The Navier solution for partly loaded rectangular plate .pdf Исследуемое решение получено Навье представлением неизвестного прогиба повторными синусными тригонометрическими рядами (ТР) и разложением нагрузки в повторный ряд Фурье. Путем подстановки таковых в уравнение равновесия Софи Жермен - Лагранжа [1] и формального повторного почленного дифференцирования по обоим символам суммирования ТР прогиба при применении бигармонического оператора в уравнении равновесия Навье приходит к уравнению, содержащему четыре повторных ТР. Далее Навье приводит сумму названных повторных ТР к единому повторному ТР с членом в виде алгебраической суммы членов предыдущих рядов и приравниванием коэффициентов полученного ряда нулю конечным числом корректных алгебраических действий определяет коэффициенты ТР прогиба.В дальнейшем, однако, предложенное Навье решение требует строгого математического обоснования всех формально проведенных при его получении математических операций. Это операции четырехкратного почленного дифференцирования по обоим символам суммирования и операция обьединения четырех полученных таким образом повторных ТР в единый повторный ТР. Отмеченные действия как Навье, так и последующие поколения математиков и механиков средствами из классической теории функций оставляли необоснованными. Впервые попытка их обоснования в рамках классической теории функций принадлежит автору [2], где, однако, использовался искусственный подход.Кроме того, как показывают предшествующие исследования, особые требования предьявляются к вычислительной способности того или иного решения. Известно, что при нагрузках, распределенных по значительной площади нагружения несущей поверхности тонкостенного элемента конструкции, решения для изгибающих моментов и перерезывающих сил в повторных ТР приводят к успешным вычислениям. Когда же нагрузка локально-распределенная или, тем более, сосредоточенная, возникает явление потери точности вычислений, обусловленное медленной сходимостью рядов решений. Значительный вклад в построение решений для локально-нагруженных тонкостенных элементов конструкций в форме, доступной для эффективных вычислений, внесли А.Н. Крылов, С.П. Тимошенко, В.З. Власов, В.В. Новожилов, В.В. Васильев, В.М. Даревский, И.Ф. Образцов, Б.В. Нерубайло, В.П. Ольшанский, Э.М. Григолюк, В.М. Толкачев, Б.К. Михайлов, С. Лукасевич и др.Обсуждая вычислительную способность решения Навье, предварительно отметим, что в [1] при сосредоточенной нагрузке относительно решения для данной пластины сообщается, что «двойные ряды этого решения непригодны для получения численных результатов, в особенности, если в них входят производные высших порядков от прогиба». В работе же [3], вообще говоря, отмечается, что «в случае сосредоточенных нагрузок приходится удерживать большое число членов, что повышает трудоемкость вычислений, не обеспечивая достаточной точности результатов. Далее, автор цитируемой книги, в которой обобщены известные результаты в области пластин и оболочек при локаьных нагрузках, приходит к выводу: «Поэтому в случае сосредоточенных нагрузок решений в виде рядов следует избегать. Здесь желательны решения в замкнутом виде».Таким образом, разработка методики обоснования решений в повторных ТР и их преобразования к форме, доступной для вычислений, представляется актуальной проблемой.В настоящей работе мы приводим докательство теоремы о дифференцировании сумм медленно сходящихся ТР и их почленном дифференцировании [4], которая приводит, наряду с результатами в [5, 6], к методике исследования средствами из классической теории функций повторных ТР на сходимость, непрерывность, ускорение сходимости, изменение порядка суммирования и их почленное диференцирование под обоими символами суммирования. Дается приложение методики к обоснованию названного решения Навье, а также к высокоэффективному улучшению его вычислительной способности. Приводится численный пример, показывающий, что вычисление перерезывающих сил при переходе к локально-распределенной нагрузке без ускорения сходимости может привести к потере точности вычислений. Применение же ускорения сходимости сохраняет точность вычислений в рамках точности классической теории пластин.1. Некоторые вспомогательные математические результаты(а) Известное неравенство [7]ap p~l + bqq'1 > ab, a,b > 0, p,q> 1, /Г1 + q'1 = 1, введением новых независимых переменных а, ß и параметра у зависимостямиa=fpO? , b = q[q~ßß2~, p = 2у, a> 0, ß> 0,с применением предельных переходов при у - 0, у - 2 представляется в обобщенном виде(1.1)(b) Теорема. Пусть на отрезке А с (- да, да) \ {±2кк, к = 0, 1,...} задан косинусный ТРV am cos mx, x еД , (1.2)m=1с коэффициентами, удовлетворяющими условиюlim am = 0. (1.3)Пусть также известно, что тригонометрический ряд, полученный применением к ТР (1.2) преобразования Абеля, на отрезке А сходится и, кроме того, почленно дифференцируется с конечной производной. Тогда производная от суммы ТР (1.2) на отрезке А существует, конечна и вычисляется его формальным почленным дифференцированием с последующим формальным повторным применением преобразования Абеля.Если же в принятых предположениях выполняется также условиеlim mam = 0, (1.4)m->сото ТР (1.2) почленно дифференцируется.Доказательство. Заметим прежде, что исходный ТР удовлетворяет необходимым и достаточным условиям сходимости ТР Салема [8], откуда следует его сходимость на А. Применяя к ТР (1.2) преобразование Абеля и дифференцируя полученное выражение как дробь, при этом пользуясь, по условию, почленной дифференцируемостью ТР в числителе, получаемdxm=1 "'dx 2sin0,5xV=1' 4sin20,5xCOCOsin0,5xVAv (2v- 1)cos(v-0,5)x- cos0,5xVAv sin(v-0,5)xv=1v=1(1.5)Zam cos mx = -1V Av sin( v-0,5) x= 1гдеA1 =-a1, Av= av-1 -av , v = 2,3,... (1.6)Отметим, что в (1.5) ТР в числителе сходятся, а заменатель - отличен от нуля. Значит, производная на А существует и конечна.Вводя теперь синусы и косинусы под знаки суммирования и применяя формулы преобразования произведения синусов и косинусов в сумму, а также обьеди-няя полученные сходящиеся ряды в единый сходящийся ряд, приходим к выражениюd ад1 ад- v am cos mx =v Av [ (v -1) sin vx - v sin( v -1) x]. (1.7)dxm=14sin20.5 x v=1Далее, переходя в (1.7) к частичной сумме под знаком предельного перехода и выполняя с конечным числом слагаемых приведение подобных членов, получаемd A N , [(v-1) sinvx-vsin(v-1)x]- V am cos mx = lim > Av-- =limdxm=1 mn-» v=1 v(4 sin2 0,5 x)14sin2 0,5 xN-V Av (v -1) sin vx-V Avv sin( v -1);v=1 v=1lim4siri 0.5xN-S Av (v -1) sir vx - S Av+1 (v +1) sir vxN-1limN --оAN (N-1) sirNx-2A2 sirx + S [Av (v-1)-Av+1 (v +1)]v=2sir v x.(1.8)Заметим теперь, что по условию почленно продифференцированный преобразованный ряд сходится на А. Поэтому в силу леммы Кантора - Гейне [9]lim AN(N-0,5) = 0,N --сооткудаlim AN (N -1) = lim [AN (N - 0,5) (1 - 0,5/(N - 0,5))] = 0 .(1.9)Следовательно, переходя в (1.8) к сумме пределов с учетом (1.9) и (1.6), приходим к доказательству первой части теоремыd_dxm=1cos mx (2 a1 - a2 ) sir x - ^ [ (v -1) av-1 - 2 v av +v=2(1.10)Возвращаясь ко второй части теоремы, заметим, что при выполнении дополнительного условия (1.4) формально почленно продифференцированный исходный ТР в (1.10) оказывается связанным с ТР справа тождественным повторным преобразованием Абеля, что следует из необходимых и достаточных условий сходимости ТР Салема [8]. Теорема доказана.2. О трехкратной почленной дифференцируемости решения НавьеИсследуется решение Навье для прогиба в задаче об изгибе прямоугольной изотропной шарнирно опертой по торцам пластины, нагруженной равномерным внешним давлением по прямоугольной площадке той же ориентации, что и план пластины, на непрерывную частную почленную дифференцируемость под обоими символами суммирования до трех раз.Названное решение в прямоугольнике пластины G =[0, a] х [0, b] записывается в виде [1]ооw (^ y) = SS Wmn sir Xmx sir V■nУ,m=1 n=1где Wmn = B0 sir 1m5 sirsir Xm A^/2 sir Hn AV2 / (KVn (1Ir +)2),B0 = 16p(DabA^Ar,), 1m = mn /a,|an = n%/b, x, y e G. (2.1) С применением неравенства (1.1) имеемI ds sir1„x/öxs Ö1 sirL^y/öy'\ < B0Xm-1^n-V(12m )2

Скачать электронную версию публикации