Receiving the approximational constants in apprizal of the velocity of the approachingof functions of class LipM1 by some methods of summing up the Furie'srows.pdf 1. ВведениеОдной из основных задач теории приближений является получение оценок ви-да ( ) ( ) n nL f f f − ≤ƒ , где nL - аппроксимирующая последовательность опера-торов; f - приближаемая функция; ( ) n α f - выражение, содержащее индивиду-альные характеристики f или характеристики класса, которому принадлежит f .Кроме того, выражение ( ) n α f содержит и некоторые характеристики nL . Этихарактеристики, в случае когда рассматривается конкретная последовательностьnL , могут фигурировать в виде констант, не зависящих от f и n . Одна из акту-альных задач теории приближений - получение таких констант, которые даютнаименьшее из возможных значений для ( ) n α f .Постановка задачи получения точных констант в общем виде сформулированав работах Н.П. Корнейчука [5]. Предлагаемая статья посвящена частному случаюэтой проблемы: рассматривается приближение функций, принадлежащих классам1 M Lip , некоторыми конкретными методами суммирования рядов Фурье. Дляконкретной последовательности nL ставится задача определения величины{ }1 ( , ) sup ( ) : n n nU L ƒ = L f − f f  Lip ƒ ,а если,н ( , ) ( ) Ln nU L A n o n α −α −αα = ⋅ + ,(где обозначено { } nL = L ), то в качестве основной проблемы рассматривается за-дача определения констант ,нLA α (нижний символ н обозначает наилучшая).В этой статье рассматривается следующий набор операторов, являющихся ме-тодами суммирования рядов Фурье: операторы Баскакова [ ]( 1,... ) mm k knM [2], опера-торы (2)n,6D [4], полученные в работе Е.М. Ершовой.Получение точных аппроксимационных констант в оценке скорости приближения 21Операторы Баскакова имеют вид( )( )11 22[ ]( ,..., ) 1212 sin sin, 22sin cos cos2mmm im k k in miik ntn f t x dtM fxn t ktn−π=−π=ƒ+= =ƒ ⎛ ƒ ⎞ ⎜ − ⎟⎝ ⎠ƒƒ11[ ]( ,..., ),11 1( ) cos2mn mm k ki nif t x it dtπ − −−π =⎛ ⎞= + ⎜ + ƒ ⎟ƒ ⎝ ⎠ ƒ . (1)Аналитическое выражение коэффициентов [ ]( 1,... ),mm k ki nλ получено в [3].Как видно из последнего равенства, последовательность операторов[ ]( 1,... ) mm k knM является методом суммирования рядов Фурье и определяется пара-метрами m , 1,..., m k k . Соответствующие константы будем обозначать [ ]( 1,... )нmm k k A(нижний символ н означает наилучшее в обозначении константы).Операторы, полученные в работе Е. М. Ершовой, имеют вид(2),64 2 210( , )6(1 cos )(11 5 4) 10( 1)nD f xn n n nn= ⎛ ⎞ƒ ⎜ − + + − + ⎟⎝ ⎠6sin2 6 ( ) (cos cos )sin2ntf t x t dtt nπ−π⎛ ⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎝ ⎠ .Соответствующие константы обозначим нDA .2. Получение точной константы в оценке приближения функцийкласса Lip11 операторами Mn[1](k) методом исследования на экстремумРассмотрим получение аналитического выражения для константы [1]印( )нkA в ра-венстве{ } [1]( ) [1]( ) 1 11 нsup ( , ) : 1 ( )k kn nU M f x f f Lip A n o n − −= − Ѓё = ⋅ + . (2)Очевидно, если такая константа будет найдена, то для любой функции1M f Ѓё Lip можно записать[1]( ) [1]( ) 1 1н ( , ) ( ) k knM f x f A M n o n − −− ≤ ⋅ ⋅ + . (3)При этом в силу (2) константу [1]( )нkA в неравенстве нельзя заменить на мень-шую.Пусть 2 1 M f C Lip π Ѓё Ѓї зафиксировано произвольным образом, тогда для лю-бого xЃё R имеем( ) [1]( )0( , ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) kn nM f x f x f x t f x t f x u t dtπ− = Ѓз + + − − , (*)22 Е.С. Когангде ( )2 22sin sin22sin cos cos2nk ntnu tt kn tnπ⋅=⎛ π ⎞ π ⋅ ⋅ ⎜ − ⎟⎝ ⎠.Обозначим ϕ(x, t) = f (x + t) + f (x − t) − 2 f (x) , t Ѓё[0,ѓО] .Тогда [1]( )0( , ) ( ) ( , ) ( ) kn nM f x f x x t u t dtπ− = Ѓзϕ .Следует заметить, что 2 ( , ) 1 Mϕ x t Ѓё Lip для каждого xЃё R .Пусть n таково, что выполняется2knπ< π.Для r Ѓё[0, kѓО] определим функцию r ϕ на [0,ѓО] по формуле( )2, если 0, ,4 2,если , .rrt tntr rt tn n⎧ Ѓё⎡ ⎤ ⎪⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ϕ =⎨⎪ − Ѓё⎛ ѓО⎤ ⎪ ⎜ ⎥ ⎩ ⎝ ⎦Если для определенной выше функции ϕ(x, t) и фиксированного n подоб-рать r так, что2 22rk kMn n⎛ ѓО ⎞ ⎛ ѓО ⎞ ϕ ⎜ ⎟ = ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠, то0 0( , ) ( ) 2 ( ) ( ) n r nx t u t dt M t u t dtѓО ѓОЃзϕ ≤ Ѓзϕ . (4)Неравенство (4) выполняется в силу того, что если20,ktn⎡ ѓО⎤ Ѓё⎢ ⎥ ⎣ ⎦, то( ) ( , ) rϕ t ≥ ϕ x t и ( ) 0 nu t ≥ , а если2,ktn⎡ ѓО ⎤ Ѓё⎢ ѓО⎥ ⎣ ⎦, то ( ) ( , ) rϕ t ≤ ϕ x t и ( ) 0 nu t ≤ .Таким образом,00max 2 ( ) ( ) n r nr kU tu t dtѓО≤ ≤ ѓО= Ѓзϕ .С другой стороны,2 2 22 2 2 2 2 20 0212 2 2 24 sin sin2 () ()( ) ( )sin2 ( ).( )rr nrrk tdt tdtt u t dtn t k t t k ttdtr ont k tѓО Ѓ‡Ѓ‡−ѓО ⎛ϕ = − + ⎜⎜⎝ ѓО − ѓО −⎞+ + ⎟⎟ѓО − ⎠Ѓз Ѓз ЃзЃзПри этом можно подобрать оценку остатка, которая не зависит от r .Проведем исследование на экстремум функции2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 20sin sin sin( ) 2( ) ( ) ( )rr rtdt tdt tdtr rt k t t k t t k tЃ‡ Ѓ‡Φ = − +π − π − π −Ѓз Ѓз Ѓз .Получение точных аппроксимационных констант в оценке скорости приближения 23Имеем2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2sin sin sin( ) 2( ) ( ) ( )sin sin2 2 .( ) ( ) r rr r rrr k r r k r r k rtdt tdtt k t t k tЃ‡ Ѓ‡ѓіЃЊ = + − +ѓО − ѓО − ѓО −+ =ѓО − ѓО −Ѓз ЃзСледовательно, функция Φ(r) имеет экстремум в точке 0 r Ѓё[0, kѓО] , такой что022 2 2 2sin0( ) rtdtt k tЃ‡=π −Ѓз . (5)Заметим, что константа 0r , удовлетворяющая равенству (5), не зависит от n .А так как200 2 2 2 20 0sin( ) 0( )rrr k rѓіЃЊЃЊ = − , ( ) 1 nw t dtπ−πЃз = .Положим 2 21( ) ( )mkkz t t==Π τ − , {t : z(t) 0, t [ , ]}+ ѓў = ≥ Ѓё −ѓО ѓО , [ ] , \− + Δ = −π π Δ .Пусть 0ϕ (t) − 2ѓО - периодическая функция, определенная на [ ] ,−π π следую-щим образом:0, если ,( ), если .t ttt t+−⎧⎪ Ѓёѓўϕ =⎨− Ѓёѓў ⎪⎩Предложение 1. Для любой функции 1M f Ѓё Lip выполняется0 ( , ) ( ( ),0) n nL f x f M L t − ≤ ⋅ ϕ . (8)Доказательство. В силу того, что ( ) 1 nw t dtπ−πЃз = и ( , ) nL f x имеет вид (7), по-лучим для любого x( , ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) n nL f x f x f t x f x w t dtπ−π− = Ѓз + − .Так как 1M f Ѓё Lip , то f (t + x) − f (x) ≤ M t .Отсюда следует0 0( , ) ( ) ( ) ( ) () ()( ) ( ) ( ( ), 0),n n nn nL f x f x f t x f x w t dt M t w t dtM t w t dt M L tπ π−π −ππ−π− ≤ + − ⋅ ≤ ⋅ == ϕ ⋅ = ⋅ ϕЃз ЃзЃзто есть в силу произвольности x получим (8), что и требовалось доказать.Функция ϕ0 является разрывной и, следовательно, классу 1MLip не принад-лежит. Поэтому возможно усиление неравенства (8).Пусть 1M f Ѓё Lip , при этом f (0) = 0 . Рассмотрим поведение этой функции наотрезке [ ] 1 , i i+τ τ , если 1 1 ( ) , ( ) i i i i f y f y + +τ = τ = . Полагаем i = 0,1, ...,m−1, приэтом 0 0y 0 , 0 = τ = .Из того, что( ) ( )i i f t − f ѓС ≤ M ⋅ t − ѓС и 1 1 ( ) ( ) i i f t f M t + +− ѓС ≤ ⋅ − ѓС ,следует ( ) ( ) ( ) i iѓК t ≤ f t ≤ ѓЕ t , гдеmaxmax1 1 1( ), если , ,( )( ), если , ,i i i iii i i iy M t tty Mt t + + +⎧⎪ + − ѓС Ѓё⎡⎣ѓС ѓС ⎤⎦ѓК =⎨⎩⎪ − − ѓС Ѓё⎣⎡ѓС ѓС ⎦⎤Получение точных аппроксимационных констант в оценке скорости приближения 25иmax 1 12 2i i i iiy yM+ +τ +τ −τ = + , (9)minmin1 1 1( ), если , ,( )( ), если , ,i i i iii i i iy M t tty Mt t + + +⎧⎪ − − ѓС Ѓё⎡⎣ѓС ѓС ⎤⎦ѓЕ =⎨⎩⎪ + − ѓС Ѓё⎣⎡ѓС ѓС ⎤⎦иmin 1 12 2i i i iiy yM+ + ѓС +ѓС −ѓС = + . (10)На отрезке [ , ] m ѓС ѓО f (t) должна удовлетворять неравенствам( ) () ( ) m m m m M t y f t M t y − − ѓС + ≤ ≤ − ѓС +.Обозначим 1 2 ( , ,..., ) mY = y y y . Пусть далее max min ( ) , ( ) Y Yψ t ψ t - четные 2π -пе-риодические функции, которые на каждом из отрезков [ ] 1 , i i+ ѓС ѓС i = 0,1, ...,m−1определены следующим образом:[ ][ ]max 11( ),если , и ( ) 0,( )( ),если , и ( ) 0.i i i nYi i i nt t w ttt t w t++⎧ѓК Ѓё ѓС ѓС ≥ѓХ =⎨⎩ѓЕ Ѓё ѓС ѓС ≤[ ][ ]min 11( ),если , и ( ) 0,( )( ),если , и ( ) 0.i i i nYi i i nt t w ttt t w t++⎧ѓК Ѓё ѓС ѓС ≤ѓХ =⎨⎩ѓЕ Ѓё ѓС ѓС ≥На отрезке [ , ] m ѓС ѓО эти функции определяются аналогично:[ ][ ]max ( ) ,если , и ( ) 0,( )( ) ,если , и ( ) 0.m m m nYm m m nM t y t w ttM t y t w t⎧ − ѓС + Ѓё ѓС ѓО ≥ѓХ =⎨⎩− − ѓС + Ѓё ѓС ѓО ≤[ ][ ]min ( ) ,если , и () 0,( )( ) ,если , и ( ) 0.m m m nYm m m nM t y t w ttM t y t w t⎧ − ѓС + Ѓё ѓС ѓО ≤ѓХ =⎨⎩− − ѓС + Ѓё ѓС ѓО ≥График любой функции maxψY на [0,ѓО] представляет собой ломаную, звеньямикоторой являются отрезки графиков линейных функций с угловым коэффициен-том, равным М или М − .Прежде чем дать более детальное описание этих графиков, сделаем некоторыеуточнения.Расположение на числовой оси точек i y должно соответствовать тому, чтоточки ( , ) i yi τ принадлежат графику функции из класса 1MLip .Если известно i y , то для i 1 y + должны выполнятся неравенства1 1 1 ( ) ( ) yi M i i yi yi M i i + + +− ѓС − ѓС ≤ ≤ + ѓС − ѓС .Заметим, если 1 1 ( ) i i i i y y M + + = − ѓС −ѓС , то max mini i , i i+1τ =τ τ = τ ; если1 1 ( ) i i i i y y M + + = + ѓС −ѓС , то max mini i+1 , i iτ =τ τ = τ . В этом можно убедиться непо-средственной подстановкой в (9) и (10). Если f - четная функция и графики26 Е.С. КоганmaxψY и minψY симметрично продолжены на [−ѓО,0] относительно оси ординат, тоmin max ( , 0) ( , 0) ( , 0) n Y n n YL ѓХ ≤ L f ≤ L ѓХ . (11)Пусть Yiλ , i = 1,2,...,m - величины, определенные следующим образом:max1min1, если нечетно,, если четно.Y iiiii−−⎧⎪ѓС −ѓЙ =⎨ѓС − ⎪⎩Тогда Yiλ являются абсциссами точек излома графика функции maxψY .Для 1 { }mi i=Λ = λ , [ ] i i 1, i −ѓЙ Ѓё ѓС ѓС , 0τ = 0 , обозначим через Λѓµ четную 2π -перио-дическую функцию, которая на [0,ѓО] определена следующим образом:110( 1) ( ) ( 1) ( )ii ji j jjt−Λ +=ѓµ = − − ѓЙ +Σ − ѓЙ − ѓЙ (12)при 1 [ , ] i it+Ѓё ѓЙ ѓЙ , i = 0,1, ...,m , полагая при этом 0λ = 0,m+1ѓЙ =ѓО.Если обозначить 1 { } Y Y mi i=Λ = λ , то maxY YMΛ ψ = ⋅Ψ . Неравенства (11) показы-вают, что1четноsup ( ,0) (0) sup ( ,0)Mn nf LipfL f f M Lѓ©Ѓё ѓ©−− = ⋅ Ψ .Заметим, что условие четности f под знаком супремума можно снять.В самом деле, для любой заданной на [−π,π] функции 1M f Ѓё Lip существуютчетные функции 1, 2 M1 f f Ѓё Lip такие, что1 2 ( , 0) ( ,0) ( , 0) n n nL f ≤ L f ≤ L f .Эти функции можно определить следующим образом:Если00( ) ( ) ( ) ( ) n n f t w t dt f t w t dtπ−πЃз ≤ Ѓз , то положим[ )[ ] 1( ), при ,0 ,( )( ),при 0, ,f t tf tf t t⎧ Ѓё −ѓО= ⎨⎩ − Ѓё ѓО[ )[ ] 2( ),при ,0 ,( )( ), при 0, ,f t tf tf t t⎧ − Ѓё −ѓО= ⎨⎩ Ѓё ѓОесли же00( ) ( ) ( ) ( ) n n f t w t dt f t w t dtπ−πЃз ≥ Ѓз , то[ )[ ] 1( ),при ,0 ,( )( ), при 0, ,f t tf tf t t⎧ − Ѓё −ѓО= ⎨⎩ Ѓё ѓО[ )[ ] 2( ), при ,0 ,( )( ),при 0, .f t tf tf t t⎧ Ѓё −ѓО= ⎨⎩ − Ѓё ѓО4. Теорема об экстремальном значении функционаланекоторого специального видаМы доказали, что вопрос об экстремальном значении величины( , ) ( ) nL f x f x − при 1M f Ѓё Lip сводится к вопросу об экстремальном значениивеличины ( ,0) nL f при f { }ΛЃё ϕ .Получение точных аппроксимационных констант в оценке скорости приближения 27Из предложения 1 пункта 3 известно, что задача нахождения константы приглавном члене в экстремальном значении величины [1]( )( , ) ( ) knM f x f x − приво-дит к исследованию функционала, определяемого некоторым преобразованнымядром.Поставим задачу в общем виде.Рассмотрим функционал ( ) ( ) ( )0f f t W t dtЃ‡ѓЕ = Ѓз , где W(t) - непрерывная на[0,Ѓ‡) функция, такая, что ( )0W t dtЃ‡Ѓз < Ѓ‡ , ( )0t W t dtЃ‡Ѓз < Ѓ‡ , ( ) 00W t dt w 0Ѓ‡Ѓз = > ,W(0) > 0 , W(t) имеет простые нули в точках iτ , 10 ...m< ѓС < < ѓС при нечетных i , ( ) 00iW t dt wѓСЃз < при четных i . Можно огра-ничиться требованием непрерывности W(t) на конечном отрезке [0,a] , таком,что при любом i (0, )iѓС Ѓё a .Так же, как и в предыдущем пункте, полагаем 1 { }mi i=Λ = λ (кроме того, рас-сматриваем 0λ = 0, m+1ѓЙ =Ѓ‡), 1 [ , ] i i i −ѓЙ Ѓё ѓС ѓС при i = 1,...,m (считаем 0τ = 0 ).Функция (t)ϕΛ , [ ) t Ѓё 0,a определяется той же формулой, что и (t )ψΛ , согласно(12). Положим 0 01 { }mi i=Λ = λ , где 0iλ удовлетворяют равенству( )000iW t dt wλЃз = . (13)Поставим следующую задачу: найти верхнюю грань значений функционала ηна функциях множества { } ϕΛ , то есть определить величину sup ( )ΛΛѓЕ ϕ .Приводимая ниже теорема 2 дает решение этой задачи.Теорема 2. sup ( ) ( 0 )Λ ΛΛѓЕ ϕ = ѓЕ ϕ .5. Применение теоремы 2 к получению точныхаппроксимационных константДанную теорему можно применить и для случая конечного отрезка [0,a] . Дляэтого случая достаточно положить W(t) = 0 при ( ) ,t Ѓё a Ѓ‡ .Пусть зафиксированы параметры, определяющие операторы Баскакова: нату-ральное m ≥1 и мультииндекс 1 ( ,..., ) mk k . Для выбранного набора { } 0mi iK== ξ , та-кого, что 0 0 ѓМ = k = 0 , 1 [ , ] i i ik k− ѓМ Ѓё ѓО ѓО при i = 1,...,m , положим { } ( ) 10( )mnn iiK+=Λ = λ ,( )12 n imn+ξλ = . Обозначим, далее n ϕ - четную 2ѓО -периодическую функцию, опре-деленную на [0,ѓО] согласно (12), как n ѓ© ϕ =ѓµ при ( ) nΛ = Λ K .28 Е.С. КоганПусть2( )2 nnt tnѓі = ϕ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠. Этой формулой Φ определяется при 0,2nt⎡ ѓО ⎤ Ѓё⎢ ⎥ ⎣ ⎦. Напромежутке ,2⎛ ѓОn Ѓ‡⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠определим Φ той же формулой, что и на промежутке,2m⎡ѓМ ѓОn ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦.Тогда ѓ© ѓі =ѓµ определено формулой (12) при { } 0mi iK=Λ = = ξ .Таким образом,[ ] 122( ,..., ) 10 212 sin ( )sin( ( ),0) 22sin cos cos2mmm inm k k in n miikntt dtnM tn t ktnπ==ѓОϕϕ = =ѓО ⎛ ѓО ⎞ ⎜ − ⎟⎝ ⎠ѓ®Ѓзѓ®2 1 22 11 0 2 2 2 214 sin ( )( ) ( ).( )m mi miiit dtk t onnt k t− Ѓ‡−==ѓО= ѓі +ѓО −ѓ® Ѓзѓ®Так как остаток 1 o(n )− не зависит от K (подробнее об этом в [7]), то задачаопределения наилучшей константы в оценке[ ]( 1,..., ) [ ]( 1,..., ) 1 1н ( ( ), ) ( ) ( ) m mm k k m k kn M f t x f x A M n o n − − − ≤ ⋅ + ,для 1M f Ѓё Lip , сводится к исследованию на максимум функционала122 1 2( ,..., )1 0 2 2 2 21sin ( )( ) 4 ( )( )mmmk k i miiit dtk tt k tЃ‡−==η Φ = π Φπ −ѓ® Ѓзѓ®при { } ѓ© ѓіЃё ѓµ .Заметим, что [ ] 11( ,..., )( ,..., )1(1, ) (1) (1) 12mmm k kn k k M x = ѓЕ + o = .Отсюда( 1,..., ) (1) 2mη k k = .Применим теорему 2 к случаю m =1 .Для применения теоремы 2 следует убедиться в существовании 0 λ < kπ , тако-го, что0222 2 2 20sin4 2( )tdtkt k tλπ =π −Ѓз .Введем обозначение122 1 2( ,..., )1 0 2 2 2 21sin ( )( ) 4( )mm rmk k i miiit dtg r kt k t−=== ѓОѓО −ѓ® Ѓзѓ®.Для m =1 имеем ( ) 2 gk Ѓ‡ = . НоПолучение точных аппроксимационных констант в оценке скорости приближения 2922 1 22 2 2 2sin( ) ( ) 4 2( )mk kktdtg g k kt k tЃ‡−ѓОЃ‡ = ѓО + ѓО =ѓО −Ѓз .Интеграл в последнем равенстве отрицателен, следовательно, ( ) 2 k g kѓО > .А так как при t Ѓё[0, kѓО] ( ) 12 2 2 2 2sin t t (k t ) 0−⋅ π − ≥ , то найдется 0ѓЙ Ѓё[0, kѓО] , та-кое, что 0 ( ) 2 gk λ = .Тогда, по теореме 2, обозначив { } 0 0Λ = λ , получим 0( )н ( )( ) kkAΛ= η Ψ .Так как ( )012 2 2 2 2sin t t (k t ) dt 0Ѓ‡−ѓЙЃз ⋅ π − = , то( )0 0210 2 2 2 2 22 2 2sin( 2 )sin ( )( )tdtt t t k t dtt k tЃ‡ Ѓ‡−ѓЙ ѓЙ− + λ ⋅ π − = −π −Ѓз Ѓз .Таким образом,002 2( ) 2н 2 2 2 2 2 20sin sin4( ) ( )k tdt tdtA kt k t t k tѓЙ Ѓ‡ѓЙ⎛ ⎞= ѓО⎜ − ⎟⎜ ѓО − ѓО − ⎟ ⎝ ⎠Ѓз Ѓз ,что соответствует (6).Докажем вспомогательное предложение 2.Предложение 2.( 1,..., 1) 1 ( 1,..., 1, ) 1 ( ) ( )m m mg k k k g k k k k− −π < π .Доказательство. Преобразуем( 1,..., )( )mg k k r к виду121( ,..., ) 20 21sin ( )( ) 41mrk kmi it dtg rttk−== ѓО⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎜ −⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ѓО ⎠ ⎟ ⎝ ⎠Ѓзѓ®.Имеем1121( ,..., ) 1 2 2 10 21sin ( )( ) 41 1mkk kmi i mt dtg kt ttk kπ−−=ѓО = ѓО =⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ѓО ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ѓО ⎠ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠Ѓзѓ®112 211 20 21sin ( )4 1 ,1kmmi it dtt ktk−π−−=⎛ ⎛ ѓМ ⎞ ⎞= ѓО ⋅⎜ −⎜ ⎟ ⎟ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ ⎝ ѓО ⎠ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ ѓО ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠Ѓзѓ®где ( ) 1ѓМЃё 0, k ѓО .Таким образом,1 1 1 1 12 1( ,..., ) 1 ( ,..., ) 1 ( ,..., ) 1 ( ) 1 ( ) ( )m m mk k k k k kmg k g k g kk− −− ⎛ ⎛ ѓМ ⎞ ⎞ѓО = ⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ѓО > ѓО ⎜ ⎝ ѓО ⎠ ⎟ ⎝ ⎠.Предложение доказано.30 Е.С. КоганИтак, при m = 2 имеем( 1, 2 ) 1 ( 1) 1 ( ) ( ) 2 g k k k π > g k k π > ,( 1, 2 )( ) 2 g k k Ѓ‡ = . Так как( )12 2 2 2 2 2 2 21 2sin t t (k t )(k t ) 0−⋅ π − π − ≥ при [ ) 2 ,t Ѓё k ѓО Ѓ‡ (равенство имеет место визолированных точках), то( 1, 2 ) 2 ( ) 2 g k k k π < .Следовательно, существуют ( ) 01 1ѓЙ Ѓё 0, k ѓО и ( ) 02 1 , 2ѓЙ Ѓё k ѓО k ѓО такие, что1 2 1 20 0( , ) 1 ( , ) 2 ( ) ( ) 2 g k k g k k λ = λ = .Таким образом, теорему 2 можно применять для нахождения выражения дляконстант ( 1, 2 )нk kA при любых целых 1, 2k k , если 1 20 < k < k . Конкретно,1 201 2( , )н ( , )( ) k kk kAΛ= η Ψ , где { } 0 0 01 , 2Λ = λ λ при тех значениях 01λ и 02λ , о которыхговорилось выше.Учитывая, что при нахождении 0( 1, 2 )( ) k k Λ η Ψ значения 0Λ Ψ на промежутках) 0 01 , 2⎡⎣ѓЙ ѓЙ и ) 02 ,⎡⎣ѓЙ Ѓ‡ можно изменять на любую константу, сформулируем резуль-тат.Теорема 3. Для операторов ( 1, 2 )( , ) k knM f x и любой функции 1M f Ѓё Lip выпол-няется оценка( 1, 2 ) ( 1, 2 ) 1 1н ( , ) ( ) ( ) k k k knM f x f x A M n o n − −− ≤ ⋅ + ,где константа021 2012 2( , ) 3 2 2н 1 20 2 2 2 2 2 21 1sin sin4 2( ) ( )k km mi ii itdt tdtA kkt k t t k tЃ‡ ѓЙѓЙ= =⎛ ⎞⎜ ⎟= ѓО ⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ѓО − ѓО − ⎟⎝ ⎠Ѓз Ѓзѓ® ѓ®не может быть снижена.Покажем, что теорему 2 можно применить при m = 3 для любых ( ) 1, 2 , 3k k k1 2 3k < k < k .Заметим, что22 1 21 0 2 2 2 21sin2 1( )mmi miiitdtkt k tЃ‡−==π =π −ѓ® Ѓзѓ®, (14)и сформулируем утверждение, показывающее существование множества{ } 0 0 0 01 , 2 , 3Λ = λ λ λ , которое обеспечивает существование точной аппроксимацион-ной константы.Теорема 4. Пусть целые ik , i = 1, 2,3, таковы, что 1 2 30 < k < k < k . Тогда суще-ствуют 0iλ , i = 1, 2,3 , 1 1 2 2 3 30 < λ < πk < λ < πk < λ < πk , такие, что025 2 2 21 2 3 30 2 2 2 21sin2 1( )iiitdtk k kt k tλ=π =π −Ѓзѓ®. (15)Получение точных аппроксимационных констант в оценке скорости приближения 31Доказательство. Очевидно (15) имеет место, если для25 2 2 21 2 3 30 2 2 2 21sin( ) 2( )riitdtr k k kt k t=Φ = ππ −Ѓзѓ®выполняется ( ) 1Φ k π >1, ( ) ( ) 2 3Φ k π 1.Из предложения 2 следует, что неравенство1 22 1 21 0 2 2 2 21sin2 1( )m kmi miiitdtkt k tπ−==π >π −ѓ® Ѓзѓ®выполняется при любом m > 0 . Следовательно, ( ) 1Φ k π > 1.Далее, очевидно, что ( ) 3 ѓі k ѓО >1 . Действительно, ѓі(Ѓ‡) =1, а подынтеграль-ное выражение, фигурирующее в определении Φ(r ) , отрицательно почти вездена [ ) 3 ,k ѓО Ѓ‡ .Итак, осталось доказать, что ( ) 2 1 k ѓі ѓО

Скачать электронную версию публикации