On a Class of Two-Ordered Fields .pdf Основные определения теории двумерно упорядоченных полейОсновные определения, относящиеся к теории двумерно упорядоченных полей, изложены в [1]. Приведем те из них, которые часто встречаются в тексте статьи.1..Функция двумерного порядка Z: M3- {0, 1, -1}. Говорят, что двумерный порядок на множестве М реализуем на плоскости R2, если существует инъекция ф: M - R2, такая чтоVx, y, z е M Z (х, y, z) = П2(ф(х), ф(у), ф(г)), где т|2 - функция стандартной ориентации плоскости.2..Поле K, на котором задан двумерный порядок, совместимый с алгебраической структурой поля, называется двумерно упорядоченным полем , или 2-упорядоченным полем.3..Базой K0 двумерно упорядоченного поля K называется множествоКо = {х е K| Z(0, 1, х) = 0}.База K0 является линейно упорядоченным полем.4..Верхним конусом K" поля K называется множествоK = {х е K| Z(0, 1, х) > 0}.Задание верхнего конуса K однозначно определяет двумерный порядок в поле K. Поэтому далее 2-упорядоченное поле будем обозначать .5..Элемент aеK"\ K0 называется бесконечно близким к базе K0 элементом, если Vn, Vr е K0, r < a,(a - r)ne K \K .Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного поляОпределение. Двумерно упорядоченное поле называется бесконечно узким, если все его элементы либо бесконечно близки к базе, либо являются элементами базы.Пусть всюду далее 0},гдеdf (al,...,an) = ^fdx1 +... + -^-dxn ; x, = a,; dx, = 1,задаёт в поле K структуру бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля.Доказательство. Для того чтобы K" было верхним конусом 2-порядка на поле K, необходимо и достаточно выполнение следующих 4 условий [1]:(a)()K" + K" = K";(b)()K" и -K" = K;(c)()(K"\{0})-1 = - K"\{0};(d)если x, z е K", y е K"\Ko; zy-1, yx-1 е K", то zx-1 е K".Убедимся, что K" есть верхний конус 2-порядка в поле K. Проверим выполнение условий (a) - (d).(a) Проверим замкнутость множества K" относительно сложения. Пустьf (ab an), g (a1, an) е K" . Тогдаf+...> о и ^+... +-8L > оdxx 8xndxx 8xnпри x, = a,, гдеf (ab an), g (ab an) е K. Но тогда имеемdfdf dg dg-^- +... + + -^ +...+ ^-> 0 при x,- = a,- ,dx1dxn dx1 dxnd( f + g) d( f + g) „ или ---- +... + ---> 0dx1 dxnЗначит, (f + g) е K".Условие (b) выполнено. В самом деле, пусть f (a1, an) е K . Тогда либо dfxb xn) > 0 при x, = a,, либо dfxb xn) < 0 при x, = a,. В первом случае получаем, что f (a1, an) е K" , а во втором - f (a1, an) е -K" . Значит, K" е -K" = K.(c) Пусть f (a1, an) е (K"\{0})-1, значит, f-1(a1, an) е K"\{0} f-1(a1, an) > 0df1 (*an) = -|(a^, 0f Ol,-, an )df (a1, an) < 0 f(a1, an) е - K"\{0}. Докажем, что условие (d) для K также выполнено.Пусть f (a1, an), g(a1, an) е K", h(a1, an) е K"\K0, hf 1, gh 1 е K". Покажем, что gf 1 е K .Имеемd(hf-1) > 0, d(gh -1) > 0,т еfdh - hdf > 0. hdg - gdh > 0 ;■ ■f2 " ' h2 " 'fdh - hdf > 0; hdg - gdh > 0. (*) Так как f (a1, an), g(a1, an) е K", h(a1, an) е K"\K0, т.е. df > 0, dh > 0, dg > 0, то умножим первое неравенство из (*) на dg, а второе неравенство на df . Имеемfdhdg - hdfdg > 0; hdgdf - gdhdf > 0,илиfdhdg > hdfdg > gdhdf > 0,илиfdhdg - gdhdf > 0.Умножая последнее неравенство на (dh) 1, dh > 0, имеемfdg - gdf > 0,значит, иfdg -2gdf > 0, т.е. d(gf-1) > 0 ,f 2следовательно, gf 1 е K , что и требовалось доказать.Таким образом, в поле K = K0(B) эффективно задан нетривиальный двумерный порядок.Покажем, что K - бесконечно узкое двумерно упорядоченное поле. Пусть f (a1, an) е K"\K0. Докажем, что, для любого натурального n, для любого r е K0, такого, что r

Скачать электронную версию публикации