Connection of divisible and reduced groups with homomorphicstability.pdf При изучении групп гомоморфизмов абелевых групп и исследовании вполнехарактеристических подгрупп интерес представляет следующий вопрос: в какихслучаях объединение (теоретико-множественное) гомоморфных образов группы Aв группе B является подгруппой группы B.Группа A называется гомоморфно устойчивой относительно группы B, еслиобъединение гомоморфных образов группы A в группе B является подгруппойгруппы B, то есть еслиHom( , )Imƒ Α B γ - подгруппа группы B.В [1] и [2] решен вопрос о гомоморфной устойчивости прямых сумм абелевыхгрупп, получено полное описание гомоморфно устойчивых вполне разложимых ижестких групп. Также исследована гомоморфная устойчивость произвольныхабелевых групп относительно прямых произведений. В [3] доказаны результаты огомоморфной устойчивости вполне транзитивных групп. В [4] исследована гомо-морфная устойчивость прямых произведений абелевых групп.В настоящей статье исследуется гомоморфная устойчивость делимых и реду-цированных групп, а также гомоморфная устойчивость относительно делимых иредуцированных групп. Рассматривается также гомоморфная устойчивость отно-сительно периодических групп. Везде далее в этой статье под группой будем по-нимать аддитивно записанную абелеву группу.Рассмотрим гомоморфную устойчивость относительно периодических групп.Обозначим через T(A) - периодическую часть группы A. Будем говорить, что A -группа с нулевой характеристикой, если выполняется одно из двух условий: 1) A- непериодическая группа и фактор-группа A/T(A) содержат хотя бы один элементнулевой характеристики; 2) A - периодическая группа.Теорема 1. Всякая группа с нулевой характеристикой гомоморфно устойчиваотносительно любой периодической группы.Доказательство. I. Пусть B - периодическая группа, A - непериодическаягруппа с нулевой характеристикой,Hom( , )ImA BHƒ=  α и h1, h2  H, h1 - h2  0.Рассмотрим в группе A/T(A) элемент a + T(A), имеющий характеристику(0,0,,0,). Обозначим через 〈a + T(A)〉∗ подгруппу, сервантно порожденную вгруппе A/T(A) элементом a + T(A). Так как ƒ(a + T(A)) = ( 0,0,,0,), то〈a + T(A)〉∗ = 〈a + T(A)〉. 〈a + T(A)〉 - бесконечная циклическая группа, и поэтомуСвязь делимых и редуцированных групп с гомоморфной устойчивостью 15существует ƒ  Hom(〈a + T(A)〉, 〈h1 - h2〉) такой, что ƒ(〈a + T(A)〉) = h1 - h2.〈h1 - h2〉 как ограниченная группа является алгебраически компактной группой.Так как алгебраически компактные группы сервантно инъективны, то существуетгомоморфизм ƒ группы A/T(A) в группу 〈h1 - h2〉, продолжающий гомоморфизм ƒ.ƒ можно рассматривать как гомоморфизм группы A/T(A) в группу B.Пусть ϕ - естественный эпиморфизм группы A на группу A/T(A) иƒ = ƒϕ. Имеем ƒ  Hom(A, B) и ( ) ( ) ( ) 1 2 γ a = β a +T(A) = β a +T(A) = h − h . Значит,h1 - h2  H. Следовательно, группа A гомоморфно устойчива относительногруппы B.II. Пусть A и B - периодические группы. Так как Hom( , ) Hom( , )p ppA B ≅Π A B ,где Ap, Bp - p-компоненты групп A и B соответственно, то, не умаляя общности,можно считать, что A и B - p-группы. Пусть( , )ImHom A BHƒ=  α , h1, h2  H иh1 - h2  0. Запишем группу A в виде A = D ⊕ C, где D - делимая часть группы A,C - редуцированная группа.а) Рассмотрим сначала случай, когда C - неограниченная группа. Известно,что неограниченная редуцированная p-группа имеет циклические прямые слагае-мые сколь угодно больших порядков [5, с.142]. Выберем в группе C циклическоепрямое слагаемое 〈c〉 такое, что o(c)≥o(h1 - h2). Имеем C = C1⊕〈c〉 и A = D⊕C1⊕〈c〉.Существует гомоморфизм ƒ группы 〈c〉 в группу 〈h1 - h2〉, такой, что ƒ(c) = h1 - h2.Пусть ƒ - группы A на прямое слагаемое 〈c〉 и ƒ = ƒƒ. Можно рассматривать ƒ какгомоморфизм группы A в группу B. Имеем ƒ(c) = h1- h2 и, значит, h1 - h2H.б) Пусть C - ограниченная группа и D = 0. Всякая ограниченная p-группа яв-ляется прямой суммой циклических p-групп [5, с.107]. Группу A (A = C) можнозаписать в виде A = 〈c〉 ⊕ A1, где o(c) = pm и pmA1 = 0 (то есть pm - наибольший поря-док циклических прямых слагаемых в разложении группы A). Так как гомоморфиз-мы не увеличивают порядок элемента, то o(h1-h2) ≤ pm, и поэтому o(c) ≥ o(h1-h2).Проведя рассуждения, аналогичные вышеприведенным (см. случай а)), получаем,что существует ƒ  Hom(A, B) такой, что ƒ(c) = h1 - h2.в) Пусть теперь C - ограниченная группа и D  0. Запишем группу B в видеB = D1 ⊕ C1, где D1 - делимая часть группы B, C1 - редуцированная группа. ЕслиD1 = 0, то Hom(A, B) = Hom(C, C1) и мы находимся в ситуации случая б).Пусть D1 0. Запишем элемент h1 - h2 в виде d1 + c1, где d1D1, c1C1. Выберемв группе D элемент d такой, что o(d) ≥ o(d1). Учитывая инъективность группы D1,получаем, что существует гомоморфизм ϕ1 группы D в группу D1 такой, чтоϕ1d = d1. Запишем группу C в виде C = 〈c〉 ⊕ C1, где o(c) = pm и pmC1 = 0. Имеемo(c) ≥ o(c1), и поэтому существует гомоморфизм ϕ2  Hom(C, C1) такой, чтоϕ2(c) = c1.Пусть ƒ1, ƒ2 - проекции группы A на прямые слагаемые D и C соответственно,и пусть ƒ = ϕ1ƒ1 + ϕ2ƒ2. Имеем ƒ  Hom(A, B) и ƒ______(d + c) = d1 + c1 = h1 - h2. Значит,h1 - h2H.Итак, любая периодическая группа A гомоморфно устойчива относительногруппы B.Следствие 2. Всякая периодическая группа гомоморфно устойчива относи-тельно любой группы.16 С.Я. Гриншпон, Т.А. ЕльцоваДоказательство. Пусть A - периодическая группа, B - произвольная группа.Для всякого гомоморфизма ƒHom(A, B) имеем Imƒ  T(B), где T(B) - периоди-ческая часть группы B, и поэтому ƒ можно рассматривать как гомоморфизм груп-пы A в периодическую группу T(B). Остается применить предыдущую теорему.Теперь рассмотрим гомоморфную устойчивость делимых групп. Справедливаследующая теорема.Теорема 3. Всякая делимая группа гомоморфно устойчива относительно лю-бой группы.Доказательство. Пусть A - делимая группа, B - произвольная группа.По теореме 23.1 [5, с.124] группа A есть следующая прямая сумма:( ) ( )( )0 pr A p r AA Q Z p ⎡ ⎤= ⊕ ⊕⊕⎢ ⊕ ⎥⎣ ⎦.Используя лемму 5 и теорему 1 из [2] получаем, что группа A гомоморфно ус-тойчива относительно любой группы.При рассмотрении гомоморфной устойчивости относительно делимых группполучаем такой результат.Теорема 4. Всякая абелева группа гомоморфно устойчива относительно лю-бой делимой группы.Доказательство. Пусть A - произвольная абелева группа, D - произвольнаяделимая группа.Если A - периодическая группа, то по следствию 2 группа A гомоморфно ус-тойчива относительно группы D.Пусть A - непериодическая группа. Тогда она является либо группой без кру-чения, либо смешанной.РассмотримHom( , )Imƒ A D ƒ . Обозначим это объединение через H, то естьHom( , )ImA DHƒ=  α .Рассмотрим вначале делимую группу D без кручения.Пусть h1, h2  H, h1  h2. Тогда существуют гомоморфизмы ƒ1, ƒ2 группы A вгруппу D и элементы a1, a2 группы A, такие, что h1 = ƒ1a1, h2 = ƒ2a2. Рассмотримразность h1 - h2. Обозначим ее через h, то есть пусть h1 - h2 = h, h  0. Имеемh  D. Так как D - группа без кручения, то o(h) = . В группе A существует эле-мент a, такой, что его порядок также равен бесконечности, то есть o(a) = . Рас-смотрим циклическую группу 〈a〉, порожденную элементом a, и гомоморфизмƒ:〈a〉  D, такой, что Im〈a〉 = 〈h〉 и ƒ(a) = h. По теореме Бэра [5, с. 119, теоре-ма 21.1] группа D - инъективная, и, следовательно, существует гомоморфизмƒ: A  D, делающий следующую диаграмму коммутативной.ia AD⎯⎯→↓ ξ η ,где i - естественное вложение группы 〈a〉 в группу A и i(a) = a. Тогда имеем, с од-ной стороны, ƒ i(a) = ƒ(a) = h, с другой - ƒ i(a) = ƒ(i(a)) = ƒ(a). Таким образом,существуют гомоморфизм ƒ группы A в группу D и элемент a группы A, такие,Связь делимых и редуцированных групп с гомоморфной устойчивостью 17что h1 - h2 = h = ƒ a  H. Следовательно, группа A гомоморфно устойчива относи-тельно группы D.Пусть теперь группа D не является группой без кручения, то есть она либо пе-риодическая, либо смешанная.Пусть h1, h2  H, h1  h2. Тогда существуют гомоморфизмы ƒ1, ƒ2 группы A вгруппу D и элементы a1, a2 группы A, такие, что h1 = ƒ1a1, h2 = ƒ2a2. Пустьh = h1 - h2, h  0.Пусть a ненулевой элемент группы A бесконечного порядка. Рассмотрим го-моморфизм ƒ группы 〈a〉 в группу 〈h〉, такой, что ƒ a = h. Тогда гомоморфизм ƒможно рассматривать как гомоморфизм группы 〈a〉 в группу D. Существует гомо-морфизм ƒ: A  D, такой, что следующая диаграмма коммутативна:ia AD⎯⎯→↓ γ η .Значит, ƒ a = ƒ a = h, то есть h  Im ƒ и поэтому группа A гомоморфно устой-чива относительно группы D.При рассмотрении гомоморфной устойчивости относительно редуцированныхгрупп получаем следующий результат.Предложение 5. Если группа A гомоморфно устойчива относительно группыB, то группа A гомоморфно устойчива относительно редуцированной части груп-пы B.Доказательство. Пусть группа A гомоморфно устойчива относительно груп-пы B. Группа B представима в виде прямой суммы своей делимой части D и реду-цированной части R: B = D ⊕ R. Используя теорему 2 из [2], получаем, что группаA гомоморфно устойчива относительно редуцированной части группы B.Для групп без кручения справедлива теорема.Теорема 6. Группа без кручения A гомоморфно устойчива относительно груп-пы B тогда и только тогда, когда группа A гомоморфно устойчива относительноредуцированной части группы B.Доказательство. Необходимость следует из предложения 5. Докажем доста-точность.Пусть A и B - произвольные группы. Имеем B = D ⊕ R, где D - делимая частьгруппы B, R - ее редуцированная часть. Пусть группа A гомоморфно устойчиваотносительно редуцированной части группы B.Возьмем элементы c и d из объединенияHom( , )Imƒ A B α . Тогда существуютгомоморфизмы ƒ и ƒ группы A в группу B и элементы a и b группы A, такие, чтоc = ƒa, d = ƒb.Пусть ƒ1, ƒ2 - проекции группы B на прямые слагаемые R и D соответственно.Тогда ƒ1ƒ, ƒ1ƒ есть гомоморфизмы группы A в группу R - редуцированную частьгруппы B, а ƒ2ƒ, ƒ2ƒ - гомоморфизмы группы A в группу D - делимую частьгруппы B. Тогда c = ƒa = ƒ1ƒa + ƒ2ƒa, d = ƒb = ƒ1ƒb + ƒ2ƒb. Следовательно,c - d = (ƒ1ƒa - ƒ1ƒb) + (ƒ2ƒa - ƒ2ƒb). Так как ƒ1ƒa - ƒ1ƒ b есть элемент группы R, агруппа A гомоморфно устойчива относительно группы R, то существуют гомо-морфизм ƒ группы A в группу R и элемент g группы A, такие, что ƒ1ƒa - ƒ1ƒb = ƒg18 С.Я. Гриншпон, Т.А. Ельцова(если ƒ1ƒa - ƒ1ƒb = 0, то ƒ = 0, а в качестве элемента g берем любой ненулевойэлемент группы A).Существует гомоморфизм ƒ:〈g〉  D, такой, что ƒ g = ƒ2ƒ a - ƒ2ƒ b. В силу инъ-ективности группы D гомоморфизм ƒ можно продолжить до гомоморфизма ƒгруппы A в группу D. Следовательно, c - d = ƒ g+ƒ g. Так как гомоморфизмы ƒ иƒ можно рассматривать как гомоморфизмы группы A в группу B (D и R - под-группы группы B), то c - d = (ƒ+ƒ) g, где ƒ+ƒ  Hom(A, B). Следовательно, группаA гомоморфно устойчива относительно группы B.Теперь рассмотрим гомоморфную устойчивость редуцированных групп. По-лучена следующая теорема.Теорема 7. Если редуцированная часть группы A гомоморфно устойчива отно-сительно группы B, то группа A гомоморфно устойчива относительно группы B.Доказательство. Пусть A и B - произвольные группы и A = R ⊕ D, где R - ре-дуцированная часть группы A, D - делимая часть группы A. Пусть R гомоморфноустойчива относительно группы B. По теореме 3 группа D гомоморфно устойчиваотносительно группы B. Тогда группа A гомоморфно устойчива относительногруппы B [2, теорема 1].Для групп без кручения справедлив следующий критерий.Теорема 8. Группа без кручения A гомоморфно устойчива относительно груп-пы B тогда и только тогда, когда редуцированная часть группы A гомоморфно ус-тойчива относительно группы B.Доказательство. Достаточность следует из теоремы 7. Докажем необходи-мость.Пусть A и B - произвольные группы и A гомоморфно устойчива относительногруппы B.Представим группы в виде прямых сумм своих редуцированных частей R, R1и делимых частей D, D1: A = R ⊕ D и B = R1 ⊕ D1. Используя теорему 2 из [2],получаем, что группа A гомоморфно устойчива относительно R1. РассмотримHom(A, R1).Так как Hom(D, R1) = 0, то существует изоморфное отображение ϕ группыHom(A, R1) на группу Hom(R, R1) [5, с. 213]. Если ƒ  Hom(A, R1), то ϕ(a) = ƒ⎪R.Отсюда( 1 ) ( 1 ) Hom , Hom ,Im Imƒ A R ƒ R R α =  β . Так как, в силу гомоморфной устойчи-вости группы A относительно группы R1,( 1 ) Hom ,Imƒ A R α - подгруппа группы R1,то и( 1 ) Hom ,Imƒ R R β - подгруппа группы R1. Следовательно, группа R гомоморфноустойчива относительно группы R1.По теореме 6 группа R гомоморфно устойчива относительно группы B.Из предложения 5 и теоремы 7 вытекаетСледствие 9. Если редуцированная часть группы A гомоморфно устойчива от-носительно группы B, то A гомоморфно устойчива относительно редуцированнойчасти группы B.Доказательство. Пусть редуцированная часть группы A гомоморфно устой-чива относительно группы B. Тогда по теореме 7 группа A гомоморфно устойчиваотносительно группы B. Следовательно, по предложению 5 группа A гомоморфноустойчива относительно редуцированной части группы B.Связь делимых и редуцированных групп с гомоморфной устойчивостью 19Из теорем 6 и 8 вытекаетСледствие 10. Группа без кручения A гомоморфно устойчива относительногруппы B тогда и только тогда, когда редуцированная часть группы A гомоморф-но устойчива относительно редуцированной части группы B.

Скачать электронную версию публикации