Numerical Solution of Some Inverse Problems withVarious Types of Sources of Atmospheric Pollution .pdf Физическая постановка обратных задачПроблема охраны окружающей среды в настоящее время становится одной из важных задач науки. Это связано с интенсивным развитием промышленности, которое приводит к увеличению доли промышленных выбросов, загрязняющих окружающую среду. Одним из способов регулирования уровня загрязнения атмосферного воздуха является контроль интенсивности выброса вредных веществ. Однако даже разветвленная сеть наземных постов наблюдений не всегда в полной мере способна предоставить необходимую для природоохранных служб информацию. Большую помощь здесь может оказать применение методов математического моделирования [1, 2].В настоящее время разработаны математические модели для исследования атмосферных процессов. В рамках этих моделей описание распространения атмосферных примесей обычно представляется двумя классами задач. Первый - это решение «прямых» задач, когда по известным характеристикам источников примеси и известным параметрам приземного слоя воздуха требуется найти поле её концентрации. Второй - решение «обратных» задач, когда по информации о концентрации примеси, измеренной в ряде пунктов наблюдения и известной метеорологической ситуации требуется найти тип, координаты и мощность её источников [3] .Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной математики. Несмотря на то, что широкое исследование обратных задач началось сравнительно недавно, в этой области получено большое число существенных результатов. В теории обратных задач сформировался ряд направлений, обусловленных как различными сферами ее приложений, так и типами математических постановок обратных задач [4]. В настоящее время разработано большое количество постановок и методов решения обратных задач, в число ко-торых входят и задачи переноса примеси. Рассмотрим некоторые из таких постановок.Обратная задача с мгновенным источником. При заданных метеорологических параметрах и результатах измерения концентрации примеси в N точках, выполненных в одно и то же или разные моменты времени, определить координаты и время срабатывания мгновенного точечного источника примеси мощностью Q (рис. 1).Обратная задача с источником постоянной мощности. При заданных метеорологических параметрах и результатах измерения концентрации примеси в N точках определить координаты и мощность выброса точечного или площадного источника атмосферной примеси.Такие задачи актуальны, например, при автоматизированной обработке измерений системы контроля радиационной обстановки вблизи источников повышенной опасности [5] или при идентификации предприятия, осуществившего залповый выброс в атмосферу.Математические постановки задач по идентификации мгновенного источника и источника с постоянной мощностью по данным измеренийДля решения рассматриваемых задач используется метод, который основан на решении уравнения, сопряженного с полуэмпирическим уравнением турбулентной диффузии, и двойственного представления функционала от концентрации примеси [1].Пусть моделирование процессов переноса и диффузии примеси выполняется с использованием трехмерного нестационарного уравнения «адвекции - диффузии» [1, 2]:dC dUC dVC dWC d (rdCЛ д (гдСЛ df dCЛ _ „ ...-++-+= -I г- 1+-I г- |+-Ik - |+sc , t > о ,(1)dt dx dy dz dx \ dx ) dy \ dy) dz \ z dz )где U, W, V - компоненты вектора скорости; C - концентрация примеси; г, kz - коэффициенты турбулентной диффузии; sc - источниковый член,Sc = Qof (tЖx - x0 )5(y - y0 )5(z - z0), 5() - дельта-функция,Г1,для источника с постоянной мощностью,[ 5(t -10), для мгновенного источника,Q0 - количество выброшенного вещества (мощность источника), t0, x0, y0, z0 -время (только для мгновенного источника) и координаты выброса соответственно.Предполагается, что вертикальная компонента скорости движения примеси W равна нулю на верхней и нижней границах рассматриваемой области.Пусть начальные и граничные условия для уравнения (1) имеют следующий вид:t = 0: C (t, x, y, z) = C0 (x, y, z);(2)z _ 0: - _ 0; z _ L :- _ 0.dzz dzМатематическая простановка сопряженной с (1) - (2) задачи получается следующим образом [1]. Уравнение (1) умножается на некоторую функцию*C (t, x, у, z) и интегрируется по времени (0 < t < T ) и пространству: II I IC dzdydxdt + jj j jC Udzdydxdt +0000 dt0000 dxTLx Ly Lz * dCrLxLy Lz * dC+ jj j j C Vdzdydxdt + jj j j C Wdzdydxdt =00 0 0 dy00 0 0 dzTLX Ly Lz ddCrLxLy Lz » d dC= III IC - (Г-)dzdydxdt + I]'I] C - (Г- )dzdydxdt +00 0 0 dxdx00 0 0 dydyTLx Ly Lz t ddCtLx Ly Lz *+ jj j j C - (Kz)dzdydxdt + jj j j C SC dzdydxdt.00 0 0 dzdz00 0 0Используя формулы интегрирования по частям, приходим к уравнениюJJU c(00 0 0dzdtdxdC d(UC ) d(VC ) d(WC )dy4 (r4) 4 (r4)-dr dzdydxdt=dxdxdydydz dzL'Ly L* |TTLy Lz* LxTLX L2^ Ly~ JJJ C" C dzdydx - J J IU -C C x dzdydt - | | | V -C C dzdxdt -0 0 000000000 0(3)-jj | W-C C|0z dydxdt + J j j гС* -TLx Lz„ dC0 0 0 dy10000000 dx00 0 Ldzdxdt - I I IГСdC*dyT Lx Lydz00 00dydxdt + JJ J J C SC dzdydxdt.0 0 0 0dzdydtdydxdtПусть C* удовлетворяет уравнениямdtdxdC * dUC * dVC * dWC * d ГdC_*_ _д_ГdC__ _d_ ddC* = pdydzdxdxdydydzzdzi = 1,...,N,t < T, с начальным и граничными условиями: C *(T, x, y, z) = 0;(4)* dC x = 0:UC + ГdxdCy = 0:VC + Г -dydC0; x = L :UC +Гx dx*dC* 0; y = L :VC +Г -y dy0; 0;(5)dC*dC* z = 0:= 0; z = L := 0,dzz dzгде p = 8(t-ti)8(x-xi)8(y-yi)8(z-zi),i = 1,...,N, N- количество точек наблюдения с координатами (xi, yi, zi), а ti - это момент времени, когда проводились измерения концентрации Ci = C(ti, xi, yi, zi). Предполагаем также, что выполняется условие C* (0, x, y, z) = 0 .С учетом (1), (2) и (4), (5) из (3) можно выписать следующие тождества [1]:TTj dt j p CdG = j dt j C*SC dG, i = 1,.., N; G = [0, Lx ] x [0, Ly ]x [0, Lz ],0 G0 Gкоторые с учетом вида функции р можно представить какTCi = Яo { С* (t, х0, у0, z0 )f (t)dt .(6)oЗдесь C* (t, x, y, z) - решение сопряженной задачи (4), (5) при P = S(t - tt )S(x - Xi )S(y - y )S(z - Zi). Для случая мгновенного точечного источника (6) принимает видгде неизвестными являются t0, x0, y0, z0 - время и координаты выброса соответственно, Q0 - его мощность. При рассмотрении задачи определения параметров точечного источника постоянной мощности тождества (6) запишутся следующим образом:TС, = Яo {C*(t, x0, y0, z0 )dt.0Если бы нам были известны аналитические решения задач (4), (5), то при N > 3 мы имели достаточно уравнений для определения неизвестных параметров источников выбросов. Однако решения задач (4), (5), как правило, в важных практических случаях удается получить лишь приближенно с использованием компьютерной техники. Кроме того, в предоставленных значениях Ci может содержаться погрешность измерений. Поэтому алгоритм решения обратных задач для определения параметров источника по известным данным наблюдений и параметрам приземного слоя воздуха сформулируем следующим образом:1..Численно решаются N сопряженных задач (4), (5) с различными источнико-выми членами р , i = 1,...,N .2..В процессе решения сопряженных задач при T > t > 0 ищется минимум следующего функционала:N (Т Л2ф(йt, x,y, z) = Јl q - Q0С, (t, x, y, z) f {t)dt Iпри ограничениях Q > 0, 0 < x < Lx, 0 < y < Ly , 0 < z < Lz .Найденный минимум функционала даст приближенное решение обратной задачи, т.е.Ф(бо > *о > xo > yo > zo) = min Ф(б, t, x, у, z).0< x< Lx 0< y< Ly 0< z < Lz 0,t, x, y, z) с целью поиска его минимума, но и решает выделенную сопряженную задачу одновременно с другими процессами, получено ускорение в 3,5 раза (кривая с открытыми значками). Разница в ускорении связана с тем, что в последнем случае неравномерность загрузки процессоров более значительна, поскольку при увеличении числа используемых процессоров возрастает количество простаивающих slave-процессоров.5Рис. 4. Ускорение для двух способов параллельной реализации и отношение времен работы параллельных программНа рис. 4 также представлено изменение отношения времен работы параллельных программ в зависимости от количества сопряженных задач. Из рисунка также следует, что первый способ организации параллельных вычислений имеет решительное преимущество с ростом N.ЗаключениеВ работе с единых позиций сформулированы математические постановки для решения обратных задач по определению параметров источника (мгновенного или с постоянной мощностью) загрязнения атмосферного воздуха по измеренным значениям концентрации примеси. Математические постановки опираются на аппарат сопряженных уравнений и двойственное представление функционала от концентрации примеси. Для численного решения сопряженных задач используются конечно-разностные методы, явные разностные схемы, метод конечного объема. На основании сравнительного анализа показано, что для рассматриваемого класса задач достаточно применения схем второго порядка аппроксимации по координатам и первого по времени. Для ускорения численного решения задачи разработан параллельный алгоритм, который позволяет значительно ускорить получение результатов.

Скачать электронную версию публикации