Hypercomplexes of two-dimensional planes in projective space P₆ .pdf 1. Основные соответствия гиперкомплекса АзМножество всех двумерных плоскостей L в проективном пространстве P6 зависит от 12 параметров.В данной работе рассматриваются 11-параметрические семейства L(11), т. е. гиперкомплексы K3. Работа уточняет и развивает общий подход к классификации гиперкомплексов K3, изложенный в работе [1] и относящийся только к первой окрестности [2].Присоединим к гиперкомплексу K3 подвижной репер {AI}, деривационные формулы которого имеют вид dAI = cjAj , где формы Пфаффа со/ удовлетворяют уравнениям структуры Dcoj = юКЛюК проективного пространства, а также условию ю° +... + юпп = 0 (I, J,K = 0,1,...,6). Пусть {Г1} - тангенциальный репер, двойственный данному, т.е. Г1 =(-1)1 (A0,...AI-1,AIA6), а его деривационные формулы имеют вид d ГJ = -coj Г1.Считая, что плоскость L = (A0, A1, A2) описывает гиперкомплекс K3, зададим его уравнения в видеЛ'рюр = 0, i,ij, j' = 0,1,2; p,pq,q' = 36 ,(11где юр - главные формы, обращение в нуль которых фиксирует плоскость L нагиперкомплекс K3, а коэффициенты Лр суть функции главных параметров, атакже оставшихся вторичных параметров.Зафиксируем некоторую прямую L1 в плоскости L, и зададим её в видеL : aiX = 0. Будем искать торсы L(Y1), проходящие через L, принадлежащие гиперкомплексу K3 и имеющие данную прямую L1 своей характеристикой, т. е. L = ChL (х¥1).Пусть X = xiAi - произвольная точка прямой L1, т. е. aix' = 0. Для неё вдоль такого торса L(Y1) имеем dX е L . Так как dX = d(xiAi) = dxiAi + xi (cjAj +cpAp), то получим системуropxi = 0.(2) Прямая L1 станет характеристикой некоторого торса L(4'-i), если все уравнения этой системы будут пропорциональны её уравнению aix1 = 0. Поэтому совокупность искомых торсов L(4,1) определится системойrop = ai 6Р ,(3)где 6 - некоторые главные формы, а формы rop удовлетворяют уравнению (1).С другой стороны, пусть l3 = (L, xpAp) - произвольная фиксированная 3-плоскость, проходящая через L.Будем искать торсы L(4'1), проходящие через L, принадлежащие гиперкомплексу K3 и имеющие данную 3-плоскость своим касательным подпространством,т.е. l3 = TL (XV1). Пусть далее Г = apГp - произвольная гиперплоскость, проходящая через l3 = (L, xpAp), т. е. apxp = 0. Для неё вдоль такого торса L(4'1) имеем dГз L . Так как dГ = d(apГp) = dapГp - ap (ropГ1 + copTq), то получим системуropap = 0.(4)3-плоскость l3 станет касательным подпространством некоторого торса L(4'1), если все уравнения этой системы будут пропорциональны её уравнению apxp = 0. Поэтому совокупность искомых торсов L(4'1) определится системойrop = xp6i, (5)где 6i - некоторые главные формы, а формы rop удовлетворяют уравнению (1).Из (3) и (5) следует, что совокупность всех торсов L(4'1) гиперкомплекса K3 задается уравнениямиRang | |cop i = 1 .(6)Условия (6) применительно к системам (3) и (5) означают, что существует такая главная форма 9, чтоrop = axxp6 ,(7)Так как формы rop удовлетворяют уравнению (1), то после внесения данных равенств (7) в уравнение (1) и сокращения на 9 мы получим равенствоAipa1xp = 0.(8)Итак, прямая L1 : aix1 = 0 и 3-плоскость l3 = (L, xpAp) тогда и только тогда являются соответственно характеристикой L = ChL (х¥1) и касательным подпространством l3 = TL (х¥1) некоторого торса L(Y1), когда выполнено равенство (8).Найдем многомерные аналоги основной корреляции [1] на луче линейчатого комплекса в P3.Зафиксируем в L прямую L1 : aix1 = 0 и будем перебирать торсы L(Y1) гиперкомплекса K3, проходящие через L и имеющие характеристику Ц = ChL (х¥1). Ясно, что при фиксированных коэффициентах a0:a1:a2, задающих прямую L1, уравнение (8) будет задавать линейную оболочку касательных подпространств TL(Y1) всех таких торсов L(Y1). При этом все такие торсы L(Y1) образуют пфаффово подмногообразие L (*Р3), для которого L = ChL (*Р3).* iОпределение. Прямые L1 : aix = 0 плоскости L, для которыхAipal = 0,(9)будем называть критическими, а остальные прямые L1 - регулярными.Итак, на множестве регулярных прямых L1 плоскости L гиперкомплекса K3 определено отображение ф1 : L н»Г. Формулы этого отображения с учётом (8) можно записать в видеa3 : a4 : a5 : a6 = A'3ai : A)ai : A5ai : A!6ai .(10)Таким образом, мы получили основное локальное соответствие ф1 : L Г = TL (*F3) гиперкомплекса K3, где ChL (*Р3) = L1. Аналогично определяется второе отображение ф2.Зафиксируем 3-плоскость l3 = (L,xpAp), инцидентную элементу L гиперкомплекса K3, и будем перебирать все торсы L(Y1) гиперкомплекса K3, проходящие через L и имеющие l3 касательным подпространством, т.е. l3 = TL(y1). Ясно, чтодля фиксированных x3:x4:x5:x6, задающих l3, уравнение (8) будет задавать пересечение прямых - характеристик таких торсов L(Y1).Определение. 3-плоскости l* = (L, xpAp), для которыхAipxp= 0 ,(1будем называть критическими, а остальные 3-плоскости l3 - регулярными.Итак, на множестве регулярных 3-плоскостей определено отображение ф2 : l3 \-> X . Если l3 = (L, xpAp), то его формулы с учетом (8) можно записать в видеx0: x : x2 =Apxp : Apxp : A2pxp .(12)Локальные отображения ф1 и ф2 наз^1ваются основными соответствиями гиперкомплекса K3. Это аналоги основной корреляции на луче линейчатого комплекса в P3.Рассмотрим теперь пересечение гиперплоскостейдля всех регулярныхпрямых L1 плоскости L и назовем его внешней ассоциированной плоскостью l для плоскости L. Она в силу (10) задается системойAipxp= 0 ,которая совпадает с (11).Рассмотрим также линейную оболочку точек ф2(13) для всех регулярных 3-плоскостей l3 и назовем её внутренней ассоциированной (прямой или точкой) для плоскости L. Она в тангенциальных координатах a0:a1:a2 плоскости L задается в силу (12) системойAipai= 0 ,которая совпадает с (9).2. Классификация гиперкомплексов K3Так как основные соответствия ф1 и ф2 гиперкомплекса K3 полностью определяются матрицей || A'p ||, то обозначим Rang || A'p || = r и назовем K3 гиперкомплексом ранга r, r = 3,2,1, и обозначим его через rK3.Таким образом, все гиперкомплексы делятся на три класса.1..Rang 11Ap i = 3 . Это гиперкомплекс3 K3 общего вида. В этом случае система (9) имеет лишь тривиальное решение, то есть все прямые L1 плоскости L регулярны, а через плоскость L проходит критическая 3-плоскость l* = (L,x*pAp), ибо*3 *4 *5 *6система (11) имеет нетривиальное решение xПокажем, что критическая 3-плоскость l3 является внешней ассоциированной l3 для плоскости L.Действительно, в этом случае из (10) и (11) получаем, что apx*p = (A'pat) x*p = (A'px*p )at = 0. Это и означает, что критическая 3-плоскостьl* и гиперплоскость ф1 (Ц) для любой регулярной прямой L1 инцидентны.2..Rang 11Агр i = 2 . Для гиперкомплекса 2 K3 в плоскости L имеется одна критическая прямая L1*, поскольку система (9) имеет нетривиальное решение a* : a* : a*, а все критические 3-плоскости l* образуют пучок с осью Lв 4-плоскости l4 , определяемой системой (11). Покажем, что гиперплоскость ф^О для любой регулярной прямой L проходит через указанную 4-плос-кость l4 . Действительно, для регулярной прямой L1 :a x = 0 имеем А3 at : A4at : A5 at : А6 at Ф 0:0:0:0, а поэтому в силу (10) и (11) заключаем, что ф1(L1) Zd 14, так как apxp = (A1 pat)xp = (Apxp )at = 0 at = 0 . Таким образом, указанная 4-плоскость является внешней ассоциированной плоскостью l4 .С другой стороны, точка ф3(13) для любой регулярной 3-плоскости лежит на*критической прямой L1 . Действительно, в силу (12) и (9) получаем a*x1 = a*(A1pap) = (A1pa*)ap = 0 ap = 0 . Это означает, что критическая прямая L1 и является внутренней ассоциированной.3.Rang| |Ap|| = 1. В этом случае для коэффициентов уравнения (1) гиперком-плекса1 K3 справедливо разложениеAp = apx\(13) Рассмотрим точку X * = x* A и гиперплоскость Г* = ap ГP , где x* и ap взятыиз (13).Покажем, что произвольная прямая L1 плоскости L из пучка с центром X* является критической. Действительно, в силу (13) имеем A'pai = (a*px*')ai == ap (ax*'). Если теперь atx*' = 0, то есть прямая L1 проходит через точку X *, тогда и = 0 . Это и означает, что прямая L1 - критическая. Покажем также,что любая 3-плоскость l3, инцидентная плоскости L и гиперплоскости Г* , является критической. В силу (13) имеем A'pxp = (apx*)xp = x*'(a*pxp). Если же теперьa*pxp = 0, то есть 3-плоскость l3 лежит в Г*, то отсюда заключаем, что A'pxp = 0 .Следовательно, 3-плоскость l3 - критическая.Кроме того, отметим важнейшие геометрические характеристики данногокласса: 1) все гиперплоскостидля регулярных прямых L1, для которыхatx*' Ф 0, совпадают с Г*; 2) все точки ф2(13) для регулярных 3-плоскостей l3, для которых a*xp Ф 0, совпадают с X*.Действительно, в силу (10) и (13) имеем ap = A1pa1 = (a*px*')a1 = (atx*')a*p = ap , то есть ф1(L) = Г*. Аналогично в силу (12) и (13) имеем x1 = A'pxp = (a*px*')xp = = (a*pxp)x* = x* , то есть ф3 (l3), что и требовалось доказать.**Итак, точка X и гиперплоскость Г являются внутренними и внешними ассоциированными для плоскости L гиперкомплекса 1K3, который называют специальным, или допустимым.3. Канонические уравнения классов гиперкомплексов K31. Гиперкомплекс 3 K3. Это гиперкомплекс общего вида. Он характеризуетсяналичием критической 3-плоскости l3, проходящей через элемент L. Заметим, чтоl* является одновременно внешней ассоциированной 3-плоскостью, т. е. l* = l3.Проведем частичную канонизацию репера, полагая l3* = (L,A6), что в силу (9) приведет к равенствамА6 = 0.Обозначим координатные прямые плоскости L, задаваемые уравнениями x = 0 , через L, и продолжим канонизацию. Так как все прямые L1 плоскости Lрегулярны, то положим ф1(= ГГ+3. Эти требования в силу (10) приводят к равенствамЛ4 =А° =Л3 =Л5 =А32 =А2 = 0. Заметим, что при этом должно быть выполнено условие Rang 11Ap || = 3, равносильное тому, что А°° A4 А2 Ф 0.Осталось провести нормировку вершин репера. Для этого потребуем, чтобы регулярной прямой, задаваемой в плоскости L уравнением x0 + x1 + x2 = 0, соответствием ф1 была сопоставлена гиперплоскость, задаваемая уравнением x3 + x4 + x5 = 0 , что в силу (10) приводит к равенствамА0 =Л4 =А2.Итак, уравнение гиперкомплекса 3 K3 общего вида приведено к каноническому видую0 + ю4 + ю>2 = 0, (14)а локальные основные соответствия ф1 и ф2, задаваемые формулами (10) и (12), приняли простейший видa3 : a4 : a5 : a6 = a0 : a1 : a2 : 0 ;(15) x0 : x1 : x2 = x3 : x4 : x5. (16) 2. Гиперкомплекс 2 K3. Он характеризуется тем, что с плоскостью L инвариантно связываются внешняя ассоциированная 4-плоскость 14 и внутренняя ассоциированная прямая L1 , которая является также критической.Проведем частичную канонизацию репера, требуя, чтобы l4 = (L,A5,A6) и L = (A0, A1). В силу (11) и (9) требования приводят соответственно к равенствамЛ5 =А6 = 0 , Ap = 0,A3 A4 A3 A4при этом должно быть выполнено условие Rang | Ap = 2 , равносильное тому, что Ф 0 . Теперь отображение ф1 будет определяться формуламиa3 : a4 : a5 : a6 = (Л°a0 +A3a1): (A4a0 + A4a1): 0 : 0.Потребуем также, чтобы регулярным прямым (A1,A2) и (A0,A2) соответствоваликоординатные гиперплоскости, а именно, ф1 ((A1, A2)) = Г3 и ф1 ((A, A2)) = Г4, что приведет к соотношениямА°° =Л3 = 0, А°° A4 Ф 0 .Завершим упрощение уравнения гиперкомплекса 2 K3 нормировкой вершин, требуя, чтобы регулярной прямой, задаваемой в плоскости L уравнением x0+x1+x2=0 , соответствием ф1 была сопоставлена гиперплоскость, задаваемая уравнением x3+x4=0 , что с учетом проведенных фиксаций приводит к равенству=л4.Итак, уравнение гиперкомплекса 2 K3 приведено к каноническому видую3, + ю4 = 0,(17)а локальные основные соответствия ф1 и ф2, задаваемые формулами (10) и (12), приняли простейший видa3 : a4 : a5 : a6 = a0 : a1 : 0 : 0 ; (18)x0:x1:x2= x3:x4:0. (19)3. Гиперкомплекс 2 K3 . Это специальный гиперкомплекс. Он характеризуется тем, что с плоскостью L инвариантно связываются внешняя ассоциированная**гиперплоскость Г и внутренняя ассоциированная точка X .Проведем частичную канонизацию репера, полагая Г* =Г3 и X* = Л0. Это в силу (13) приводит к соотношениямл1р =лp = о, л4 =л0 =л6 = о, л0 ф 0.Итак, уравнение специального гиперкомплекса 1K3 приведено к каноническому видую0 = 0, (20)а локальные основные соответствия ф1 и ф2, задаваемые формулами (10) и (12), приняли простейший видa3 : a4 : a5 : a6 = 1:0:0:0;(21) х0 : x1 : x2 = 1:0:0 .(2)4. Вторые дифференциальные окрестности выделенных классов гиперкомплексов АзДальнейшее изучение гиперкомплексов K3 связано со второй дифференциальной окрестностью данного класса. Найдем продолжения уравнения каждого класса.1. Гиперкомплекс 3K3. Обозначим базисные формы 6а (а,а'= 1,2,...,11) гиперкомплекса 3 K3 следующим образом:е1 =ю4, е2 =ю0, е3 = ю3, е4 = d>5, е5 = ю2, е6 =(,4, е7 = ю0, е8 = Ю16, е9 = ю2, е10 = ю4, е11 = ю52.Продифференцируем внешним образом уравнение (14) с помощью уравнений структуры. С учетом самого уравнения и обозначения базисных форм 9а получим(ю° -ю4) ле1 + (ю2 -ю5) ле2 + (ю0 -ю4.) ле3 + (ю2 -ю4,) ле4 +++((i>2 -roj;) ле5 +(ю2 -ю4;) ле6 -юц ле7 -ю4; ле8 -юц ле9 +(ю1 -ю0 + -ю4[) ле10 +(ю2-ю|0 +ю33 -ю4!) ле11 = 0.Применение леммы Картана дает следующие главные формы:Ю° - ю4 = Л1аеа, ю2 -ю3 = Л2аеа, ю0 -ю^ = Л3аеа,ю2 - »4 = Л4аеа, ю2 -ю3 = Л5аеа, ю2 -ю^ = Л6аеа, (23)-ю36=Л7аеа, -ю46=Л8аеа, -ю56=Л9аеа,ю0 +ю1 -ю3-ю4 = Люаеа, ю0 + Ю2. -ю33 -га;5 = ЛПае5 +a^)l4 + (-e9A3 + e3A4, A1, A2, A5, A6) + +(A0,64A3 + e9A4, A2, A5, A;) + (A,, A1, 61 A3 + e2A4, A5, A) --(A0, Aj, A2, B5ßeßA + B6ße%, A6) - (A, Aj, A2, A5, B7ßeßA + В^Ч).Отсюда следует, что прямая L1 = (Ao, A1) описывает 7-семейство, ибо её положение определяется базисными формами 93,..., 99.Мы видим, что в дифференциале dl4 базисные формы 95, 96, 97 и 99 присутствуют в двух последних слагаемых. Это, с учетом того, что базисный минор симметрической матрицы всегда главный, означает, что из симметрической матрицы коэффициентов в (24) можно выделить симметрическую квадратную подматрицу четвертого порядкаранг которой может принимать значения R = 4,3,2,1,0. В зависимости от этого ранга и осуществится дальнейшая классификация гиперкомплексов2 K3.3. Гиперкомплекс 1K3. Для удобства обозначим базисные формы гиперкомплекса 1K3 в видеe1 =ю4, e2 =ю0, e3 =ю0, e4 = ю3, e5 =ю2, e6 =ю4, e7 =ю5, e8 =Ю16, e9 e10 =^5, e11 =ю2.Продифференцируем внешним образом уравнение (20) с помощью уравнений структуры. С учетом самого уравнения и обозначения базисных форм 9а получим-ю4 Ae1 -0)3 Ae2 -юц Ae3 +ю0 Ae4 +Ю;2 Ae5 = o.Применение леммы Картана дает следующие главные формы-ю4 = c1yey, -ю3 = c2yey, -ю6 = c3yey, ю0 = c4yey, ю2 = c5yey, (25)где С '= Cy'y (y,y'= 1,2,...,5) - определяющие геометрию второй дифференциальной окрестности гиперкомплекса 1Аг3.Этот гиперкомплекс характеризуется тем, что с его элементом L инвариантно связаны внутренняя ассоциированная точка X = A0 , которая является центромпучка критических прямых L*1 , а также внешняя ассоциированная гиперплоскостьГ* = Г3, содержащая все критические 3-плоскостиl3*.Для них с учетом выбора базисных форм 9Y и равенств (25) имеемd40 = ю0 A0 +с4 yey a1 +c5yey a2 +e1 a4 +e2 a5 +e3 a6 , d г3 = -ю3г3 - e4r1 - e5r2 + c1yeyr4+c2yeyr5 + c3yeyr6.Мы видим, что формы 94 и 95 присутствуют в дифференциале dA0 лишь в первых двух слагаемых. Это означает, что в зависимости от ранга R1 симметрическойматрицы второго порядка С[4,5]54 55 поверхность (R1 = 2,1,0).С другой стороны, формы 91, 92 и 93 содержатся в дифференциале d Г3 лишь в последних трех слагаемых. Это означает, что в зависимости от ранга R2 симметрической матрицы третьего порядкаC12C13C[1,2,3] =_C31C32C33 _гиперплоскость Г3 описывает соответствующее семейство Г3 (2 + R2), гдеR2 = 3,2,1,0.Таким образом, в зависимости от значений рангов (R1, R2) все специальные комплексы1K3 делятся во второй дифференциальной окрестности на 12 классов.Структура специальных (допустимых) гиперкомплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве P5 описана в работе [3].

Скачать электронную версию публикации