Numerical Simulation of Natural Convection inSpherical Layer .pdf Множество задач, связанных с естественной конвекцией во вращающихся сферических слоях в центральном поле тяжести, является предметом исследований современных геодинамики и астрофизики [1 - 3]. В частности, большой интерес представляет задача о конвекции во внешнем жидком ядре Земли. Проведение натурных экспериментов, в которых учитывается центральная симметрия поля тяжести, представляется довольно сложной проблемой. В связи с этим весьма актуальным является численное моделирование такого рода задач конвекции. В работе рассматривается модельная задача, в которой учитываются такие реальные условия конвекции во внешнем ядре Земли, как вращение, неоднородное центральное поле тяжести и характерное для ядра соотношение внутреннего радиуса и толщины шарового слоя.Постановка задачи и математическая модельПолагалось, что вязкая несжимаемая жидкость заполняет сферический слой толщиной H (рис. 1). Границы сферического слоя твердые и вращаются с постоянной угловой скоростью со вокруг оси z. Температура нижней сферы Th, больше температуры верхней - Tc. Поле тяжести обладает центральной симметрией. Центр поля тяжести находится в центре сферического слоя, заполненного жидкостью. Модуль ускорения свободного падения линейно зависит от расстояния до силового центра:g(r) = (g(ro + H ) - g(r0))(r - ro) / H + g(r0). В работе приняты следующие обозначения: (r, 0, ф) - сферические координаты; t - время; (ur, щ, иф) - компоненты скорости в сферических координатах; p -отклонение от гидростатического давления; T - температура; а - коэффициент температуропроводности; ß - коэффициент объемного расширения; pc - плотность при температуре Tc; v - кинематическая вязкость. Безразмерные переменные определялись по формуламt = vt /H2 ; R = r /H; U = Hur /v ; V = Hue /v ; W = Ниф /v ; Ф = (T - Tc)/(Th - Tc) ; P = H2 p /pcv2.Безразмерные параметры задачи:A = r0 /H - аспектное отношение; Gr = g(r0)ß(Th - Tc)H /v2 - число Грасгофа; Re = coH2/v - число Рейнольдса, Pr = v/а - число Прандтля; у = (g(r0 + H ) -g(r0)) / g(r0) - безразмерный параметр, характеризующий степень неоднородности модуля поля тяжести.Исследовались стационарные решения с осевой симметрией. Это позволило исключить из числа независимых переменных угол поворота вокруг оси вращения ф и сделать двумерной расчетную область. Задача решалась в инерциальной системе отсчета, в сферических координатах. В качестве математической модели использовалась система уравнений свободной конвекции в приближении Буссине-ска, которая в безразмерной форме может быть записана в виде= -VP + V 5,5-105 не удалось получить стационарного режима конвекции.Вторая серия вычислений была аналогична первой, но проводилась при Re = 50. Во всех численных экспериментах данной серии, вне зависимости от начальных условий, были получены только решения второго типа. Таким образом, в данном случае вращение снимает вырождение стационарных решений, т.е. каждому числу Грасгофа соответствует одно стационарное решение.В третьей серии расчетов исследовалась зависимость стационарных решений от числа Рейнольдса при фиксированном числе Грасгофа Gr = 105. Использовался метод продолжения по параметру, т.е. в качестве начальных условий использовалось решение при предыдущем значении Re. В диапазоне 0 < Re < 45 для каждого значения Re получены оба типа стационарных решений, при 50 < Re < 85 - только решения второго типа. Зависимость числа Нуссельта от числа Рейнольдса представлена на рис. 6. Тепловой поток уменьшается при увеличении числа Рейнольдса, поскольку при увеличении Re усиливается центробежная сила и, как следствие, уменьшается интенсивность конвекции. Результирующее силовое поле складывается из гравитации и центробежной силы, и при достижении некоторого значения Re (в данном случае при Re = 95) становится сильно неоднородным, и, как следствие этого, конвекция становится нестационарной. При больших числах Рейнольд-са (в данном случае при Re > 3000) конвекция прекращается, поскольку центробежная сила полностью компенсирует гравитацию. Аналогичное исследование было проведено для Gr = 103. В этом случае стационарное решение получается при любом значении Re и уже при Re = 100 конвекция прекращается.ЗаключениеРазработан комплекс программ, позволяющий численно решать задачи конвекции в сферическом слое. Проведено распараллеливание программного кода с помощью директив стандарта OpenMP для использования на многопроцессорных вычислительных системах с общей памятью. Ускорение выполнения типичного для данной работы расчета при использовании многопоточного кода на процессоре с четырьмя ядрами составило 2,2 раза. Исследована зависимость стационарных решений задачи о естественной конвекции в равномерно вращающемся сферическом слое от чисел Грасгофа и Рейнольдса. Установлено, что при медленном вращении (Re = 10) возможно существование, по крайней мере, двух различных типов стационарных режимов конвекции, соответствующих одному значению числа Грасгофа. Установлено также, что при увеличении интенсивности вращения (Re = 50) снимается вырождение стационарных решений, т.е. каждому числу Грасгофа соответствует только одно стационарное решение. Определены зависимости числа Нуссельта от среднего по области числа Грасгофа и числа Рейнольдса.ЛИТЕРАТУРА

Скачать электронную версию публикации