A criterion of an infinitely narrow field .pdf Основные определения теории двумерно упорядоченных полейОсновные определения, относящиеся к теории двумерно упорядоченных полей, изложены в [1]. Приведем те из них, которые часто встречаются в тексте статьи.1..Пусть M - произвольное непустое множество. Зададим функцию Z: M 3- {0, 1, -1}. Функция Z называется функцией двумерного порядка, еслиУАсМ, |А| < 5существует инъекция ф: А - R2, такая, чтоУх, у, z е А Z(x, y, z) = П2(ф(х), ф(у), ф00),где г|2 - функция стандартной ориентации плоскости.2..Поле K, на котором задан двумерный порядок, совместимый с алгебраической структурой поля, называется двумерно упорядоченным полем , или 2-упорядоченным полем.3..Базой K0 двумерно упорядоченного поля K называется множествоK0 = {х е K| Z(0, 1, х) = 0}.База K0 является линейно упорядоченным полем.4..Верхним конусом K поля K называется множествоK = {х е K| Z(0, 1, х) > 0}.Задание верхнего конуса K однозначно определяет двумерный порядок в поле K. Поэтому далее 2-упорядоченное поле будем обозначать называется множествоKK = {х е K| (х е K", х2 е K\ K0) v (х е -K", х2 е -K"\ K0) v х е K0+}.7..В поле называется бесконечно узким, если каждый его элемент либо бесконечно близок к базе K0, либо является элементом базы.Конструкции бесконечно узких двумерно упорядоченных полейВ [2] описана конструкция бесконечно узкого поля. Пусть K0 - линейно упорядоченное поле, элемент а - трансцендентен над K0. Тогда в линейно упорядоченном поле K1 = ^(а) множествоK1M = {f (a) е K(a)| f '(a) > 0} является верхним конусом двумерного порядка, относительно которого поле K1 является бесконечно узким полем.Далее, эта конструкция была обобщена. Пусть B - базис трансцендентноститопологического замыкания K0 над K0. На K0 единственным образом продолжается линейный порядок с K0. Рассмотрим поле K =K0(B). Элементами поля K являются дробно-рациональные функции f(ab an) с коэффициентами из поляK0.Теорема. МножествоK = {f (a1, an) е K | df (ab an) > 0},гдеdf (a1,...,an) = ^- 0 элемент х2е K"\K0; в случае х < 0 элемент х2е -K"\ K0. Ситуация аналогична, если х е -K"\ K0.Следовательно, K u -K = K\{0}.Необходимость доказана.Достаточность. Пусть для правого конуса K поля K выполнены условия (1) - (4). Покажем, что поле K в этом случае является бесконечно узким.Пусть х е K. Если х е K0, то утверждение доказано. Рассмотрим случай, когда х е K"\ K0. Докажем, чтоУп, Уг е K0, г < a, (a - г)" е K" \K0. Имеем Уг е K0, г < a, элемент (a - г) е (K"n Kr) \K0.Так как имеет место условие (2), то для каждого натурального к элемент (a - г)к е Kr. По определению правого конуса для n = 2k элемент (a - г)" е K" \K0. Пусть n = 2k + 1. Тогда применим лемму 3.3.6. [1] (см. выше). Положим в ус-(\2к+2/\2к/\2к+1 m «a - г) , y = (a - г) , z = (a - г) . Тогда, действительно,ху- = (a - г)2 е K"\K0, xz-l = (a - г)е K"\K0, zy'1 = (a - г)е!С". Значит, z = (a - г)2к+1 е K"\K0. Таким образом, доказано, что Уп, Уг е K0, г < a, (a - r)n е K" \K0.Случай, когда х е -K"\ K0, рассматривается аналогично. Значит, K - бесконечно узкое поле. Теорема доказана.

Скачать электронную версию публикации