi = det B = -kik2k3 + k2(p2)2 +k3(p3)3.Поскольку K2= - k1k2k3, то связь между полными кривизнами 1-го и 2-го рода выражается следующим равенством:K = K2+ k2(p2)2 + ks(p3)3. (3.2) Теорема 3. 1. Пусть для НПДВ все три главные кривизны 2-го рода различны.Тогда линией кривизны 1-го рода может быть лишь одна из параллелей НПДВ иэта параллель ортогональна меридиану.Доказательство. Если меридиан является линией кривизны 1-го рода, тоглавная кривизна k\ 2-го рода должна быть и главной кривизной 1-го рода, то есть-ki будет корнем уравнения„3„2 р- р-к2 + к 0 0 -к3 + к2 23 22 3Отсюда получаем ((p ) +(p ) )(ki-k3) = 0. Так как ki Ф k3,TO p = p = 0. Следовательно, это возможно лишь в голономном случае.Покажем теперь, что одна из параллелей может быть линией кривизны 1-го рода. Рассмотрим параллель, соответствующую кривизне k2. Потребуем, чтобы величина - k2 была бы корнем уравнения (3.1).В результате получим (p3)2(k3 - k2) = 0. То есть при p3 = 0 (k3 Ф k2) параллель (2.3), определяемая уравнениями(k2 - к)сС + 2p V = 0, со3 = 0, со4 = 0,является линией кривизны 1-го рода. Так как k1 Ф k2 и p3 = 0, то уравнения параллели принимают вид со1 = со3 = ю4 = 0. Следовательно, в каждой точке Me G параллель, являющаяся линией кривизны 1-го рода, ортогональна меридиану ю2 = ю3 = ю4 =0. ■Перейдем к рассмотрению НПДВ, имеющих двукратную кривизну 2-го рода (ki = k2).Теорема 3. 2. Кратная главная кривизна 2-го рода k1 = k2 может быть главной кривизной 1 -го рода лишь в том случае, когда p3 = 0, то есть когда меридиан является двумерной поверхностью. При этом соответствующая линия кривизны 1 -го рода принадлежит меридиану, а касательные к двум другим линиям кривизны 1 -го рода лежат в одной плоскости с касательной к той линии кривизны 2-го рода, которая соответствует некратной главной кривизне 2-го рода (k3).Доказательство. Пусть ki = k2 является главной кривизной 1-го рода, тогда она будет корнем уравнения (3.1). Это возможно лишь тогда, когда(p3)2(k3 - k2) = 0.Но k3 Ф k2, поэтому p3 = 0. Итак, только при p3 = 0 кратная главная кривизна 2-го рода является также и одной из главных кривизн 1-го рода. При k1 = k2 , p3 = 0 характеристическое уравнение (3.1) имеет вид-р 0Его корнями будут2s-CD-к2 - кз (k2 - къ )2+(р2 )2Pi= - кг, ц 2;а, следовательно, главные кривизны 1-го рода кс ' выражаются через главные кривизны 2-го рода по формуламk« = k2 = к , k« =-k2 - к3 ^ - к3 )2 +(Р-)-Найдем главные направления 1-го рода. Заметим, что если р3=0, то р2 ф0 (так как р2 = р3 = 0 означает голономность распределения). Поэтому кривизне к/1-* соответствует единственное собственное направление 1-го рода - направление вектора e2, а следовательно, и одна линия кривизны 1-го рода ю1 = ю3 = ю4 =0, принадлежащая двумерному меридиану ю3 = ю4 =0.Главные направления 1-го рода, соответствующие кривизнам к2(1) и к3(1), взаимно ортогональны и лежат в плоскости x2 = x4 = 0. В этой же плоскости лежит главное направление 2-го рода 2р2е1+(к3 - k1)e3, соответствующее главной кривизне 2-го рода к3 . ■Теорема 3. 3. Если кратная главная кривизна 2-го рода (к1 = к2) НПДВ является также и главной кривизной 1-го рода, то некратная главная кривизна 2-го рода (к3) не может быть главной кривизной 1-го рода.Доказательство. В теореме 3.2 мы доказали, что кратная главная кривизна 2-го рода будет также и главной кривизной 1-го рода лишь при р3 = 0. Потребуем теперь, чтобы некратная кривизна к3 была бы главной кривизной 1-го рода, то есть была бы корнем уравнения (3.1). Это требование выполняется лишь при условии(р2)2(к2 - к3) = 0.Так как к3 Ф к2, то отсюда следует р2 = 0. Но р2 = р3 = 0 - есть условие голоном-ности НПДВ.

Скачать электронную версию публикации