The Bieberbachconjecture and the Milin conjecture.pdf 1. Краткая историческая справкаИсследуя экстремальные метрические свойства класса S голоморфных однолистных отображенийf (z) = z - c2( f )z2 -  - cn( f )zn - единичного круга E = {z¶C : z < 1}, Л. Бибербах в 1916 г. [1, с. 946] доказал, что |c2( f )| ≤ 2, f ¶S , и, принимая во внимание оценки( ) (1 )2 (1 )2z z f z z z „ „- −, z¶ E , ( ) 3 31 1(1 ) (1 )z z f z z z − „ „- −, z¶ E , равенства в которых, как и в оценке второго коэффициента, достигаются толькона функциях Кёбе( )2 ( 1)2 ( ) 2 ... ...1i in n i K z z z e z ne z e z ϕ − ϕ ϕ ϕ= = - - - −, 0 ≤ ƒ < 2ƒ, поставил задачу: доказать (или опровергнуть) справедливость неравенства|cn( f )| ≤ n при n¶ N \{1, 2} для класса f ¶S . Задача привлекла внимание многихспециалистов. Было доказано, что для f ¶S|c3( f )| ≤ 3 (Лёвнер, 1923 [2]), |cn( f )| < en, n = 2, 3, (Литтлвуд, 1924 [3]), 22 1c3 ( f ) c2 ( f ) 2e 1£−− £ „ −£ - , 0 < α < 1, (Фекете и Сегё, 1933 [4]), ( ) 3n 2 c f < en 8 А.И. Александров, И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.А. Юферова(Голузин, 1948 [5]), ( ) 1,51n 2c f < e n - (Базилевич, 1951 [6]), |c4( f )| ≤ 4 (Гарабедяни Шиффер, 1955 [7]), |cn( f )| ≤ 1,243n (Милин, 1967 [8]), |c6( f )| ≤ 6 (Педерсон, 1968 [9], Озава, 1969 [10]), |c5( f )| ≤ 5 (Педерсон, Шиффер, 1972 [11]), 76 cn < n < 1,081n (Фитцжеральд, 1972 [12]), |cn( f )| ≤ 1,066 (Горовиц, 1976 [13]).Гипотеза (проблема) Бибербаха (она состояла в утверждении, что |cn( f )| ≤ n, f ¶S ) в течение десятков лет стимулировала развитие геометрической теориифункций и теории решения экстремальных задач на классах конформных отображений. Был разработан ряд специальных методов исследования однолистных отображений. Среди них метод параметрических представлений, метод граничныхвариаций, метод внутренних вариаций, метод контурного интегрирования, методплощадей, метод симметризации, метод экстремальных метрик и другие. Они нашли применения в доказательствах указанных выше оценок.Был получен ряд других результатов, модификаций и новых формулировокпредшествовавших и более общих задач, составивших основу построения теорииоднолистных функций.В пользу справедливости гипотезы Бибербаха накапливались результаты, относящиеся к подклассам класса S.К. Лёвнер, 1917 г. [14], доказал, что |cn( f )| ≤ 1, если f ¶S0 º S - отображениекруга E на выпуклую область. Р. Неванлинна в 1921 г. [15] установил, что еслиf ¶S и отображает круг E на область, звездную относительно нуля, то |cn( f )| ≤ n и равенство реализуется только для Kƒ(z). Н.С. Дьедонне, 1931г. [16], доказал, что |cn( f )| ≤ n, если f ¶Sn º S - отображение с вещественными коэффициентамиcn( f ), n = 2,3, Каплан, 1952 г. [17], получил оценку |cn( f )| ≤ n на подклассе S почти выпуклых функций. О функции f ¶S говорят, что она почти выпукла, если существует голоморфная в E выпуклая функция Ф(z) = a1z - a2z2 -  (то естьобласть ƒ(E) - выпуклая) такая, что Re[f′(z)/ƒ(z)] > 0 в E.Значительный интерес представляют исследования задач, формулировка которых восходит к проблеме Бибербаха.И.Е. Базилевич, 1965 г. [18], в числе первых стал исследовать множества значений систем функционалов. На классе Пика Sp (M) º S , p¶ N , M > 1, функций( ) 1 ( ) 2 1( ) 1 2 1 ... p p p p f z z cp z c p z - = - - - - - , отображающих E на область с p-кратной симметрией вращения вокруг начала, принадлежащих кругу радиуса M, он нашелмножество значений ( ( ) ( ) ) 1 , 2 1 p p cp- c p- и ряда других функционалов. Эти результатыпоказывали, насколько -----усложняются оценки коэффициентов при переходе от S к Sp(M), в частности к S1(M), чем можно объяснить отсутствие на этих классах гипотезы о коэффициентах, аналогичной гипотезе Бибербаха.П.П. Куфарев проявил большой интерес к задаче Бибербаха о коэффициентах.К ней он обратился в 1950 г. в работе [19]. В 1954 г. он указывает в [20] эффективный новый подход к её исследованию, объединяющий метод внутренних вариаций и метод параметрических представлений. Годом позже П.П. Куфарев публикует [21] теорему: если функция класса S экстремальна в задаче коэффициентови отображает единичный круг на область без внешних точек, ограниченную отрезками прямых, то справедлива гипотеза Бибербаха.Гипотеза Бибербаха и гипотеза Милина 9Асимптотические результаты для коэффициентов на классе S первым установил В. Хейман [22] в 1955 г. Он доказал, что если f (z)¶S , f (z)  Kφ(z), то отношение |cn( f )|/n  ƒ при n  , причем 0 ≤ ƒ < 1. Иными словами, для любойфункции f ¶S \{Kϕ} и числа ƒ > 0 существует £( f )¶[0,1) такое, что cn ( f ) ( )fn−£ 0, n¶ N \ {1} , где ƒk(ƒ) - логарифмические коэффициенты функции e-ƒƒ(ƒ,z). Назовём её Bn-функцией Бранжа.Отметим, что Bn(ƒ) = 0 для функции( )2 1 i e z e z µ − ϕ является производящей функцией для Kƒ(z). Легко видеть, что между значениями функций Bn в нуле и функционалом Милина Mn( f ) устанавливается простая связь: ( ( ) ) ( )12 21(0) 1nn k n k B k f n k nM f k −−=” − ¥ = .Теорема 3. Производная Bn-функции Бранжа представляется формулой( ) ( )1 2, 1( )nn k n k n k B Y −−‰ µ =” ¥‰ µ ‰ µ , ƒ > 0.► Действительно, дифференцируя Bn(ƒ), получаем Bn(ƒ) = 2Kn(ƒ) - Ln(ƒ), где ( ) ( ) 12, 1Renn kk n k n k K k Y −−µ = −” ¥ ¥‰ и ( ) ( ) 12 2, 11nn k n k n k L k Y −−µ =” − ¥ ‰ .Преобразуем Kn(ƒ), пользуясь следствиями теоремы 2: ( ) ( )( )11 1 , 1Renn k k k k n k n k K k Y −− − −µ =” ⎣⎡ ¤ −¤ ¤ - ¤ ⎦⎤ ( ) ( ) 1 12 2 2 20 , 1 0 , 0 0n n k nk n k n k n k k k Y k Y − −− − −= = −” ¤ − ¤ -” ¤ − ¤ .Так как Y0,n(ƒ) = 0, то ( ) ( )( ) 1 12 2 2 21 0 , 1 0 1, 1 11n n k nk n k n k n k k k Y k Y − −− − − − −= ” ¤ − ¤ =” - ¤ − ¤ и, значит, ( ) ( ) ( )12 20 , 1, 11nn k n k n n k n k K kY k Y −− − −µ =” ¤ − ¤ ⎡⎣− - - ⎤⎦ .Пользуясь дифференциальными уравнениями для Ys,n , представим Kn(ƒ) в виде( ) 12 20 , 1, 1( )nn k n k n n k n k K Y Y −− − −µ =” ¤ − ¤ ⎡⎣ ‰ - ‰ ⎤⎦и окончательно16 А.И. Александров, И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.А. Юферова( ) 12 2 21 0 , 1( ) 2nn k k n k n k K Y −− −µ =” ¤ - ¤ − ¤ ‰ .Теперь преобразуем Ln(ƒ). С учетом следствия 3 теоремы 2 имеем( ) ( ) 121 , 11nn k k n k n k L Y −− −µ =” − ¤ −¤ ‰и, следовательно, ( ) ( ) 12 21 1 , 11 2Renn k k k k n k n k L Y −− − −−µ =”⎣⎡ − ¤ − ¤ - ¤ ¤ ⎦⎤ ‰ .Суммируя 2Kn(ƒ), Ln(ƒ) и учитывая, что 4|ƒ0|2 = 1, получаем( ) ( ) 1 1' 2 2 21 1 , 1 , 1 12Ren n n k k k n k n k k n k n k k B Y Y − −− − − − −= µ =”⎡⎣ ¤ - ¤ - ¤ ¤ ⎤⎦ ‰ =”¤ - ¤ ‰ .В силу следствия 3 теоремы 2 и равенства |ƒ(ƒ)| = 1 имеем |ƒk- ƒk-1| = |ƒk|. Этимзамечанием завершаем вывод формулы для Bn(ƒ). ◄5. Функции Ys,n(ƒ), Zs,n(ƒ)Найдем общее решение системы (-). Соответствующая её числовая матрицаAn = ||ci,j||, 1 ≤ i, j ≤ n -1, составленная из коэффициентов при yi, в правых частяхуравнений системы (-), имеет своими элементами ci,j = 2(-1)s-j-1(n - j) при j < s, cj,j = -(n - j), ci,j = 0 при j > s и, следовательно, является нижней левой треугольнойматрицей. Её характеристические значения ƒr, r = 1,, n - 1, легко находятся: ƒr = n - r.Будем искать частное решение системы (-), соответствующее характеристическому значению ƒr, r = 1,, n - 1, в виде матрицы-столбца( ) { ( ) ( ) }1 ,..., 1 r n r n r T e n e − − µ − − µ ¥ = ¥ ¥ − , где ƒ1,r,, ƒn-1,r - некоторые постоянные. Не умаляя общности решения, можносчитать, что ƒr,r = 1. Из (-) для ƒs,r получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений(1− r ) ¥s,r = 0 , ( ) ( ) ( )11, , 12 1 0ss j j s s r j n j s r −- ” − − ¥ - − ¥ = , s = 2,,n - 1.Найдем её решение. Легко видеть, что ƒs,r = 0, если s < r. Считая r-1 ≤ s ≤ n-1, имеем( ) ( ) ( ) ( )2, 1, 12 1 1 1 0ss j j r s r j n j s r −−− ” − − ¥ - − − ¥ = , ( ) ( ) ( ) ( )11, , 12 1 1 0ss j j r s r j n j s r −− ” − − ¥ - − ¥ = .Складывая левую и правую части этих уравнений, получаем рекуррентную формулу(s - r)ƒs,r - (2n - s - r - 1)ƒs-1,r = 0, Гипотеза Бибербаха и гипотеза Милина 17позволяющую найти ƒs,r, если известно ƒs-1,r. Последовательно применяя её и имеяв виду, что γr,r = 1, находим( ) ( )( ) ( ), ( )2 2 - 2 2 1 1- 2 s r s r s r n r n r s r n s r s r ¥ = − − − = − − ⎛⎜ − ⎞⎟ − − − ⎝ − ⎠.Таким образом, характеристическому значению ƒr = n - r, r = 1,, n - 1, матрицы An соответствует частное решение ƒ(r)(ƒ) системы (-): ( ) ( ) { ( ) ( ) }1 ,..., 1( ) r r r T ¥ µ = ¥ ¥n− µ , где ( ) ( )( )0 при 1,..., 1, ( ) при , ( 1) 2 2 при 1,..., 1r nr s s r n r s r Y e s r n re s r n s r − − µ − − − µ ⎧= − ⎪⎪µ = = ⎨⎪⎛ − ⎞ ⎪ − ⎜ ⎟ = - − ⎩ ⎝ − ⎠или, что то же самое, (r) ( ) ( 1)s r 2n 2r e (n r)s r ¥ µ = − − ⎛⎜ − ⎞⎟ − − µ ⎝ − ⎠, s = 1,,n -1.Обозначая через Cr,n , r = 1,, n - 1, произвольные постоянные, представимобщее решение системы (-) в виде {ƒ1,n(ƒ),, ƒn -1,n(ƒ)}T, где ( )1( ), , 1( 1) 2 2nsr nr s n r n r n r C e s r −− − − µ ⎛ − ⎞ ¥ µ = − ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ” , s = 1,,n - 1, или, что то же самое, ( ) ( ), , 1( 1) 2 2ssr nr s n r n r n r C e s r − − − µ ⎛ − ⎞ ¥ µ = − ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ” , s = 1,, n - 1.Для получения функций Ys,n(ƒ) остаётся найти Cr,n , такие, что ƒs,n(0) = s/(n - s), s = 1,, n - 1, то есть решить систему линейных неоднородных алгебраическихуравнений, 1( 1) 2 2ss r r n r n r C s s r n s −⎛ − ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎝ − ⎠ − ” , s = 1,, n - 1.Последовательно решая уравнения, находим, 1 2 2r n 1C n r n r r ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ − ⎠, r = 1,, n - 1.Итак, (s,n)-функция Бранжа имеет вид ( ) ( ), 1( 1) 2 2 2 21s s r n r s n r Y n r n r e n r s r r −− − µ − ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ µ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ ” .Отметим, что lim Ys,n ( ) 0µ¨†µ = . Дифференцированием Ys,n(ƒ) приходим к функции( ), 1( 1) 2 2 21ssr nr s n r Z n r n r e s r r − − − µ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ = − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ ” .18 А.И. Александров, И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.А. ЮфероваФункции Ys,n(ƒ), Zs,n(ƒ) являются многочленами относительно e-ƒ без свободного члена. Покажем, что они являются частными (вырожденными) случаями обобщенных гипергеометрических рядов Гаусса.Заменяя в сумме, представляющей Zs,n(ƒ), индекс суммирования r на j по формуле r = s - j, получаем1( ), 0( 1) 2 2 2 21sn s s r j s n j Z e n s j n s j e j s j −− − µ − − µ ⎛ − - ⎞ ⎛ − - ⎞ = − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ − − ⎠ ” .Пусть m = n - s - 1, k = s - 1 и ( )a n - символ Похгаммера, то есть(a)0 = 1, (a)j = a(a - 1)(a - j -1), j ¶ N .Учитывая, что ( 1)a a n n n n ⎛ ⎞ = − - ⎜ ⎟⎝ ⎠, a,n¶ N , представим Zs,n(ƒ) в виде( ) ( )( )( ), 02 1 2 2( ) ( 1)kn s j j k j j s n j m j m j Z e e j k j − − µ − − µ - - µ = − −− ” .Для дальнейших преобразований суммы, стоящей справа, воспользуемся формулами(-k)j(k - j)- = (-1)jk-, ( ) ( )( )( )2 122 1 2 21 2 12k j j j k j j jm m m j m j m m −⎛ − ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠- − - ⎛ - ⎞ − ⎜ ⎟⎝ ⎠.После выполнения несложных операций получим, что ( ) ( )( ), 0(2 ) 12( )- 1 2 1 2n s k k j j j j s n j jjm k m Z e e k m m j − − µ - − µ − ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠µ = − ⎛ - ⎞ − ⎜ ⎟⎝ ⎠”( )( )3 22 , , 12 2 ; - 1 ,2 12n s k e m F m k k m e k m m − − µ −µ⎡ - − − ⎤ ⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ - − ⎥⎣ ⎦.Напомним, что использованные здесь обозначения - частный случай обозначения специальных рядов Гаусса: 1 11 0 1,... ( ) ...( ); ,..., ( ) ...( ) j p j p j p q q j j p j a a a a z F z b b b b j †⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦” , где p и q - натуральные числа, a1,,ap, b1,…,bq - постоянные. Ряд в правой частиэтой формулы называют гипергеометрическим рядом, если p = 2, q = 1, и обобщённым гипергеометрическим рядом, если p … 3, q … 2. Ряд обрывается и превращается в конечную сумму, если среди параметров числителя a1 ,,ap, есть хотябы один, равный натуральному числу, умноженному на -1.Гипотеза Бибербаха и гипотеза Милина 19Аналогичные проведенным выше преобразования приводят к представлениюYs,n-функции Бранжа в виде( )( )( ), 432 , , 1 , 1( ) 2 2 ; 1 - 1 ,2 1, 2n s s n k e m k k m m Y m F e m k m m m − − µ −µ⎡ - − − − ⎤ ⎢ ⎥µ = ⎢ ⎥ − ⎢ - − ⎥⎣ ⎦.6. Функции k(ƒ,z) и K(z)Пусть f (z)¶S‰ и ƒ(ƒ,z) - её производящая функция. В области ƒ(ƒ,E) определена функция f (ƒ,w), обратная к ƒ(ƒ,z) при фиксированном ƒ. Для неё ( )( )( , ) ( , ) ( , )( , )F w F w F w F w • µ ® µ - µ = − µ •µ ® µ − µ , f (0,w) = f -1(w).Функция ƒ(ƒ,z) = f (ƒ,ƒ(0,z)) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению Лёвнера( )( )dd¨ ® µ - ¨ = −¨µ ® µ − ¨ , ¨ (0, z;®) = z¶ E , c зависящим от параметра z решением. Оно, рассматриваемое как функция начального условия, конформно отображает единичный круг в единичный круг, причем ƒ(ƒ,0;ƒ) = 0, ƒz(ƒ,0;ƒ) = e-ƒ .Поскольку пределlim eµ ( , z; ) z ...µ¨†¨ µ ® = отличен от постоянной, то по известной теореме об однолистности предельнойфункции для семейства однолистных отображений указанная функция принадлежит классу S.Лемма 1. При ƒ(ƒ) = -1 решением уравнения Левнера является функция( ) ( )( ( ) )( )21 1 4, ; 1 , 4e K z z k z e K z −µ−µ− ¨ µ − = µ = , 0 < ƒ < , где 0 ( ) 2 ( )(1 )K z K z z z = −, при этом K(k(ƒ,z)) = e-ƒK(z).► В уравнении11dd¨ − ¨ = −¨µ - ¨ переменные разделяются. Интегрированием получаем ln ƒ - 2ln(1 - ƒ) = -ƒ - ln C, где C - постоянная. Её находим из условия ƒ(0,z;-1) = z. Имеем после потенцирования K(k(ƒ,z)) = e-ƒK(z). Для завершения доказательства остается решить алгебраическое уравнение относительно ƒ и выбрать ветвь квадратного корня.◄Отметим следующие свойства функции k(ƒ,z).20 А.И. Александров, И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.А. ЮфероваФункция k(ƒ,z) при фиксированном ƒ, 0 < ƒ < , реализует однолистное конформное отображение круга E на единичный круг с исключенным прямолинейным отрезком от точки -1 до точки ( )2−eµ 1− 1− e−µ .Функция k(ƒ,z) продолжается на границу круга E и дугу этой окружности с концами в точках ( )21− e−µ € ie−µ / 2 , содержащую точку -1, отображает на указанный отрезок.Существует предел произведения eƒk(ƒ,z) при ƒ   и z¶ E . Выполнив вычисления, находимlim eµk( , z) K(z)µ¨†µ = .Разложение k(ƒ,z) по степеням z дается формулой [35]2 11( , ) 1 ,1 ; 3llk z e j F l l e z †−µ −µ⎡ - − ⎤ µ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ” .Более сильный результат2 1( , ) 1 , ; 2 1 2 1m m l l m k z e j l m F m l m l e z m m †− µ −µ⎛ - − ⎞ ⎡ - − ⎤ µ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ − ⎠ ⎣ - ⎦ ” , m¶ N , получен Г.А. Юферовой [36].Теорема 4. Соседние члены последовательности( )1m , m dk z d †⎧⎪ µ ⎪⎫⎨ µ ⎬ ⎪⎩ ⎭⎪, z¶ E , связаны между собой дифференциальным соотношением1 1 ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) ( , )1d dkm z dkm z dkm m dkm z d m d m d d d ⎡ - µ µ ⎤ - µ µ ⎢ - ⎥ = − µ ⎣ - µ µ ⎦ µ µ .► Полагая k = k (µ, z) , умножим равенство11dk k k d k −= −µ на mkm-1 и на (m - 1)km. Получим1 11mdk km k m d k −= −µ , 11 1 11 1mdk km k m d k - −= −- µ .Складывая -----эти равенства, будем иметь( )11 1 1 1 11 1m m dk dk km k k km km m d md k − - =− - = −- µ µ .Для окончания доказательства теоремы остаётся выполнить дифференцированиепо ƒ полученного равенства.◄Представим разложение общего члена последовательности( )1m , m dk z d †⎧⎪ µ ⎪⎫⎨ µ ⎬ ⎪⎩ ⎭⎪постепеням z в видеm ( , ) ( ) ( )m j j j m dk z m z d †µ= … µ µ ” , m¶ N , z¶ E .Гипотеза Бибербаха и гипотеза Милина 21Из теоремы 4 выводим: Следствие. При m = 1,2, имеет место равенство(m 1) ( ) (m) ( ) ( 1) (m 1) ( ) (m) ( )j j j j d d m m d d … - µ - … µ = - … - µ − … µ µ µ .Действительно, (m 1) ( ) j (m) ( ) j ( 1) (m 1) ( ) j (m) ( ) j j j j j j m j m j m j m d z z m z m z d † † † †- = = = ⎡ ⎤⎢ … µ - … µ ⎥ = - … µ − … µ µ ⎢⎣ ⎥⎦” ” ” ” .Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, в силу единственностиразложения голоморфной функции в степенной ряд, получаем указанное соотношение.Отметим, что коэффициенты (m) ( )… j µ в точке ƒ = 0 принимают значения( )( ) 1, если 0, (0)1 2, если 1,2,...mm k k k - k ⎧ − … =⎨ − = ⎩7. Последовательность { } Wm ( , z) †m 0= µ Образуем определенную в (0, )E последовательность { } Wm ( , z) †m 0= µ , полагая0W ( , z) K(z) d ln k( , z)dµµ = −µ, Wm-1(ƒ,z) = k(ƒ,z) Wm(ƒ,z), m = 0,1,... .Легко видеть, что Wm(ƒ,z) = km(ƒ,z) W0(ƒ,z), m = 1,2,, то есть ( , ) ( ) ( , ) 1 ...mm m m W z K z dk z e z m d µ − µ µ = − = µ .Последовательность { ( ) ( )} 0m , m K z k z †µ изучалась в работах [37, 38] независимо от исследований Ванштейна [39] последовательности( ) ( )1m , m K z dk z m d †⎧⎪ µ ⎪⎫⎨ µ ⎬ ⎩⎪ ⎭⎪, ставших нам известными позднее. Результаты этих исследований используются в дальнейшем изложении решения задачи Бибербаха как менее сложные в сравнении [40, 41].Начальный элемент W0(ƒ,z) = z -  этой последовательности представляет собой отображение круга E на плоскость с тремя прямолинейными, не проходящими через нуль разрезами. Два из них лежат на мнимой оси, симметричны относительно нуля и имеют концы в точках2i e µ € соответственно, а третий лежит на вещественной оси и начинается в точке( )( )22421 11 1 1e e e e − µ −µµ −µ− −−− − −.22 А.И. Александров, И.А. Александров, Л.С. Копанева, Г.А. ЮфероваЛемма 2. Разложение W0(τ,z) по степеням z имеет вид 22 10 210 0( ) 2 1 2 2 , 2 ; ...4 1 4 3mk m m k W e m k F k m k m e z z k k ⎡ ⎤† ⎢⎣ ⎥⎦− µ −µ = ⎛ - - ⎞ ⎡ - - − ⎤ µ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ = - ⎝ - ⎠ ⎣ - ⎦ ” ” .► Пользуясь тем, что k(ƒ,z) - решение уравнения Лёвнера с управляющейфункцией ƒ(ƒ) = -1, и леммой 1, имеем0 2( , ) ( ) ln ( , ) ( )1 ( , ) ( , ) ...1 ( , ) 1 (, )W z K z d k z K z k z e k z z d k z k z µ − µ µ µ µ = − = = = µ - µ − µ .Раскладывая в ряд функцию0 2( , ) ( , )1 (, )W z e k z k z µ µ µ − µ , ¨¶ E , сначала получим 2 100( , ) l ( , )lW z e lk z †µ µ = ” µ и затем воспользуемся разложением km(ƒ,z) по степеням z. Получим20 210 2 1( , ) 2 2 1 , 2 1 ; 4 1 4 3k m k m k W z e m k F k m k m e z k k † †− µ −µ= = ⎛ - ⎞ ⎡ - - - − ⎤ µ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ - ⎠ ⎣ - ⎦ ” ” .Меняя порядок суммирования, приходим к формуле, указанной в лемме.◄Коэффициенты разложения W0(ƒ,z) по степеням z можно записать, пользуясьполиномами Лежандра и гипергеометрическими функциями 3F2 . Поскольку0( , ) ( )1 ( , )1 ( , )W z K z k z k z − µ µ - µ , ( ) ( )21 1 4 ( ), 4 ()e K z k z e K z −µ−µ− µ = , то, подставляя k = k(ƒ,z) в W0(ƒ,z), получим0 2( , ) ( )1 4 ( ) (1 ) 1 2(1 2 )W z K z z e−µK z z e−µ z z µ = − − − − .Учитывая, что многочленами Лежандра Pm(t) являются коэффициенты разложения в ряд функции [42, с.396, формула 6.821]2 01 ( )1 2mmmP t z tz z †− ” , t ¶[−1,1] , по целым положительным степеням z, получаем после выполнения несложныхвычислений( ) ( ) 10 321 0 11 1 ,1 ,2, 12 ; 1, 32mm m k m k m m m W z P e z mF e z † − †−µ −µ= = ⎡ - − ⎤ ⎢ ⎥µ = − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦” ” ” .Теорема 4. Соседние члены последовательности связаны между собой дифференциальным соотношениемm 1( , ) m ( , ) ( 1) m 1( , ) m ( , )d W z d W z m W z mW z d d - µ - µ = - - µ − µ µ µ .Гипотеза Бибербаха и гипотеза Милина 23► Достаточно умножить доказанное в теореме 4 соотношение на K(z) и учесть, что ( , ) ( ) ( , )mmW z K z dk z m d µ µ = −µ.◄Функция Wm(ƒ,z), m = 0,1,, голоморфна относительно z в круге E и, согласнотеореме Тейлора, раскладывается в степенной ряд , , ( )0 1( , ) ( )l l m lm l m l lm W z Q z Q z † †= = µ =” µ = ” µ , равномерно сходящийся внутри E.Представим соотношение, указанное в теореме 4, в виде рядов. Получим, 1 , , 1 , 0 0 0 0( ) l ( ) l ( 1) ( ) l l l m l m l m l m l l l l dQ z Q z m Q z m Q z d † † † †- = = = µ - µ = - µ −µ ” ” ” ” .Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в левой и правой частяхэтого равенства, получимl,m 1( ) l,m ( ) ( 1) l,m 1( ) l,m ( )d Q d Q m Q mQ d d - µ - µ = - - µ − µ µ µ , l = m - 1, m - 2,; m = 0, 1, (--)Подсчитаем значения Ql,m(0). Так как 11 2, 20 0(0) (0, )1ml m j l m m l j Q z W z z z z † - †- = = = − ” ” , то Ql,m(0) = 0 при -----l

Скачать электронную версию публикации