Mathematical Modeling of Electrolyte Dynamic in Magnetic Field .pdf Автомодельное течение электропроводящей жидкости в цилиндрическом каналеПод автомодельностью течения будем понимать условия, позволяющие понизить размерность задачи, являющейся математическим описанием данного процесса.В принятом выше смысле, все стационарные или, например, все плоские течения также являются автомодельными, поскольку в первом случае из рассмотрения исчезает время, а во втором - одна из пространственных координат, перпендикулярная плоскости течения. Но наиболее интересными, являются случаи, когда размерность задачи удается понизить не менее чем на две единицы. Один из таких примеров будет рассмотрен в настоящей работе.Будем исследовать стационарные течения проводящих несжимаемых сред по цилиндрическим трубам сложной, но постоянной формы поперечного сечения. В этом случае, начиная с некоторого расстояния от входа, линии тока обязательно станут параллельными друг другу и параллельными оси трубы. Неизвестными величинами в рассматриваемой ситуации будут: поле скоростей V , электрическоенапряжение E и магнитная индукция B . Введем в рассмотрение систему декартовых координат, такую, что ось z будет направлена по оси трубы, а оси x и y будут располагаться в плоскости, перпендикулярной этой оси. Покажем, что для данного случая бесконечно длинной трубы постоянного сечения решение задачи сводится к определению двух функций: Vz = U(x, y) и Bz = B(x, y), а электрическое поле из уравнений можно исключить [1]. Так же как и в задаче о стабилизированном течении непроводящей жидкости, в рассматриваемых условиях распределение всех механических и физических величин будут зависеть только от x и y. Более того, осевой градиент давления, входящий в соответствующую проекцию векторного уравнения импульсов, будет сохранять свою величину вдоль оси трубы, т.е. будет константой. В этих условиях электрический ток вдоль трубы невозможен, таким образом, проекция закона Ома на осевые направления при учететого, что V = (0,0, U) будет иметь видjz = 0 ,(11Т.е. индуцированные токи будут располагаться в плоскостях сечений трубы, параллельных плоскости Oxz, а индуцированная составляющая магнитного поля будет направлена по оси Oz. Принимая во внимание наличие однородного внешнего поперечного магнитного поля с компонентами B = (0, B0,0) и условие соле-ноидальностиdiv(B) = ^ = 0 , У > dzзаключаем, что суммарные компоненты магнитного поля будут следующими:Вх = 0 , By = B0 , Bz = B(x, y).При этом, как легко видеть из уравнения Ампера:rot (В) = ц0у .ИоЛ =--' V-oJy =- ■ (2)Величину B(Х'y) можно рассматривать как «функцию тока» плоского поля векторов j (jx, jy), так чтодв _дв_ дУ' ^oJy= ~дХ'Возвращаясь теперь к векторному уравнению Навье - Стокса, перепишем его в проекциях на оси координат в виде* = _J_ в-, dJL = _J_ в-, (3)дх p0 dx Jy p 0 Jy* = pW2U + ^. (4) dzц0 дуЗапишем, что первые два из этих уравнений приводятся к равенствамд_дх( в2 ЛР + -2Но j( в2 Л Р + - 2Но j= 0, (5)B2выражающим что сумма p +является функцией только z. Замечая, что, как2ц0 указано выше, B зависит только от x и у, заключим, что - представляет функ-dzцию только z, но тогда из уравнения импульсов в проекции на ось z, в котором левая часть - функция только z, а правая - только x и у, следует, что каждая из этих частей в отдельности равна постоянной. Представим эту постоянную в видеdp Ap- = const =.dz l0Таким образом, уравнение движения жидкости запишется в формеHV2U + - ^ = . (6)Второе уравнение получается из выведенного ранее уравнения для магнитного поля:- = - V2B + rot(f x B),в котором нужно положить rot(Vх B) = (B -V)V -(V -V)B = (B -V)V , так как(V -V) B = 0 как конвективная часть в стабилизированном движении. Проецируя уравнение магнитного поля на ось z, получим скалярное уравнениеV2B + CTHoB0 ^ = 0 ,(7) дувыражающее структуру магнитного поля в движущейся среде.Если при обезразмеривании уравнений (6) и (7) за характерные величины принять1/оАр( оЛ2V* = -°-, B* = / = -p /2Принимая, что ф» = /n BnV» = -^-, из последнего соотношения найдемV2ф =гт\с -сг- I .(28)HaScЗдесь Ge =10 t/ - энергетический критерий, выражающий собой отноше-гУ* (pRT )/2ние энергии неразделенного электричества к механической энергии.Принимая во внимание упрощения, связанные со стационарностью и автомо-,2Л2 И0 ( °0 V2дельностью течения, и полагая также E = -Уф , а E* = l0 Ap - I - I , из (17), (18) найдемV2Cj + zl^,uHaSc^V2c2 - z^^uHaSd^1-(c2V29 + Vc2 -Vcp). dx:0 ;(29) = 0 .(30)ЦЗдесь Sc; =, i = 1,2, - числа Шмидта, определяющие порядок отношенияРАскорости диффузии импульса к скорости диффузии массы; им = . - скорост-y/RTной параметр, выражающий собой отношение характерной скорости макроскопического перемещения к тепловой скорости ионов.Далее в расчете примем Sc1 = Sc2 = 1, ци = 0,01, Ge >> 102 . Последнее условие говорит о том, что смесь ионов и нейтральных атомов в электролите является квазинейтральной. В этом случае концентрация с\ может быть найдена из уравнения (29), с2 - из условия квазинейтральности (условия равенства нулю правой части (28)), а с3 - из соотношения (31). Уравнением же, определяющим электрическийпотенциал, будет служить уравнение (30), разрешенное относительно У2ф :2.. = 1V 2фd(C2U) Vc2 .Vф- V2C2dx z2i±uHaВ случае трехкомпонентной смеси выписанные уравнения замыкаются соотношением интегрального баланса массы:ci + C2 + C3 = 1 .(311 В дальнейшем, чтобы перейти от декартовых координат (x, y) к полярным (r, 9): x = r sin 9, y = r cos 9 достаточно в выписанных уравнениях частные производные по x и y заменить следующим образом:д . .J cos(9-5) д дд sin(9-5) д- = sin (9-5)- +-, - = cos (9-5)-.дхдгr д9 дудгr д9Здесь 5 - угол наклона вектора внешнего магнитного поля по отношению к выбранному направлению оси Oy, отсчитываемый по стрелке часов (см., например, рис. 3).Разностная аппроксимация и схема решения задачи в случае круглой трубыУравнения (26) - (30), составляющие основу математической модели задачи, будем интегрировать численно с использованием метода конечных разностей и простейших симметричных аппроксимаций производных. Все дифференциальные уравнения математической модели имеют вид уравнения Пуассона. Поэтому в дальнейшем рассмотрим способ численного решения следующего обобщенного уравнения:У2Ф = b .(32)Здесь V2 - плоский оператор Лапласа; Ф = U, B, cp, q, c2 - функции, определяемые уравнениями (26) - (30).Минимальный шаблон, на котором можно аппроксимировать производные этого оператора, заменяя их двухсторонними разностями, показан на рис. 1.Рис. 1. Шаблон с четырьмя соседними точ- Рис. 2. Шаблон с М точками на ближайшей ками (для расчета в рядовых точках сеточ- сеточной окружности (для расчета в начале ной области)полярной системы отсчета)Простейший разностный аналог уравнения (32) будет следующим:aE Ф E + aW Ф№ + aS Ф S + aNФ N-aP Ф P - bp = 0,(33)причем aP = aE + aW + aS + aN .В случае плоского оператора Лапласа, записанного в полярных координатах, и при использовании для аппроксимации равномерных шагов по r и 0, получим1г] де2' j-1/2Г] Дг 2'j+1/2Г Дг 2(34)rj = jAr; rj_l/2 = (rj + rj_i) 12; rJ+U2 = (r} + rJ+l) 12 (j = 1, N). Из (33) величина искомой сеточной функции в центральном узле Ф p =a e Ф e +aw ф№ +a s Ф5 +a N Ф N-Яp ,где n=-E a =-W- a = a =?2l n=-E Я =-P-ApClpClplAp lApКак видим из (35), значение искомой функции в центральном узле складывается из средневзвешенной величины, определенной по значениям в соседних узлах, сложенной с источниковой частью.Обобщая формулу (35), можем записатьФp = I апЪ

Скачать электронную версию публикации