On a family of univalent functions .pdf через S класс голоморфных однолистных отображений f(z) круга E = {zlC; |z| < 1}, удовлетворяющих условиям: f (0) = 0, f '(0) = 1, и через SM подкласс таких отображений, удовлетворяющих дополнительному условию: | f(z) | < M, M > 1.Теорема. При фиксированном т, 0 < т < +да и ере [0, 2п], функция,-2кр г,21+ XC-V 1 -2iCk2 ImX^т z, Ф)=гдеХ = Х(т, ф) = cos ф-e~- + i-J 1 - cos2 ф- е~2т , (1)CC ( ) 2 z - cos ф -T (1 - е,ф z )2осуществляет однолистное конформное отображение круга E в единичный круг {^еС; |состоянной, то по известной теореме об однолистных функциях предельной функции для семейства однолистных отображений [2, С.10, теорема 1] функцияч z - cos ф-z2(1 - е-ф z)однолистна в E и принадлежит классу S. Ее можно представить в видеf (z ф) = 1 ] е z3 d20 (1 - е-фz)3показывающем, что она дается формулой Кристоффеля - Шварца. Легко видеть,что f(z, ф) отображает круг E на плоскость w = u + iv, разрезанную по лучу, ле-жащему на прямой v = c tg2ф- u +1-. Он начинается в точке f | eiф, - j = -.4sinфV 2 / 4- cos фЕго продолжение пересекает ось абсцисс в точке2cos2ф Следствие 6. Функцияf (z,ф) = z Cosф-f , Уфе[0,2-], z е E,(1 - е-ф z )2осуществляет однолистное конформное отображение круга E на плоскостьw = u + iv с разрезом вдоль прямой v = c tg2ф- u +1-, начинающейся в точкеf Г -ф - Л iй б"'s фf I ev,- \ =- и пересекающей ось абсцисс в точке2 / 4 2^2фПри изменении ф от - до нуля точка f (е-ф, ф) перемещается вверх от точкиf I е ф ,- \ =- до бесконечности (рис. 2); при ф = - - плоскость с разрезом вдольпрямой v12л/2~(рис. 3); при ф - да области f (E, ф) сходятся как к ядру отно-сительно точки w = 0 к полуплоскости f (E,0) = {w е C;Rew > - -1}.Рис. 3Г.М. Голузиным [3] и И.Е. Базилевичем [4] была получена точная оценка arg f'z (z, ф) на классе S при фиксированном z е E:|arg f'(z )Н2- + log-4arcsin|z|, при I Z -j=,2без указания экстремальных функций.2z - cos ф* zПокажем, что f (z, ф) =2 является экстремальной в этой задаче при(1 - е-ф z )21условии, что |z|

Скачать электронную версию публикации