Calculation of Dynamics of Beams Systems with Elastically MountedMasses in Program Packet "MOCODISS" .pdf Излагается общий подход в реализации алгоритмов расчета поперечных колебаний одномерных стержневых систем с массами на основе применения метода сплайн-преобразования координат. Приводится описание программного пакета MOCODISS, реализующего данный метод. Проведен сравнительный анализ точности расчетов на ряде модельных задач. Выявлен вычислительно значимый диапазон изменения жесткости упругих шарниров, связывающих стержни одномерной системы.Ключевые слова: колебания, стержневая одномерная система, упругие шарниры, цепочки дискретных масс, метод сплайн-преобразования координат, программная реализация.Необходимость создания надежных, прочных машиностроительных конструкций с минимальными затратами создает потребность в современных программных системах для их расчета и оптимального проектирования. Использование таких программных систем позволяет качественно выполнять расчеты, сократить цикл проектирования, выполнить диагностику существующих деталей и конструкций.Программный пакет MOCODISS (Modeling of Continuous-Discrete Systems) предназначен для осуществления прочностного расчета и оптимального проектирования непрерывно-дискретных конструкций в виде стержневой системы, нагруженной цепочками упруго связанных масс.В основу алгоритмов MOCODISS заложен расчет задач динамики и статики линейных стержневых систем аналитическим методом сплайн-преобразования координат, отличающимся учетом упругих шарниров, неоднородного упругого основания и упруго присоединенных разветвляющихся цепочек масс.Основы теории сплайн-приближений и некоторых ее применений заложены в работах Дж. Алберга, Э. Нильсона, Дж. Уолша [1], А. Сарда, С. Вейнтрауба, Н.П. Корнейчука [6] и др. Существенный вклад в разработку аналитических методов исследования статики, динамики и устойчивости стержней и одномерных стержневых систем на основе сплайн-преобразований координат внесли В.А. Ла-зарян [7], С.И. Конашенко, Е.Т. Григорьев, Н.Б. Тульчинская, Н.Е. Науменко и др.Построение расчетных схемПри создании расчетной схемы стержневая система аппроксимируется достаточно большим числом n + 1 однородных частей, связанных упругими шарнирами (рис. 1). Предполагается, что каждая однородная часть расположена на однородном (за исключением сосредоточенных включений) упругом основании. Все связи между частями стержня осуществлены упругими шарнирами с двумя характеристиками жесткости kM и kg. (рис. 2). На каждом однородном участке имеетсяN точечных масс Mrq (r = 1, n +1, q = 1, N), жестко прикрепленных в сеченияхx = drq. Кроме того, сечения x = drq упруго защемлены с жесткостью k2rq, и в том же сечении имеется упругая опора стержня с жесткостью k1rq. В сечениях x = drqстержневой системы упруго присоединены цепочки сосредоточенных масс Mrqph соединенных между собой упругими элементами жесткости crqpg. При этом каждаясистема масс прикреплена только к одному сечению составного стержня. В некоторых сечениях к стержню может быть присоединено несколько одномерных систем масс. Любая масса одномерной системы в свою очередь упруго прикреплена с жесткостью Crqp, к неподвижному основанию. В индексе rqpt буква r означает номер участка стержня, q - номер сечения, p - номер одномерной системы масс из прикрепленных к данному сечению стержня, p = 1, P, I - номер массы в одномерной цепочке, отсчитываемой от сечения стержня, i = 1, K.Для облегчения преобразований формул, содержащих обобщенные функции, принято, что точечные включения в жесткость стержня (упругие шарниры) расположены бесконечно близко к сечениям скачков x = at, но не в сечениях скачковжесткости и интенсивности массы. Для краткости обозначено a* = at + 0 . В случае сосредоточенных включений в интенсивность массы и параметры основания на концах стержня эти включения сдвигаются на бесконечно малые расстояния так, чтобы они оказались внутри стержневой системы.Принятые допущения, особенно в части простановки индексов и пределов их изменения, нуждаются в пояснениях. То обстоятельство, что для жестко прикрепленных масс Mrq и точечных включений в жесткость основания kirq, k2rq приняты одинаковые индексы, не означает, что в каждом сечении x = drq имеются масса Mrq, упругая опора жесткости k1rq и упругое защемление сечения жесткости k2rq. Некоторые из этих масс и жесткостей могут быть равными нулю, а это означает,что соответствующих масс и связей не существует. Однако принято, что на каждом участке стержня с номером n последовательно нумеруются все сечения x = drq, в которых находится хотя бы один из перечисленных элементов. При этом число N сечений x = drq принимаем максимальным, достигаемым на каком-то из (n+1) участков рассматриваемой стержневой системы. Подобные рассуждения относятся и к наличию в расчетной схеме упругих шарниров, упругого кусочно-постоянного основания и упруго присоединенных цепочек масс.Изложенный принцип построения расчетных схем позволяет рассматривать достаточно широкий класс механических конструкций, объединенных общим математическим описанием.Математическая модельМатематическая формулировка задачи о собственных колебаниях составного стержня на упругом основании с упруго присоединенными цепочками дискретных масс с учетом сил диссипации по Фойгту приводит [2] к дифференциальному уравнению в частных производных и системе обыкновенных дифференциальных уравнений (1) при начальных условиях (2) и одном из краевых условий вида (3).1+h £EI (x)d2 w dx 2ööx öw öx+ k1 (x)w\ + m{ x)öw2 +^00dtZ Z Z Crqp1 [ 1 + dt J Lyrqp1 (t) " W(drq 't) J a1 (X " drq )'r=1 q=1 p=1(1)Mrqpl L y'rqpl + Hoyrqpl J + ^ + Ш ~ J X X { Crqpl {yrqpl - yrqp,l-\ ) + Crqp,l+1 {yrqpl - yrqp,l+1 ) + Crqplyrqpl } = 0;w(x,0) = Wq (x), w(x,0) = ivq (x), у t (0) = у о, y t (0) = y „,r = 1, n +1, q = 1, N, p = 1, P, ^ = 1, K;(2)d 2 wd3 ww = 0, ^ = 0;(3)= 0,= 0; w = 0,d2w = 0.dxdx2 dx3 dx2В системе (1) обозначено w(x,t) - динамический прогиб стержневой системы; yrqpi(t) - перемещения массы Mrqpl; a0 и CTi - соответственно функция единичного скачка (функция Хевисайда) и единичная импульсивная функция (функция Дирака); и pi - коэффициенты внешнего и внутреннего вязкого сопротивления по Фойгту; EI(x) и m(x) - распределенные параметры изгибной жесткости (4) и интенсивности массы (5) стержневой системы; k1(x), k2(x) - распределенные параметры неоднородного упругого основания стержневой системы (6).EI (x) = EI0

Скачать электронную версию публикации