Spaces of Functions of the First Baire Class in the Topologyof Pointwise Convergence and their /-Equivalence .pdf В данной работе рассматривается вопрос о линейной гомеоморфности пространств функций первого класса Бэра, заданных на отрезках ординалов. Эти пространства наделяются топологией поточечной сходимости. Для нормированных пространств непрерывных функций на счетных отрезках ординалов полная изоморфная классификация была дана в работе С. Бессаги и А. Пелчинского [1], а затем была продолжена в работе З. Семадени [2] и полностью завершена в работах С.П. Гулько и А.В. Оськина [3] и С.В. Кислякова [4]. Затем С.П. Гулько в работе [5] доказал, что аналогичная классификация имеет место и в том случае, когда пространства непрерывных функций снабжены топологией поточечной сходимости. В данной работе приведены достаточные условия линейной гомеоморфности пространств функций первого класса Бэра, заданных на двух произвольных отрезках ординалов.Соглашения и обозначения. Строчными греческими буквами обозначаются ординалы. Отрезки ординалов [1, а] и их подмножества снабжаются порядковойтопологией. Множество A с [1, а) называется конфинальным в [1, а), если длякаждого q е [1, а) существует такой n е A, что n > q. Известно [6, стр. 282], что наименьший порядковый тип множеств A, конфинальных в [1, а), является начальным ординалом. Будем его обозначать cf (а). Как обычно, C (X, Y) - множество всех непрерывных отображений из топологического пространства X в топологическое пространство Y. Функция первого класса Бэра - это функция, являющаяся поточечным пределом последовательности функций из C (X, Y). Символом B[1, а] мы будем обозначать множество всех функций первого класса Бэра, определенных на отрезке ординалов [1, а] со значениями в Y (Y - это либо вещественная прямая R, либо дискретное двоеточие D = {0,1}). В последнем случае сложение и умножение функций происходит как в поле Z2. Множество B[1, а] снабжается топологией поточечной сходимости и обозначается Bp[1, а]. Если A - подмножество в [1, а], то символом B° ([1, а], A) обозначается множество{x ё Бр[1, a]; x |A = 0}. Если A = {а}, то вместо B° ([1,а], {а}) пишем просто B° [1, а]. Тот факт, что два топологических векторных пространства L и M линейно гомеоморфны, будем обозначать L ~ M. Так же как и в [1], можно доказать, чтоBp [1, а] ~ Bp [1, а]. Если {Xs | s е S} - семейство топологических векторных пространств, то символом Z{Xs ; s е S} будем обозначать Z-произведение пространств Xs, т.е. множество {x = {xs} е П{Х | s е S}; |{s е S | xs ^ 0}| < К0}. Если Xs = X для всех s, то вместо 2{Xs ; s е S} будем писать Z{X ; т}, где т - мощность множества S.Теорема 1. Функция x: [1, а]-Y принадлежит пространству Bp[1, а] тогда и только тогда, когда она непрерывна во всех таких точках ß е [1, а], что cf (ß) > со.Доказательство. Пусть x е Bp[1, а]. Тогда существует последовательность функций xn е C ([1, a], Y), сходящаяся к x(y) в каждой точке. Зафиксируем ß е [1, а] со свойством cf (ß) > со. Для каждого n = 1, 2, ... существуют такие ßn < ß, что xn(y) = xn(ß) при всех у е (ßn, ß] [7. С. 206] (другими словами, в некоторой окрестности точки ß функции xn становятся постоянными). Пусть ß0 = sup{ßn ; n = 1, 2, . „}. Так как cf (ß) > ю, то ß0 < ß. Окончательно, при у е (ß0, ß] x(у) = lim xn (y) = lim xn (ß) = x(ß), следовательно, функция x непрерывна в точке ß.Обратно, пусть x - функция, заданная на отрезке [1, а] со значениями в Y, непрерывна во всех точках несчетной конфинальности. Построим последовательность непрерывных функций {xn }"=1, поточечно сходящуюся к x. Доказательствопроведем по трансфинитной индукции. Ясно, что если а - конечный ординал, то утверждение теоремы верно.Предположим, что для всех ординалов, меньших а, утверждение доказано.Случай 1: а - непредельный бесконечный ординал. По индуктивному предположению существует такая последовательность непрерывных функций{xn а-1] -» Т}^=1, что lim xn(у) = x(y) для всех у е [1, а - 1]. Продолжими-»odфункции xn на отрезок [1, а], полагая*я (у) = f"(Y)'Ye[1'а-1];(х(а), у = а.Очевидно, что {xn }^=1 - требуемая последовательность непрерывных функций.Случай 2: а - предельный ординал и cf (а) = ю. Тогда существует возрастающая последовательность ординалов {an }"=1, такая, что lim an =а . Рассмот-и-»odрим следующее разбиение отрезка [1, а]:[1, а] = [1, а:] U (а:, а2] U .„ U (а^_1, а*] U ... U {а}. На отрезке [1, а:] и на каждом из отрезков (ак_ь ак] существует последовательность непрерывных функций (x^ }"=i, поточечно сходящаяся к x. Положимх1„ (у), ye [1, оц ];x2(y), ye (ai, а2];*п (y), ye(an-U an ];x(a), ye (an, а].Нетрудно увидеть, что все функции xn непрерывны на отрезке [1, а] и поточечно сходятся на этом отрезке к функции x.Случай 3: а - предельный ординал и cf (а) > ю. Тогда существует такой ординал у0 < а, что x(y) = xfa) при всех у е (у0, а]. По предположению индукции существует последовательность непрерывных функций {xn }"=1, заданных на отрезке [1, у0], поточечно сходящаяся к x. Продолжим эти функции на отрезок [1, а], полагая(x„ (у)> у e [1> Уо ];Хп (У)" (x(a), ye (уо, а].Понятно, что {xn }„=1 - последовательность непрерывных функций, поточечносходящаяся к x. Теорема доказана.Замечание 1. Эта теорема верна и для функций со значениями в произвольном топологическом пространстве Y с первой аксиомой счетности.Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что для любого счетного ординала а функции класса а по классификации Бэра совпадают с функциями первого класса Бэра [8], поэтому вместо обозначения В:[1, у] мы используем обозначение B [1, у].Следствие 2. Если а, ß е [ю, coi), то ВД1, а] ~ ВД1, ß].Доказательство. Так как для каждого у е [ю, ю:) выполнено cf (у) < ю, то Вр[1, у] ~ YK° (напомним, что Y - это либо вещественная прямая, либо дискретное двоеточие).Лемма 3. Пусть а и ß - произвольные ординалы. ТогдаBp[1, а-ß] ~Bp[1, ß] х 2{ВД1, а]; |ß|}.Доказательство. Рассмотрим множество A = {ау; 1 < у < ß}. Нетрудно видеть, что A - замкнутое подмножество отрезка [1, а-ß], гомеоморфное отрезку [1, ß]. Дополнение множества A распадается на непересекающиеся открытые интервалы /у = (а-у, а-(у+1)) = [а-у+1, а-(у+1)), т.е. [1, а-ß] \ A = U{/y ; 1 < у < ß} и каждый интервал /у гомеоморфен отрезку [1, а).Для каждой функции x е ВД1, а-ß] построим функциюГx(t), t е A;X(tУ {x(a-(y + l)), t е/у. Нетрудно видеть, что x е Bp [1, а ß]. Тогда отображение Tx = (x |A, x - x) определяет линейный гомеоморфизм между пространствами ВД1, а-ß] и Bp(A)хВ®([1,a-ß], A). Так как множество A гомеоморфно отрезку [1, ß], то ВДА) ~ В^[1, ß].Покажем теперь, что для каждой функции x е B°p ([1, a-ß], A) множество Г = (у< ß; x \j Ф 0} не более чем счетно. Действительно, если Г - несчетное множество, то для некоторого s > 0 существует несчетное множество Ге = {у е Г; sup{|x(t)|; t е /у} > s}. Для каждого у е Ге выберем такую точку tY е /у, что |x(t)| > s. Пусть T = {ty; у е Ге}. Положим у0 = ш1и{у; |Г П [1, а-у]| > К0}. Нетрудно видеть, что ординал у0 является предельным и что cf (у0) > ю. Действительно, если предположить, что cf (у0) = ю, то существует возрастающая последовательность (уn }"=1, для которой lim уn = у0. По определению у0 множествоn-»odT П [1, а-у0] несчетно, а множества T X [1, а-у„] счетны. Но это противоречит тому, что T П [1, а-у0] = U{T X [1, а-уи]; n = 1, 2, ...}. Итак, cf (у0) > ю. По теореме 1функция x непрерывна в точке а-у0 е A, следовательно, существует ординал у < у0, такой, что x(t) = 0 для всех t I [а-у, а-у0], что противоречит определению у0.Итак доказано, что каждая функция x е Bp ([1, a-ß], A) лишь на счетном числеинтервалов 1у отлична от нулевой функции. Это означает, что отображение Ux = {x |[a.y+ij0,.(y+i)] }a 0 существует несчетное множество T = {tß е Iß; |x(tß)| > s}. Положимß0 = min{ß;| T n [1, co^ ] | > K0}. Ординал ß0 является предельным и cf (ß0) > ю. Потеореме 1 функция x непрерывна в точке юТв0 е Г и, значит, существует ее такаяокрестность (юхр, юхРо ], что x(t) = х(юхРо) = 0 для любого t е (юхр, юхРо ], что противоречит определению числа ß0.Итак, мы показали, что любая функция x е B° ([1, ю!° ], Г) лишь на счетном множестве интервалов Iß отлична от нулевой функции. Следовательно, отображение Ux = {xß; ß < соа}, где Xß - сужение функции x на отрезок [юхр +1, юхр+1 ], является линейным гомеоморфизмом пространства x е ([1, ], Г) на[coTß +1, ю^1 ]; ß

Скачать электронную версию публикации