Non-Holonomik Hyperplane in the Four-Dimensional Euclidean Space .pdf Гиперраспределение в Е4 - это гладкое отображение, сопоставляющее всякой точке МеЕ4 гиперплоскость л3, проходящую через М [1. C. 683]. По такому распределению однозначно определяется уравнение Пфаффа, все интегральные кривые и поверхности которого, проходящие через М, касаются в этой точке плоскости п3. Распределение называется голономным (или инволютивным), если соответствующее уравнение Пфаффа вполне интегрируемо, и - неголономным в противном случае [2. C. 56].Исследование ведётся методом внешних форм Картана [3] с использованием подвижного репера.К каждому элементу (М, п3) гиперраспределения присоединим ортонормиро-ванный репер (М, ea) (а = 1,4). Пусть r - радиус-вектор точки М, а e4 - вектор, ортогональный п3 в точке М. Деривационные формулы репера запишем в виде- ß! (0.1)где к>а = -к>а и, кроме того, формы Пфаффа юа, к>а подчиняются уравнениям структуры евклидова пространства:j aß a dK>=KTAK)ß ,d Ja =< Acoß, (0.2) (a, ß, y =Ясно, что по гиперраспределению {М, п3} определяется единственное векторное поле {M, e4} и, наоборот, по векторному полю {M, e4 } определяется единственное гиперраспределение, ему ортогональное. Главными формами [3. C. 288] можно считать формы юа, . Множество плоских элементов (М, п3) является четырёхмерным многообразием, поэтому формы юа образуют базис, а будут их линейными комбинациями:= A roß. (0.3)МатрицаA-jA3 A;(0.4)совпадает с матрицей линейного оператора А, определяемого формулой A (dr) = de4 и называемого основным линейным оператором [4. C. 61]. Все инварианты оператора А являются инвариантами гиперраспределения и ортогонального ему векторного поля.1. Вектор неголономности гиперраспределенияПри данном выборе репера по распределению {M, п3} однозначно определяется уравнение Пфаффаю4 = 0, (1.1)все интегральные кривые (поверхности) которого, проходящие через точку М, касаются плоскости п3 и называются кривыми (поверхностями) распределения. Найдём условие, при котором уравнение (1.1) вполне интегрируемо. Используя (0.2) и (0.3), находимdю4 лю4 = ((Aj2 - A)ю1 ли2 + (AI - A2)к>2 ли3 + (ä\ - Äj3)к>3 лю1) ли4.Отсюда следует, что распределение {M, п3} голономно лишь тогда, когдаA2 = A1 > A3 = A2' Ai = Аъ- (1.2)Заметим, что оператор А переводит всякий вектор плоскости п3 в вектор этой же плоскости. Поэтому можно рассматривать оператор А с матрицей(A/) (i, j = 1,2,3), являющийся сужением оператора А на плоскость п3. Разложимоператор А* на сумму симметричного оператора В и кососимметричного оператора В, имеющих матрицы с элементами соответственно£*/ = \(М + А)), я) = - л)). (1.3)Сравнивая (1.2) и (1.3), заключаем, что необходимым и достаточным условием голономности гиперраспределения {M, п3} является обращение в нуль кососимметричного тензора В. Тензор В имеет только три существенные компонентыPi = ^(A32 - A), Р2 = 2(A - A1), рз = 1(4 - A2). (1.4)Построим инвариантный векторР = р' А (1.5)и назовем его вектором неголономности.Таким образом, распределение {M, п3} голономно тогда и только тогда, когдар = 0. В дальнейшем рассматривается только неголономное распределение{M, п3}, для него 0.2. Главные кривизны 1-го и 2-го рода. Линии кривизны 1-го и 2-го родаСобственные значения оператора А , взятые с противоположными знаками, называются главными кривизнами 2-го рода, а его собственные векторы - главными направлениями 2-го рода [4. C. 62]. След H2 матрицы оператора А называется средней кривизной 2-го рода. Очевидно, чтоH2 = £j(2) + 42) + k3(2), (2.1)где k'(2) - главные кривизны 2-го рода. Определитель матрицы оператора А* называется полной кривизной 2-го рода и обозначается K2:K2 =-k{2)k(22)kP. (2.2)Аналогично, главные кривизны 1-го родаэто взятые с противо-положными знаками собственные значения оператора В*, а главные направления 1-го рода совпадают с направлениями собственных векторов данного оператора [4. C. 63]. Средняя кривизна 1-го рода H есть след матрицы оператора В :H1 = + k*4 + k3(1). (2.3)Определитель Кх матрицы оператора В называется полной кривизной 1-го рода:K1 =. (2.4)Средние кривизны 1-го и 2-го рода совпадают H1=H2. Обозначим H1=H2=H. Полные кривизны 1-го и 2-го рода связаны следующей зависимостью [4. C. 64]:K2 = Ki - (р1 )2 k« - (р2 )2 - (р3 )2 к3«.Таким образом, если гиперраспределение в Е4 голономно, то для него полные кривизны 1-го и 2-города совпадают. Однако из того, что полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают, ещё не следует голономность распределения.3. Асимптотические линии. Неголономная гиперплоскостьОпределение! Линия гиперраспределения называется асимптотической линией, если в каждой точке линии её нормальная кривизна равна нулю.Для того чтобы линия гиперраспределения {M, п3} была асимптотической, необходимо и достаточно, чтобы она или была прямой, или имела в каждой точке своей 2-мерную соприкасающуюся плоскость, принадлежащую плоскости п3. Следовательно, для асимптотических линий должно выполняться условие(d 2 г, ?, ?2,Отсюда, используя формулы (0.3), получаем дифференциальные уравнения асимптотических линий:А (к1 )2 + А22 (к2 )2 + А33 (к3 )2 + (А\ + A2 )к1к2 ++(А32 + А2 )ю2к>3 + (A3 + А/ )к3к1 = 0, (3.1)со4 = 0.Определение 2. Неголономной гиперплоскостью называется неголономное гиперраспределение, все кривые которого представляют собой асимптотические линии.Из (3.1) видим, что условияA\ - Ar) - A3 - Ar) + A\■ A3 + A) - A3 + A)(3.2)характеризуют неголономную гиперплоскость. Из (1.4) и (3.2) получаемРA,р2 = A2,р3 = A-!. В силу чего матрица оператора А* примет видТак как характеристический многочлен для этой матрицы имеет степень 3, то, по крайней мере, один его корень - вещественный. Ему соответствует главное направление 2-го рода. Направим вектор el по этому направлению, тогда получимр2 = р3 = 0, р1 Ф 0. Теперь характеристический многочлен оператора А* примет вид-X0 00-X р1= 00-р1 -X(3.3)или Х(Х2 + (р1 )2) = 0. Отсюда заключаем: неголономная гиперплоскость имеет только одну вещественную кривизну 2-го рода k^22 = 0 и одно главное направление 2-го рода (направление вектора el), совпадающее с направлением вектора не-голономности р = р1ё1. Из сказанного выше следует также, что для неголономнойгиперплоскости имеем K1 имеют нулевые значения. Обозначив р1 = р, A4 =K2 = H = 0, при этом все главные кривизны 1-го родаa, A4 - b, A4 - c , приведём формулы (0.3) к виду23 7 4 К>4 = рк> + OK) ,32 4ю4 = -рю + CK .(3.4)В формулах (3.4) величины a,b,c - это координаты вектора кривизны линии тока векторного поля {M, e4}.Покажем, что для неголономной плоскости вектор кривизны линии тока данного поля не может обращаться в нуль ни в одной точке М. То есть линии тока не могут быть прямыми. Действительно, при a=b=c=0 формулы (3.4) примут видк>4 = 0,рю , ■-рю2.Внешнее дифференцирование данных форм приводит к равенствуd р лю3 + рю3 лю1 - рю4 ли2 = 0.Отсюда следует, что р = 0. То есть это возможно лишь для голономного распределения.Аналогично можно показать, что для неголономной гиперплоскости не имеет место равенство a = b = 0. Это значит, что соприкасающаяся плоскость векторного поля нормалей не может совпадать с плоскостью x2 = x3 = 0.Доказанные предложения позволяют для любой неголономной гиперплоскости выбрать подвижной ортонормированный канонический репер следующим образом: вектор e направить по главному направлению 2-го рода, вектор e2 выбрать так, чтобы он был коллинеарен составляющей вектора кривизны линии тока поля {M, e4} в плоскости, ортогональной el, то есть был бы коллинеарен векторуbe2 + ce3. Тогда получим c = 0, b Ф 0. При таком выборе канонического репера формулы (3.4) будут иметь вид14ю4 = аю ,к>4 = рю3 + Ью4, (3.5)3 2где рФ 0, b Ф 0, ре1 - вектор неголономности, ael + be2 - вектор кривизны линии тока векторного поля нормалей неголономной гиперплоскости. Продолжим систему (3.5), в результате получим22 3рю: = -раю -а23ю , рю;3 = -раю3 + а13ю4, Ью2 =-а23ю -Р12ю + (а -р )ю +ую ,d р = арю1 + 2Ьрю2 +Р12ю4, (3.6)12 123 /Ь . 4da = а ю +а13ю +а23ю + (а33 -а23)ю ,рdb = (аЬ -а13 )ю1 +(а2 +b2 -р2)ю2 +ß12co3 +Рю4.Теорема. В четырёхмерном евклидовом пространстве существует единственная неголономная гиперплоскость.Доказательство. Внешнее дифференцирование системы (3.6) и применение к полученному результату леммы Картана [3] приводит к следующим условиям на инварианты:a = 0, а13 =а23 =а33 = ß12 = ß = 0, у = -bp. После этого система (3.5), (3.6) принимает видю4 = 0,23 7 4ю4 = рю +Ью ,32 ю4 =-рю ,ю2 = 0,3(3.7) ю3 = 0,Ью2 = -рю3 -Ьрю4, d р = 2Ьрю2, db = (b2 -р2 )ю2.Нетрудно проверить, что система (3.7) вполне интегрируема. Её решение имеет параметрический произвол, а следовательно, неголономная гиперплоскость является единственной с точностью до постоянной. ■4. Геометрические свойства неголономной гиперплоскости и ортогонального ей векторного поляНеголономная гиперплоскость, как было показано выше, характеризуется нулевыми значениями всех главных кривизн 1-го рода. Всякая её кривая является асимптотической линией, а всякое направление плоскости п3 - главным направлением 1-го рода. Последнее означает, что линии кривизны 1-го рода для неголо-номной гиперплоскости не определены. Также было показано, что через каждую точку М проходит одна линия кривизны 2-го рода.Предложение 1. Линии кривизны 2-го рода неголономной гиперплоскости представляют собой прямые линии.Доказательство. Вектор el канонического репера направлен по касательной клинии кривизны 2-го рода. Из (3.6) для него имеем аёх = 0. Следовательно, векторe - постоянный вектор, а линии кривизны 2-го рода - прямые линии. ■Определение. Эквидирекционной линией (поверхностью) называется линия (поверхность), в точках которой векторы нормали гиперраспределения коллине-арны [5. C. 32].Предложение 2. Пусть в областиОеЕ4 задана неголономная гиперплоскость. Тогда через каждую точку Me G проходит одна эквидирекционная поверхность, представляющая собой 2-мерную плоскость, проходящую через линию кривизны 2-го рода.Доказательство. Векторы нормалей неголономной гиперплоскости параллельны лишь тогда, когда de4 = 0, то есть когда = = = 0. Отсюда, в силу (3.6), имеемрю3 + Ью4 = 0,(4 1)ю2 = 0.Система (4.1) вполне интегрируема. Следовательно, через каждую точку М проходит 2-мерная интегральная поверхность, являющаяся эквидирекционной поверхностью. А так как линии кривизны 2-го рода определяются уравнениями со2 = со3 = со4 = 0, то это значит, что эквидирекционная поверхность содержит линию кривизны 2-го рода, проходящую через соответствующую точку М. Покажем, что эквидирекционные поверхности представляют собой 2-мерные плоскости. Действительно, касательная плоскость эквидирекционной поверхности в точке М относительно подвижного репера {M, et} имеет уравнениярх3 + Ъхх = О, x2 = 0.При смещении по поверхности (4.1) эта плоскость остаётся неподвижной, что возможно лишь тогда, когда сама эквидирекционная поверхность является 2-мерной плоскостью. ■С неголономной гиперплоскостью {M, п3} инвариантно связано распределение {M, п3}, ортогональное векторному полю {M, et} главных направлений 2-го рода гиперплоскости {M, п3}. Уравнение Пфаффа для {M, п3} - это уравнение ю1 = 0.Так как dю1 = 0, то распределение {M, п3} голономно и, следовательно, Е4 расслаивается на однопараметрическое семейство трёхмерных поверхностей S3, для которых линии кривизны 2-го рода (прямые) неголономной гиперплоскости являются нормалями. Таким образом, векторное поле {M, el} есть поле нормалей поверхностей S3.Предложение 3. Всякая поверхность S3 представляет собой плоскость, совпадающую с плоскостью п3.Доказательство. Для доказательства предложения достаточно показать, что касательная плоскость к S3 не меняется вдоль этой поверхности. Действительно, касательная плоскость к S3 имеет в каноническом репере уравнениеx1 = 0.Характеристика этой плоскости определяется системойx1 = 0,к>2 x2 + к>з x3 + к>4 x4 + к)1 = 0.Второе уравнение при со1 = 0 (а поверхность S3 - это интегральная поверхность уравнения со1 = 0) в силу (3.6) выполняется тождественно. Следовательно, плоскость x1 = 0 неподвижна при движении точки по поверхности S3. То есть S3 представляет собой трёхмерную плоскость, совпадающую с плоскостью п*3. ■Предложение 4. Линии тока векторного поля нормалей неголономной гиперплоскости являются винтовыми линиями, лежащими в трёхмерныхплоскостях п3.Доказательство. Линии тока векторного поля {M, e4 } определяются системой уравнений Пфаффасо1 = со2 = со3 = 0.Заметим, что ю4 = ds, где s - длина дуги линии тока векторного поля. Используя формулы (3.6), находим= bej^t = %h-Ре3- (4.3)dsds dsВсе производные более высокого порядка не содержат вектора el, то есть лежат в плоскости п3.Так как e4 - касательный вектор линии тока, то из (4.3) видим, что b - кривизна линии тока, e2 - вектор главной нормали, e3 - вектор бинормали. Кроме того, имеемаег _ - = -Ье4 -ре3. dsСледовательно, (-р) - кручение кривой. Из (3.6) для линии тока получаем b = const Ф 0, р = const Ф 0. Данным свойством обладают только винтовые линии. Итак, линии тока векторного поля нормалей гиперплоскости - это винтовые линии, лежащие в трёхмерных плоскостях п3. ■Векторы e2 и e3, в свою очередь, образуют векторные поля {M, e2 } и {M, e3}.Покажем, что ортогональные им распределения голономны.Уравнение Пфаффа, соответствующее распределению, ортогональному { M, e2 }, имеет видсо2 = 0.Это уравнение вполне интегрируемо, а соответствующее распределение голономно, так как d ю2 = 0. Голономным является также и распределение, ортогональное векторному полю {M,e3}, в силу того, что dю3 лю3 = 0. Вид поверхностей, на которые расслаивается Е4 в обоих случаях, исследуем ниже.Переходим к глобальному нахождению неголономной гиперплоскости, её инвариантных линий и поверхностей. Для этого проинтегрируем систему уравнений Пфаффа (3.6), полная интегрируемость которой была доказана выше. Прежде всего находим внешние дифференциалы базисных форм. Имеемdw1 = 0,dw2 = 0,dw3 =- w3 лю2, bdw = bw лю + 2рю лю .(4.4)Отсюда следуетю1 = dux, ю2 = du2.(4.5)После этого из (3.6) получаемdb b2 -р2d р2bpP=-2-'c («2) +1(4.6)bc2(u2)2 +1Используя (4.4), находимdV(C«2 )2 + 1 ^0.Следовательно, можно положитьdu3V(C«2 )2 +1ЮОткуда3u2u2V(c«2 )2 rdu3.+1(4.7)Наконец, ищем функции Хи ji, такие, чтобы имело место равенство d (Хю4 +цю3) = 0. После соответствующих вычислений получаем114(си2 )2 +1см:V(cu2 )2+1со4 =-г аи3 +д/ (си2 )2 + 1аи4.c\j (cu2 )2 + 1Деривационные формулы репера после этого примут вид(4.8)dr = dU1e1 + du2e2 +u2V(cu2 )2-du3e3+1c4 (cu2)2rdw3 + -\/(cu2 )2 + 1du4+1e4 >det = 0,dedu 4,(4.9)cu2) +1decdu*cdunyj(cu2 )2 +1 (cu2)2 +1e4,cdu2dee3.c2u2 du4 _ ■ e2V(cu2 )2 +1 (cu2)2 +1 Интегрируем систему (4.9), в результате получаемe2 = s2 cos(cu4) + s3 sin(cu4), 1+1- (s2 sin(cu4) - s3 cos(cu4) + cu2s4),V(c«2 )2(4.10)V(c«2 )2r(-cu2s2 sin(cu4) + cu2s3 cos(cu4) + s4),+1( u3r = u1s1 + u2s2 cos(cu4) + u2s3 sin(cu4) + ^+ u4 J s4,где (zx, z2, s3, s4) - ортонормированный постоянный базис в Е4.Обозначим через (у1; y2, y3, y4) координаты точки М относительно неподвижного репера (o;s;). Так как r - радиус-вектор точки М, то ух = щ,y2 = u2 cos(cu4),u3y3 = u2 sin(cu4), y4 =+ u4. Отсюда из (4.5) - (4.8) следуетР =С2 (У22 + У32 ) + 1ю1 = dyx,2y2dy2 + y3dy3(412)3Ю=/ 22 '(4.12)y2+ y33y3dy2 - y2dy3 + c(y2 + y32)dy4ю= -Ю4 = / 22 1 =2= (С(y2dy3 - y3dy2) + dy4 ) VC (y2 + y3) + 1Теперь легко записать уравнение неголономной гиперплоскости и всех инвариантных для неё линий и поверхностей в некоторой неподвижной декартовой системе координат.1))Неголономная гиперплоскость определяется следующим уравнением:сУъ (Y2 - у2) - су2 (¥3 - уз) - ¥4 + у4 = 0. (4.13)Из (4.13) видим, что неголономная гиперплоскость не имеет особых точек. Её область определения совпадает с пространством Е4.2))Уравнение Пфаффа, определяющее кривые неголономной гиперплоскости, имеет видdy4 = cy3dy2 - cy2dy3. (4.14)^c ^3))Вектор psl =-\ - вектор неголономности.С2 ((y2 )- + (y3 )-) + 14))Поле единичных векторов нормалей неголономной гиперплоскости следующее:e4 ~ I "Je2 (yT + уз2) +15))Направление вектора st - это главное направление 2-го рода. Линии кривизны 2-го рода - прямые:y2 = c2, y3 = c3 > y4 = c4,(c2, c3, c4 - постоянные),принадлежащие эквидирекционным плоскостямy2 = С2> y4 = c46))Трёхмерные плоскости п*3, ортогональные линиям кривизны 2-го рода - это плоскостиy1 = b (b = const).7))Линии тока векторного поля нормалей неголономной гиперплоскости представляют собой винтовые линии, лежащие в плоскости п*3 и имеющие уравненияyi = Ъ1 , y2 = Ъ cos t,y3 = Ъ sin t, (4.15)1,y4 ^(t + m\ c(Ъ, m - const).8))Как было показано выше, распределения, ортогональные векторным полям главных нормалей и и бинормалей винтовых линий (4.15), голономны. А потому Е4 расслаивается в первом случае на семейство трёхмерных цилиндровУ 2 + Уъ = bс 2-мерными плоскостными образующими, параллельными плоскости Oyxy4, и направляющимиу2 + Уз2 = b2,y1 = b1 >лежащими в плоскости п3 (см. рис.1).Во втором случае Е4 расслаивается на семейство трёхмерных цилиндровуъ = У2 1ё(сУ4 - т), (4.16) образующими которых являются прямые, параллельные оси Oy1, а направляющими служат геликоиды (рис. 2):Уъ = Уг Ч(сУ4 ~ тХУ\ = VРис.2Заметим, что распределения, ортогональные главным нормалям и бинормалям винтовых линий (4.15), имеют особые точки, заполняющие 2-мерную плоскость У2 = У3 = 0. Это утверждение становится очевидным при рассмотрении формул(4.12).ЛИТЕРАТУРА

Скачать электронную версию публикации