On the Relation Between the Method of Parametric Representations andthe Methods of Goluzin and Kufarev .pdf Анонсированный в 1954 г. П.П. Куфаревым [1] метод, объединяющий метод параметрических представлений и метод внутренних вариаций в теории конформных отображений, был развит и получил широкое применение в большом числе работ, выполненных в томской школе теории функций комплексного переменного П.П. Куфаревым, И.А. Александровым, А.И. Александровым, В.А. Андреевым, М.А. Арендарчук, В.В. Барановой, Л.М. Бер, Н.В. Гениной, В.Я. Гутлян-ским, В.И. Каном, Т.В. Касаткиной, Г.Я.Кесельманом, Л.С. Копаневой, С.А. Ко-паневым, М.Р. Куваевым, В.П. Мандиком, Ю.А. Мартыновым, В.А. Назаровой, М.Н. Никульшиной, Р.С. Поломошновой, В.И. Поповым, Г.А. Поповой, А.Е. Прохоровой, М.И. Редьковым, Г.Д. Садритдиновой, В.В. Соболевым, А.С. Сорокиным, Л.В. Спорышевой, П.И. Сижуком, А.Н. Сыркашевым, А.Э. Фалес, Б.Г. Цветковым, В.В. Черниковым, В.В. Щепетевым и другими.П.П. Куфарев взял за исходную формулу Г.М. Голузина [2] и искусно применил её к отображениям круга на плоскость с укорачивающимся разрезом, т.е. к левнеровским областям. Применение полученной Куфаревым формулы к экстремальным задачам позволило характеризовать экстремальные отображения для большого числа функционалов не одним, как делалось ранее, а двумя дополняющими друг друга уравнениями и во многих случаях довести исследование экстремальной задачи до полного решения.В этой статье дадим вывод вариационной формулы Куфарева иным способом, оставаясь строго в рамках метода параметрических представлений. В статье [3] аналогичным способом была получена вариационная формула Голузина. Она используется в данной работе с кратким повторением её вывода.Пусть функция f (z) = z + c2 z2 + ... e S отображает круг Ez = {z e C :| z | < 1} на область D0, полученную из w -плоскости проведением жорданового кусочно-гладкого разреза C0, начинающегося в конечной точке плоскости, не проходящего через точку w = 0 и оканчивающегося в бесконечности. Пусть w = ср (т), 0 < т < да, - параметрическое уравнение кривой C0. Область DT получается присоединением к D0 дуги {w: w= cp(t), 0 < t < т} и отображается при конечном т функцией q = F(w, т), F(0, т) = 0, F 'w (0, т) > 0, на круг E^. Такое отображение единственно. Изменяя надлежащим образом параметризацию кривой C0, можно добиться того, что F 'w (0, т) = e-T. Будем считать параметризацию C0 выбранной сразу же в соответствии с этим условием.Образуем функцию д(т, z) = F( f (z), т). Она отображает круг Ez на круг с разрезом по жордановой кусочно-гладкой кривой, не проходящей через нуль. Очевидно, q(0, z) = z, z eEz.Пусть w = ^(z, т) - функция, обратная к F(w ,т) при фиксированном т. Легковидеть, что Ґ(z, 0) = f (z), Ч>(0, т) = 0, ¥ 'z (0,т) = eT.Существует кусочно-гладкая функция ц(т), 0 < т < да, |ц(т)| = 1, - её называют управляющей, - такая, что д(т, z) является решением уравнения Лёвнера [4]£ = -^4^, S(0,z) = z е Ez, (1)иlim eT q (t, z) = f (z).Кроме того, lim g (т, z) = 0 , каково бы ни было ц(т) в уравнении (1).Пусть #1(т), ?2(т), 0 < т < да, - вещественные непрерывные функции, | д1(т)| < e-TM, |д2(т)| < M, M > 0. Управляющей функцииц (т, X ) = И| j (1 + Xq (T))d xj euq2«,X - вещественное число, |X|M< 1, соответствует решение д(т, z; X) уравнения Лёв-нераd x\i (t; X)-,Функция д(т, z; X) однолистно и конформно отображает Ez в единичный круг иlim q (т, z; X) = q (т, z)А,->ьравномерно внутри Ez, так как ц(т; X) - ц(т) при X - 0.Заменим в уравнении (2) переменную т на t по формуле t = ср(т), гдетФ (т) = |[x + Xq1 (т)]] т.оПоскольку в дальнейшем нас будет интересовать только линейная относительно X часть разложения д(т, z; X) = q(t, z)[1 + XФ(t, z) + o(X)], то достаточно ограничиться при замене т на t записью уравнения для д(т, z; X) в видеd си (t) d'kqi (t) +сВ результате выполнения простых операций с использованием разложений в ряд Тейлора по степеням X находим для Ф(^ z), Ф(0, z) = 0, уравнениеd Ф dt2цс ^ ц + с 2щс(ц-с)2 ц-с (ц-с)2Его решение дается формулойФ (t, z) = ^^^ j P (т, z )d т,q 0>z) 0гдеP(t, z) = ^4] Иё+^М« (t) + 7^^^^2 (t)gZ (t>z) [и(t)+ g(t,z)Таким образом, формулаq* (t, z) = q((,z) + Xgz (t, z) jP(t, z)dт + X2NV(t,z)(4)0показывает как изменится решение q(t, z) уравнения Левнера при замене в нем управляющей функции ц(т) на n(X). Функция N(t, z) равномерно по t ограничена внутри Ez.Дальнейшие построения связаны с конкретным выбором д^т) и д2(т). Пустьq (т) = дhI-^2^- + АЯ,2 2^q2 (т) = TT2iah2 Ј+l + ah2 ь+ilгде A - постоянная, q = q(t, zi), gZj = qi (t,Z), H = z^ /qi , zi - точка из Ez\{0}. ТогдаH + q 2\xq + \i + ql 2\xqP(t, z) = Atf2 4LH-q (n-qi)2 H-qi (H-g)2 Jah2H-q (H-q-1 )2 H-q;1 (H-q)Для двух различных решений и, v уравнения Левнера, как легко проверить, имеет место формулаvv\i + u 2\iv = d (u + v^ + u + v v d ji-u (ji-v)2 dxvu-vJ u-v zj dxпозволяющая представить Р(т, z) в видеР(т, z ) =qZ 1 q-q-1и, следовательно, записать формулу (4) в видеq* (t, z) = q(t, z)+X-Aq-qi z-zi.q-qlz-z1 z>+X ZN (t, z).Умножим обе части полученной формулы на ё и перейдем к пределу при t - да. В результате имеемf* (z) = f (z) + Xf (z)f (z) - f (z,)Я (zi )T7T-77T -Я(z)"Я2 (z,)-Я(z)±^=> + X 2 N (z),A+ Х 2 N (0)\./.' (0) = 1 -х|| [Я2 (zx) -1]- j. \q2 (zx) -1Функция f* (z) = f* (z)/f*' (0) нормирована условиями: f *(0) = 0, f *' (0) = 1 и представляет собой вариационную формулу в рассматриваемом подклассе класса S. Она легко распространяется на класс S и известна как вариационная формула Голузина в классе S.Пользуясь вариационной формулой Голузинаf (z) = f (z) + Xf (z)гдеK (z, q) = Q( z) ^ +1,z-qпредставим отображение ^(z, т) круга Ez на некоторую близкую к DT область D* в виде(z,t)=xҐ (z, t)+W( z,t)2, ч Y(z,t) Л„ , ч A„ Г 1+o(X),гдеz*Ґ (z t)z + cH(z , t) = шz ( ' ), K (z , c,t) = H(z, t) +1, ¥ (z, t)z-cq - фиксированная точка в Ez и A - постоянная.Функция w*(w, т) = ^*(F(w, т), т), w*(0, т) = 0 , отображает область DT на D* ; вместе с тем функция w* (w, т) отображает D0 на область D0 , близкую к D0. Разложение w (w, т) по степеням X имеет видw (w, т) = w + XwAH2 (со,т)-4*1 (F(w,t),q,т)-4*1 | F(w,т),1,тw-к» 22 Vq у-o(X),где ю = f (g). Заменим в этой формуле w на fz). Получим функцию f* (z) = w* (f (z), т), однолистно и конформно отображающую круг Ez на область D0. Легко найти, что/. (z) = f (z) + f (z) ЗдесьAH2&t) f ( f ^f ( ) ""T*(z,q,t) -4*ч f z,i,tf (z) - f (g) 22 ^ g■0(X). (5)K(z,g,t) = K (F(f(z),t),g,т) = H(z,ц)F(f (z)>т)+ g +1,F (f (z), т)-дH (z, t) =F (f (z), t)f (z) f; (z, t)Формула (5) дана Куфаревым. В ней участвует функция F(w,t), являющаяся присоединенной функцией для fz) и удовлетворяющая уравнению ЛёвнераIT ^^ТТ' F(w,0) = f-1 (w). d(т) - FЭто обстоятельство позволяет во многих вариационных задачах получить два уравнения для функции, присоединенной к экстремальной функции относительно большого числа функционалов, встречающихся в задачах геометрической теории функций комплексного переменного.

Скачать электронную версию публикации