Some Properties of Radial Solutions of a Quasilinear Equation .pdf В последнее время возрос интерес к исследованию нелинейных уравнений математической физики, в частности к уравнению газовой динамики. Как правило, многие свойства решений таких уравнений определяются их поведением в особых точках (Р. Бартник, Е. Калаби, В.А. Клячин, А.А. Клячин, О. Кобаяси, В.М. Мик-люков, Л. Саймон, С. Ченг, С. Яу и др.). До настоящего времени изучение поведения решений в особых точках проводилось для узкого класса уравнений (линейные уравнения, уравнение минимальных поверхностей, уравнение максимальных поверхностей). Так, строение решений уравнения максимальных поверхностей в окрестности конечной особой точки и асимптотические свойства максимальных трубок и лент достаточно полно изучены в работах В.М. Миклюкова и В.А. Клячина [1 - 3]. Стоит также отметить результаты О. Кобаяси [6], К. Экера [5], В.А. Клячина и В.М. Миклюкова [1, 4] о световом характере изолированных особенностей. В настоящей работе рассмотрены радиально симметричные решения уравнения для потенциала скорости в газовой динамике и изучено их поведение в окрестностях некоторых точек.Рассмотрим уравнение для потенциала скорости в газовой динамикеdiv= о ,(1)которое описывает потенциал скоростей плоского установившегося течения идеального газа в адиабатическом режиме. Здесь у - показатель адиабаты, u - потен-I |2 2циал скорости и Vw < при у > 1.у-1Будем искать радиально симметричное решение уравнения (1), т.е. u = u(r), где r-л] x2 + y2 > 0, тогда уравнение (1) примет вид„ (Л У + 1 '2У 1 , (л У-1 ,2*) п ,~ли„ I1- ur 1+ -иг1 1- иг 1 = 02 2 где u'r < при у > 1.У-1Решение уравнения (2) в случае у > 1 имеет следующий вид:Си/1-1t(l -t2)r-iг (l -12 )y-i(l -12 )y-iОбластью определения функций r(t) и u(t) является интервал 0 < t < 1 при C1 > 0 и интервал -1 < t < 0 при d < 0. Производная функции r(t)(Y-l)(l -12 )>-' 0 на интервалеу+10 0, следовательно, функция u(t) возрастает на этом интервале. При C1 < 0 на интервале -1 0 при C1 > 0 и и' < 0 при C1 < 0, следовательно, функцияu(r) возрастает на интервале r(t*) < r < +oo (0 < t < +oo) и убывает на интервале r(-t*) < r < +o (-00 < t < 0).В случае C1 > 0 вторая производная u"rr < 0 при 0 < t < t* (r(t*) < r < +oo) и u"rr > 0 при t > t* (r(t*) < r < +oo), т.е. функция u(r) выпукла вверх на интервале r(t*) < r < +oo (0 < t < t*) и выпукла вниз на интервале r(t*) < r < +oo (t > t*). В случае C1 < 0 вторая производная urr > 0 при t < -t* (r(- t*) < r < +o) и иГГ < 0 при -t* < t < 0.Здесь функция u(t) эквивалентна функции C1ln(r(t)) при t -» ±0 и функции 2 У+Г ГУ + 1 \^ . Д (г) при t -> ±o.i Y-i; I 2Аналогично исследуя функции r(t) и u(t) при у < -1, получим эскизы графиков функций r(t) и u(t) (рис. 7 и 8).Так же как и в случае -1 < у < 1, функция u(t) эквивалентна функции C1ln(r(t))2 2при t -> ±0 и функции ^-^jУ+1 [^+-j cl y+1 r y+1 (t) при t -> ±oo. На рис. 9 представлен эскиз графика функции u(r).При у = -1 уравнение (1) обращается в уравнение минимальных поверхностей:Для этого случая эскизы графиков функций r(t) и u(t) изображены на рис. 10 и рис. 11.Функция u(t) r(t) - |C1| при t -эквивалентна функции |C1|ln(r(t)) при t - ±0 и u(t) - 0, ±o.В случае у = 1 уравнение (1) примет види" ( 1 - и'2 ) + -u'r = 0 . Решение этого уравнения в параметрическом виде:r (t) = С1-ГГ~ , u (t) = С j-j^-(г2 - l)dt + C2 ,здесь Ci > 0.Ниже на рис. 13 и 14 представлены эскизы графика функции r(t) и функции u(t).Функция u(t) эквивалентна функции +C\\n(r(i)) при t - ±0; при t - +оэ справедливо неравенство u(t) > Ciln(r(t)), а при t - -о- неравенство u(t) < -Ciln(r(t)). Эскиз графика функции u(r) представлен на рис. 15.Итак, в данной работе представлены радиально симметричные решения уравнения для потенциала скорости в газовой динамике, а также эскизы найденных решений при различных значения параметра у. Для более ясного видения характера поведения решений были приведены соотношения эквивалентности в некоторых предельных точках.

Скачать электронную версию публикации