Asymptotic Expansions of the Ruin Probability for a Generalized PoissonProcess .pdf Пусть £(t), t > 0, ^(0) = 0, - случайный процесс Леви, т.е. однородный процесс с независимыми приращениями. Определим момент т(х) первого достижения или пересечения уровня х > 0 и значение у(х) процесса в момент перескока через этот уровень с помощью соотношенийт(х) = inf {t: $(t) > х} и у(х) = $(т(х)),полагая по определению inf 0 = да. Величину y(x) будем считать неопределенной, если т(х) = да.Если случайный процесс S(t) = х - ^(t), t > 0, описывает капитал некоторой компании в момент времени t, то т(х) есть момент разорения, а у(х) - величина капитала этой компании в момент разорения при начальном значении S(0) = х.Изучение распределения граничных функционалов т(х) и у(х) представляет большой интерес как в финансово-актуарной математике, так и в задачах хранения запасов, математической статистики и др. Нахождение искомых распределений в явном виде возможно только для очень частных процессов ^(t). Результаты для процессов общего вида имеют, как правило, асимптотический характер.Данная статья тесно примыкает к работам автора [1, 2], в которых (при определенных условиях на процесс ^(t)) получены полные асимптотические разложения при х - да вероятности разорения на конечном промежутке времениW(x, t) = Р{т(х) < t}.(0.1)Вне рассмотрения в этих работах остался случай «арифметических» процессов Леви, которыми являются обобщенные процессы Пуассона.Обобщенный процесс Пуассона - это случайный процесс видаN (t)$(t) = Sn(t) = I Ъ, t > 0, $(0) = 0 , (0.2)где N(t) - простой пуассоновский процесс с параметром а > 0, { ^, i > 1} - независящая от процесса N(t) последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (с.в.). Процесс £(t) является однородным процессом с независимыми приращениями со скачкообразными траекториями, величины интервалов {x;-, i > 1} между соседними скачками которого независимы и распределены по экспоненциальному закону с параметром а. Заметим, что в силу тождества ВальдаE£(t) = E^-EN(t) = oE^-t. (0.3)Предельное распределение граничных функционалов т(х) и у(х) для обобщенных пуассоновских процессов со сносом изучено в работах [3, 4], а асимптотические разложения для полунепрерывных процессов - в [5].Как и в работах [1, 2], в настоящей статье используется факторизационная техника А.А. Боровкова [6, 7] и методика асимптотического анализа В.И. Лотова [9, 10]. Данный подход состоит из ряда этапов. На первом из них двойное преобразование Лапласа - Стилтьеса (по пространству и времени) над совместным распределением функционалов т(х) и у(х):#(и, X; x) = E {e-" т(x)(x); т(x) < »} =COCO= j e-ut jex yP{ t(x) e dt, y(x) e dy} ,Re u > 0, Re X < 0, (0.4)0 xвыражается через положительную компоненту факторизации функции 1 - zcp(X)(1 - zp(X)), где cp(X) (p(X)) - преобразование Лапласа - Стилтьеса (производящая функция) величин скачков процесса £(t). Затем, используя особенности положительной компоненты факторизации, выделяется главный член асимптотики этого преобразования при х - а и оценивается возникающий при этом остаточный член. Получается так называемое асимптотическое представление преобразования Лапласа - Стилтьеса. Для нахождения вероятности разорения W(x, t) необходимо обратить полученное представление по временной переменной, например, с помощью контурного интегрирования и модификации метода перевала. Эта часть асимптотического анализа (третий этап) является наиболее сложной. Получаемые в итоге полные асимптотические разложения вероятности разорения будут содержать коэффициенты, определяемые с помощью цепочки формул, что является достаточно громоздкой в техническом отношении процедурой и, как следствие, результаты не будут наглядными.В данной работе метод перевала не применяется. Вместо этого проводится анализ главной части асимптотики преобразования Лапласа - СтилтьесаF(u,0; x) = E {e~u т(x2; т(x) < ж} в окрестности точки и = 0, что приводит к асимптотическим разложениям с коэффициентами, являющимися функциями переменных u и х. Как функции u они являются преобразованиями Лапласа - Стилтье-са от соответствующих прообразов, которые могут быть найдены из таблиц обратных преобразований Лапласа - Стилтьеса.Заметим, что в работах [1, 2], в отличие от настоящей, для асимптотического анализа распределения граничных функционалов использовались компоненты факторизации более сложной функции u/(u - v|/(X)), где \|/(X) = ln E exp(X£(1)). Кроме того, коэффициенты асимптотических разложений имеют вероятностный смысл.1. Представления для преобразования Лапласа - СтилтьесаРассмотрим случайное блуждание Sn = L,\ + ... + £„, n > 1, порожденное последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин (с.в.) £ь ^2, . , являющихся величинами скачков обобщенного пуассоновского процесса (0.2). Положим цk = E^f, k > 1. Если ф(Х) = E(e), Re X = 0, - преобразование Лапласа - Стилтьеса величин скачков процесса то из представления (0.2) нетрудно получить преобразование Лапласа - Стилтьеса для процессаE(eхт) = exp(а?(ф(Т>-1)}, ReА,= 0 . (1.1)В работе всюду будет предполагаться выполненным следующее условие кра-меровского типа на распределение величин скачков процессаС) 1. Распределение Ъ,\ содержит абсолютно непрерывную компоненту.2. | ф(Х) | < да при m _ < Re X < m + , m _ < 0, m + > 0. Если щ < 0, то дополнительно предполагаем, что ф( m +) > 1; при щ > 0 предполагаем ф( m _) > 1.Для случайного блуждания {Sn, n > 1} и любого xeR определим лестничные моментыП + (x) = inf {n > 1: Sn > x}, n _ (x) = inf {n > 1: Sn < x} (полагая по определению inf 0 = да) и лестничные высоты х ± (x) = Sn ± (x). На событиях {n ± (x) = да} величины % ± (x) будем считать неопределенными. ПоложимЛ ± (0) = n ± и X ± = Sn ±.Хорошо известно [6, 7], что функция 1 - zф(X) допускает следующую факторизацию на прямой Re X = 0:1 - zy(X) = rz+ (A,)r_ (X), |z| < 1, (1.2) где функции r*1 (X) аналитичны в области Re X < 0 и непрерывны вплоть до границы, а r11 (X) аналитичны в области Re X > 0 и непрерывны на границе. Компоненты факторизации (1.2) выражаются через преобразования лестничных моментов и высот:rz±(X) = 1 -E{zn± eх%±;n± ) = J exyrfG(j>).-ao AТеорема 1.1. При Re u > 0 и Re X < 0 для двойного преобразования Лапласа Стилтьеса (0.3) имеет место представлениеР{и, X; x) = rz + (X) [г-1 (X)][л>°°> , (1.4)гдеz =а + uДоказательство. По теореме сложения математических ожиданий для полной группы несовместных событий имеемF(u,X;x) = E{e-uT(x)+Xy(x); т(x) x,однако этого в нашем случае недостаточно. Пусть при Re X < X+, ul U0да(1.18)При любом s >0 образ множества KE при отображении z = принадлежитa+uмножеству | z-1| >s , \z \< 1 при некотором s. Поскольку для таких z разложения (1.18) имеют место при Re X < 81 = X+ + 8, по формуле обращения преобразований Лапласа - Стилтьеса имеемFu (у) = J- J ^ e- y dX=^- J 1 -(a /(a+ ^(X) e- ydX =2n 1 ReX2n 1 Re-=S1X hu - (X)= J- JdX-^- J -S^-e^X = Ii - 72.2n i ReX=Sj X hu - (X)a + « 2n i ReX=Sj X hu - (X)Интеграл 11 = 0, так как подынтегральная функция аналитична для ReX > 0. Поскольку подынтегральная функция в /2 аналитична при 0 < Re X < 81 и непрерывна на границе Re X = 81, то| а + u |Далее,1 , К\ (X) . 1 h -(X)(а/(а + и))ср(А,) ,Gu (y) = _L_ Г _sе-х y d X= - Г u / e yd X +2n * ReX=Sj X2n * Re X=Sj X i1 - (а /(а + u) )ф(Х))1 f h - (X) e-Xy■Г"-rfX = /3 - /4 ,2n * ReX=5, X1где/4 = 0 и |I3 \'x ; т(x) 0 и m > 0P№ < t}= £ Fj(t)x-j + O(х-т -1),Ix) j=0где1 c+iда f (у)F(t) = T^ 1е'"^«, c > 0, j > 0,2ni c-iда «- прообразы членов разложения (2.9),2 да 2 F(t) = -i= J e-y /2 dy .Теорема 2.2. Предположим, что выполнено условие крамеровского типа С). Пусть ц1 = Eq1 ^ 0 Дj = ф'(Х +) и x - да. Тогда для любых t > 0 и m > 0гдеиP j T(X)^1 < t j = P{т(x) < да } + £ P} (t)x~j + O(x^-1),P { t(x) < да } = 1 при ц1 > 0 P{ t(x) < да } = Ce-X +x (1 + O(e-(X ++ S)x)) п^и ц < 0,да}1-P{n+ 0.X + E {e X +x +; n + 0, - прообразы членов разложения функции F окрестности точки u = 0.1и - xjl-1 ^-,0; xв3. Заключительные замечания1..Результаты данной работы без каких-либо осложнений переносятся на случай обобщенных процессов Пуассона с решетчатыми скачками, подчиняющимися условию С) Крамера. Изменения в доказательствах сведутся к замене интегралов суммами. Необходимые сведения о свойствах факторизационных компонент для этого случая содержатся в [12].2..Во втором пункте условия С) предполагается, что при p,j Ф 0 должно выполняться неравенство tp(w ±) > 1. Если ф(да ±) = 1, то результаты данной работы остаются справедливыми при дополнительном ограничении

Скачать электронную версию публикации