On some Equivalences on the Class of Tychonoff Spaces .pdf Всюду ниже символом CP(X) обозначается пространство непрерывных вещест-веннозначных функций с топологией поточечной сходимости, заданных на тихоновском топологическом пространстве X . Последнее же именуется топологическим пространством, или просто пространством.Топологические пространства вида Cp(X) служат предметом изучения так называемой Ср-теории.Один из основных её разделов занимается вопросом о том, насколько сходными обязаны быть свойства пространств X, Y, если Cp(X), Cp(Y) линейно гомео-морфны, равномерно гомеоморфны, или гомеоморфны (в этих случаях говорят,/ uчто X, Y являются /-, и- или /-эквивалентными и кратко пишут X ~ Y , X ~ Y,tX ~ Y соответственно). Оказывается, что эти наиболее активно изучаемые ситуации можно рассмотреть с некоторой единой точки зрения.А именно, каждый гомеоморфизм h:Cp(X)^Cp(Y) со свойством h(OX) = OY, где Ox, OY - тождественно нулевые функции на X, Y соответственно, задаёт двойственное отображение h*: C° Cp (Y) - C° Cp (X) между пространствами непрерывных функций на Cp(Y), Cp(X), равных нулю в точках OY, Ox соответственно. Элементы пространств C0 Cp (X), C0 Cp (Y) мы далее называем функционалами. Через Lp(X), Up(X обозначаются пространства линейных, соответственно равномерно непрерывных функционалов на Cp(X). Отображение h действует по правилу (h (/))(ф) = Xh(tp)), ф е Cp(X). Оно линейно и мультипликативно.Определение 1. Пусть E с C° Cp (X), F с C0 Cp (Y). Скажем, что гомеоморфизм h имеет тип если h (Y) с E, (h )-1(X) с F.Замечание. Понятно, что если гомеоморфизм h:Cp(X)^Cp(Y) имеет тип (E;F) и EcE1, FcF1, то h имеет тип (E1;F1).Примерами гомеоморфизмов типа (E;F) могут служить широко изучаемые линейные, равномерные и общие гомеоморфизмы пространств непрерывных функций.Теорема 1. Пусть h:Cp(X)-Cp(Y) - гомеоморфизм типа (E;F). Тогда(а)E = X, F = Y, если и только если X ~ Y,(б)E = Lp(X), F = Lp(Y), если и только если X~ Y,u(в)E = Up(X), F = Up(Y) если и только если X ~ Y,(г)E = C°Cp (X), F = C° Cp (Y), если и только если X ~ Y.Доказательство. Во всех четырёх пунктах очевидна достаточность указанных эквивалентностей. Покажем их необходимость.(а)По определению гомеоморфизма типа (E;F), имеем h (Y) с X, (h )-1(X с Y.Следовательно, h (Y) = X.(б)В силу линейности отображения h , из h (Y) с Lp(X) следуетh (Lp(Y)) с Lp(X). Аналогично,(h )-1(Lp(X)) с Lp(Y). Таким образом, Lp(X) и Lp(Y) линейно гомеоморфны, чтопо следствию 0.5.12. из [1] означает, что X ~ Y.(в)Покажем, что отображение h равномерно непрерывно. Зафиксируем произ-вольную окрестность W = W(OY, K, s) точки OY е CP(Y). Здесь е > 0,K = (уь...,уп) с Y. Так как h типа (Up(X);Up(Y)), то h (K) с Up(X). Поэтому длякаждого yt существует 8, > 0 и конечное множество K с X, такое, что еслиф, у е Cp(X и |ф - \|/| е V = V(Ox, K,, 8,), то |(h уг)(ф) - (h V;)(v)| < s. Положим8о = min(8b...,8"), K0 = K1U...UK", V = V0(Ox, K0, 80), и пусть ф, у е Cp(X) такие,что |ф - ^| е V0. Тогда при каждом i, 1 < i < n, выполнено |(h .у,)(ф) - (h ,y,)(v)| == [y;(h(ф)) ->>;(h(\|/))| = |h(ф) - h(^)|(y,) < s, то есть |/г(ф) - h(\|/)| е W. Это и означает,что отображение h равномерно непрерывно. Рассуждая симметричным образом,можно доказать, что и отображение h-1 равномерно непрерывно. Это завершаетдоказательство пункта (в).Справедливость (г) очевидна. ■Приведём ещё два заслуживающих внимания примера конкретного выбора подмножеств E, F.Пример 1. Пусть ^ - линейный функционал на Cp(X), пеГЧ. Степенным функционалом (степени п) назовём функционал ^" , действующий по правилу ^"(ф) = (^(ф))и. Если ^1,...,^m - линейные функционалы с дизъюнктными носителя-mnми, то функционал вида p = ^2 aij Ы , где все ay из R, назовём многочленом.Множество всех многочленов будем обозначать через Mp(X).Очевидно, что при n = 1 мы получим обычные линейные функционалы, такчто Lp(X) с Mp(X).Каждому многочлену p можно естественным образом поставить в соответст-mвие конечное множество supp p = (J supp , которое уместно называть носителем многочлена p.Пример 2. Функционал d:Cp(X)-R вида d = х"1 - ■ х" , действующий по пра-kвилу d(ф) = П (ф (xi ))п , где xt е X, щ е N при всех i от 1 до k, назовём мономом.Множество всех мономов обозначим через Dp(X).Аналогично примеру 1, для каждого монома также можно определить носитель: suppd = {xb...,xk}.Пусть теперь h:Cp(X)- Cp(Y) - гомеоморфизм типа (E;F), где (E;F) = (M>(X ; Mp(Y)) или (E;F) = (Dp(X) ; DP(Y)). В обоих случаях определены ко-нечнозначные отображения SM:Y-X, SMy) = supphy TM:X-»Y, TM(x) = supp(h )-1x и соответственно SD:Y-X, Td:X- Y, задаваемые аналогично. Для первого из указанных случаев введём множества X" = {x^^; |TM(x)|

Скачать электронную версию публикации