About Asymptotic Behavior Mappings with s-Averaged Characteristic .pdf Пусть R", n = 3,4, - евклидово пространство; D, D с R" - области;IX = 1 ZX2 i ; B"(x0,r) = (xeR": |x - x0| < r} - шар с центром в точке x0eR",S"-1 (x0, r) - его (n-1) - мерная граница. Мы используем стандартные сокращения: B"(r) = B"(0, r), S"-1(0,r), B" = B"(1), S"-1 = S"-1(1). Для множества E с R" обозначим через d(E) = diam E = sup |x - y| диаметр E. Через А^(Г) обозначим сферический модуль порядкаp семейства Г кривых уеГ. Известно [1 - 3], что в классе отображений с ограниченным искажением изолированная особенность устранима, однако в классе отображений с s-усредненной характеристикой точка, вообще говоря, не является устранимой. Это показывает следующий пример.Пример 1. Пусть В3 = {xeR3: 0< r n - 1. Г - семейство кривых в D и Г' - семейство кривых Я:[a, b] - Rn, m e N. Предположим, что каждая кривая ЯeT' имеет частичные /-поднятия он, а2,...,ам еГ, начинающиеся в точках f-1(Я(a)), такие, что card{/: a,-(t) = x} < i(x, f для всех xeD и te [a, b]. Тогдаm£ (Г') < Msn (Г).7+Г mДоказательство. Пусть E - множество точек xeD, в которых отображение f дифференцируемо и Jf(x) > 0. Из свойств отображений с s-усредненной характеристикой имеем Bf с D \ E и m(D \ E) = m(f(D \ E)) = 0. Пусть B зf (D \ E) - боре-левское множество меры нуль. Можно полагать, что для каждой кривой ЯeT' выполнены следующие утверждения:(a)()Я - локально спрямляема;(b)()если а кривая в D, такая, что f ◦ а с Я, тогда f следуя терминологии Rick-man [6], локально является абсолютно пренепрерывным на а;(c)()\ КВ дs = 0.Пусть функция р допустима для семейства кривых Г. Определим борелевскую функцию a: D - [0, да] следующим образом:'р (x)/l(f'{x)), если x е D \ f-1B,0,если x е f lB,и функцию р': Rn - [0, да] какР'(У) = - X fD (J)sup X ст (x),где C пробегает все множество прообразов f^1(y) такое, что card C < m. Докажем, что функция р' допустима для семейства Г'. Для доказательства того факта, что р' борелевская функция, рассмотрим последовательность D1 с D2 с ... вложенных компактных подобластей D, которые исчерпывают D. ПоложимPi =P^ьi > ai =cjKA ,P'i (y) = - К fD (У)sup Z CTi(x).Тогда p' -» p' и p' (y) = 0, если y e Rn \ fD u f (Di n Bf). Поэтому достаточно показать, что для произвольной точки y0 е fDi \ /(Di n Bf) существует окрестность, в которой р' - борелевская функция. Рассмотрим непересекающиеся окрестности U1, U2, ...,Ukточек прообраза f-1 (y0)nDt в D \ Bf, где f\Uj - инъекция, / = 1, k. Тогдаявляется окрестностью точки y0. Пусть V с V0 - связная окрестность точки y0. Положим, что G - компонента f1 V , пересекающая Di. Тогда G пересекается с некоторой Uj. Поскольку f\ и - инъекция, то V0 n f dUj = 0. Значит, G n dUj = 0 иG с Uj. Таким образом, компоненты f^1 V , пересекающиеся с Di, состоят из областей Gj с Ц/, j = 1,..., k, и f определяет гомеоморфизмы fj: G, - V. Обозначим gj = f/1. Имеем'1 *Pi (}0 = ~ SUP £ CT; (g; (y)) , « j = 1,...,kj = 1где ye V. Поскольку ajcgj- - борелевская функция, то и р' обладает тем же свойством.Предположим, что Я:10 - R" - замкнутая кривая семейства Г'. Существуют кривые а1, а2,...,ам еГ, такие, что f°oj- с Я и card{/': a,(t) = x} < i(x, f ) для всех xeD и tel0. Пусть c = l(Я) и а* :Ij - D - f-представление а,- относительно Я. Тогдаa j (t) = а* о (t), f о а* с Я° и для любого teT, имеем|(/ о а* )'(t)\ = \ f'(а* (t))a* > /(/'(а* (/))) |а* (t)'\,Р(«/(t)) , »'l (f '(а* (t))Поскольку а* абсолютно непрерывно, тоI р d у x = I (р о a j) а j dmx < I а ° a j dmx .Пусть hj(t) = ст(a*(t)) Kj.(t) для любого te[0, c] и Jt = {/': te/}. Из (с) следует, что для почти всех te [0, c] точки a* (t), j е J - различные точки в прообразе AЯ0«). Тогдар' (Я°(t) )* - I h с)сI m с1 m *иJp'dy = Jp' о Я° (t)dt > - Z J h. (t)dt = - Z Ja »a.dm, > 1.Я X 0mJ = 10 JmJ = 1I J 1Таким образом, функция p' допустима для семейства Г'.Пусть, как и выше, y0 е f Di \ f (Dt n Bf) и V - связная окрестность точки у0, такая, что существуют k квазиконформные в среднем отображения g^:V - G^, ц. = 1,..., k, обладающие свойствамиДля каждой точки yeV определим множество Ly с P = {1,...,k} следующим образом. Если k < m, то Ly = P. Если же k > m, то card Ly = m и для всех ueLy, veP \ Ly либо ai(gyi(y)) > cr;(gv(y)), либо ai(gyi(y)) = ci;(gv(y)) и ц > v. Тогда для ye V имеемp; (y) = - X ai ((У)).При L с P борелевские множества VL = {ye V: Ly = L} не пересекаются. Учитывая квазиконформность в среднем отображений flG^ и применяя неравенство Гёльдера, запишемmi nsj рГ1 (y)г. dоy < - X j (о, о )7+T day =s1 X j OF Jf dOx n - 1. Тогда отображение / можно доопределить до непрерывного в точке 0 отображения.Доказательство. Возьмем произвольную последовательность {xn}, сходящуюся к нулю, и покажем, что последовательность {/ (xn)} фундаментальна. Обозначим через Е разность Bn(0, xn) \ Bn(0, xn+p). Пусть Г - семейство кривых jeBm, соединяющих множество Е с dB. В силу теоремы 1 имеемc diamf (E) < MC (JT)( J Kj (x, f )\ | J(x, f) | dax) < (Kj,s )Msn (Г).Факт фундаментальности последовательности {/(x„)} вытекает теперь из леммы 1 и соотношений d(E) > \fxn+pyfxn)\ и Mn (Г) < c ]nl~"-.-г.\Xn+p Xn\В самом деле, предположим противное, то есть что f (x' ) сходится к а, а f (x"m) сходится к b, где (x^,},{xm} - две подпоследовательности последовательности {xn}, и пусть a Ф b. Возьмем последовательность xn= x'm, если 2m = n, и xn = x^,,если 2m - 1 = n, получим противоречие.Получим теперь оценку искажения расстояний \ f (x) - f (x0)\ при стремлении х к изолированной точке х0.Лемма 2. Пусть D и D' - области Rn и f:D - D' - отображение с s-усредненной характеристикой. ТогдаM (Г') < inf Г(р(x))nKj (x, f)dax , (1)рлг Dгде Г - некоторое семейство кривых в области D, Г' - образ Г при отображении f арЛГ означает, что р допустима для Г [9].Доказательство. Если интеграл справа расходится, то доказывать нечего. Пусть существует рЛГ и j(p(х)л Kj (x, f )dстx < да . Определим функциюDmaxjXjl-1 (Xj, f) N (v. f), y e f (D) \ f (Bf),' о,й f (D),f (xj ) y, l-1 (xj ../ )ai(x j)Здесь ai(xy) > a2(xj) > ...>а„(х,-) - полуоси эллипсоида, который преобразуется главной линейной частью отображения f в точке x, в шар радиуса r(x,); Bf - множество точек ветвления отображения f Допустимость функции p'(y) для семейства Г' = f (Г) доказываетсятак же, как в теореме 1. Справедливость неравенства (1) следует из оценкиМ(Г) < inf j [Pj (y)]"dст^ < inf j [{max p(xy )e-1(xy, f)N(y, f)]"dст^

Скачать электронную версию публикации