A subfield B of elements which are infinitely near to the base.pdf Основные определения и результаты теории двумерно упорядоченных полейизложены в [1].Бесконечно близкие к базе элементыОпределение 1. Пусть 〈P, Pu〉 - двумерно упорядоченное поле с базой P0. Эле-мент a  P называется бесконечно близким к базе P0, если:n r  P0 r < a  (a - r)n  Puили n r  P0 r < a  (a - r)n  - Pu.Множество бесконечно близких к базе элементов обозначим через B.Определение 2. Пусть 〈P, Pu〉 - двумерно упорядоченное поле с базой P0. Эле-мент a  P называется строго бесконечно близким к базе P0, если:n r  P0 r < a  (a - r)n ou P Pили n r  P0 r < a  (a - r)n  - .ou PМножество строго бесконечно близких к базе элементов обозначим черезoB = B \ P0.Введём следующие обозначения: Bu = B  Pu;ou B =oB ou P .Лемма 1. Пусть a  B. Если:1. a ou P , то n r  Р0 r < a  (a - r)n ou r P P .2. a  -ou P , то n r  Р0, r < a  (a - r)n  -ou r P P .Доказательство.1. Пусть a ou P . Согласно определению бесконечно близкого к базе элемента,имеемn r  Р0 r < a  (a - r)n ou P .Так как r < a, то r (a - r) ou r P P .Предположим, что при каком-нибудь n* имеет место(a - r)n*ou r P −P .42 Г.Г. Пестов, Е.А. ФоминаТогда имело бы место следующее соотношение:(a - r)2n*  - ,ou Pчто противоречит тому, что a - бесконечно близкий к базе элемент.2. Случай a  -ou P рассматривается аналогично первому. В доказательствевсюду верхний конусou P нужно заменить на нижний конус -ou P . Лемма доказана.Лемма 2. B + Р0  B.Доказательство. Пусть для определённости a  Bu, t  Р0. Имеемn r  P0 r < a  (a - r)n  Pu,тогдаn r, t  P0 r + t < a + t  ((a + t) - (r + t))n = (a - r)n  Pu.Следовательно, a + t  Bu и Bu + Р0  Bu.Аналогично доказывается, что -Bu + Р0  -Bu. Значит, B + Р0  B. Лемма дока-зана.Отношение предпорядка в PuПусть x, y  Pu. Если yx-1ou P , то будем говорить, что y _ x (x ≺ y).Лемма 3. Пусть a ou P , b ou B . Еслиk1, k2  Р0 k1 < a, k2 < b  (b - k2) _ (a - k1),то n (b - k2)n _(a - k1)n и a ou B .Доказательство. При n = 1 по условию (b - k2) _ (a - k1) a - k1 ou r P P .При n = l предположим, что(b - k2)l _(a - k1)l, (a - k1)l ou r P P .Пусть n = l + 1.(b - k2)l(a - k1), (a - k1)l + 1  .ou PТогда(b - k2)l + 1 _(b - k2)l(a - k1) и (b - k2)l(a - k1) _ (a - k1)l + 1,так как(b - k2)l + 1(b - k2)-l(a - k1)-1 = (b - k2)(a - k1)-1ou P (по условию)и (b - k2)l (a - k1)(a - k1)-(l + 1) = (b - k2)l(a - k1)-lou P (по предположению)Следовательно, (b - k2)l + 1 _(a - k1)l + 1 и, значит,n (b - k2)n _(a - k1)n.А так как n (b - k2)n ou P , то и (a - k1)n ou P , значит, a ou B , что и требова-лось доказать.Подполе B бесконечно близких к базе элементов 43Сумма бесконечно близких к базе элементовЛемма 4. Пусть a, b ou B . Тогдаmn k1, k2  Р0 (k1 < a, k2 < b)  (a - k1)m(b - k2)n ou P .Доказательство. Так как a, b ou B , тоmn k1, k2  Р0 (k1 < a, k2 < b)  ((a - k1)m, (b - k2)n , (a - k1)2m, (b - k2)2n ou P ).Тогда по лемме 3.4.3 [1](a - k1)m(b - k2)n ou P ,что и требовалось доказать.Теорема 5. Если a, b  B, то a + b  B.Доказательство. Доказательство достаточно провести для строго бесконечноблизких к базе элементов, так как элементы базы P0 образуют линейно упорядо-ченное поле. Для доказательства теоремы нужно рассмотреть 4 случая:a) a, b ou B ;b) a, b  -ou B ;c) a ou B , b  -ou B ;d) a  -ou B , b ou B .Первый случай аналогичен второму, третий - четвёртому.а) Пусть a, b ou B .Тогдаn k1  Р0 (k1 < a)  (a - k1)n ou r P P ,n k2  Р0 (k2 < b)  (b - k2)n ou r P P .Докажем, чтоn k  Р0 k < a + b  ((a + b) - k)n ou P .Так как k < a + b, то найдутся такие k1, k2  Р0, чтоk1 < a, k2 < b; k = k1 + k2.Тогда((a + b) - k)n = ((a - k1) + (b - k2))n == (a - k1)n + 1nC (a - k1)n - 1(b - k2) +  + n 1nC − (a - k1)(b - k2)n - 1 + (b - k2)n.Заметим, что(a - k1)n, (b - k2)n ou P ;по лемме 4 каждое слагаемое видаmnC (a - k1)n - m(b - k2)mпринадлежитou P .В силу замкнутости верхнего конуса относительно сложения, имеем((a + b) - k)n ou P .Значит, a + b  B.44 Г.Г. Пестов, Е.А. ФоминаАналогично рассматривается случай, когда a, b  -ou B .2. Пусть теперь a ou B , b  -ou B . Тогдаn k1  Р0 (k1 < a)  (a - k1)n ou r P P ,n k2  Р0 (k2 < b)  (b - k2)n  -ou r P P .И пусть, для определённости, a + b ou P . Докажем, чтоn k  Р0 (k < a + b)  ((a + b) - k)n ou P , где k = k1 + k2.Возможен один из следующих случаев:a) (a - k1) _ (b - k2)-1;b) (a - k1) ≺ (b - k2)-1.Пусть для определённости имеет место случай а). Тогда(a + b) - k = (a - k1) + (b - k2) = (a - k1)[1 + (b - k2)(a - k1)-1],[(a - k1) + (b - k2)](a - k1)-1 = [(a + b) - k ](a - k1)-1 = 1 + (b - k2)(a - k1)-1.Так как (b - k2), (a - k1)-1  -ou r P P , то по лемме 3.4.4 [1](b - k2)(a - k1)-1 -ou P ,1 + (b - k2)(a - k1)-1 -ou Pи, следовательно, [(a + b) - k](a - k1)-1  -ou P .Так как (a + b) - k, (a - k1) ou P , то для этих элементов определено отношениепорядка _ и, согласно этому определению,(a + b) - k ≺ (a - k1).Следовательно, по лемме 3[(a + b) - k]n ≺(a - k1)nи a + b ou B ,что и требовалось доказать.Кольцо P0[a]Рассмотрим кольцо P0[a], где a  B. Для элементов этого кольца имеет местоследующее соотношение [2]:ƒa(F(a)) = F(ϕ(a)) = ϕ(F(a)),где F(a)  P0[a].Другими словами, если F(a) > 0, то F(a) ou P .Лемма 6. Пусть a ou B ; r, ƒ  P0, r < a < ƒ, a < (r + ƒ)/2. Тогдаn (ƒ - a)n -ou P .Подполе B бесконечно близких к базе элементов 45Доказательство. Рассмотрим следующее произведение:(a - r)(ƒ - a) = - a2 + a(r + ƒ) - rƒ  P0[a] .Тогдаƒa(- a2 + a(r + ƒ) - rƒ) = ϕ(-2a + r + ƒ) > 0 (a - r)(ƒ - a) = (a - r)((ƒ - a)-1)-1ou P .Так как (a - r), (ƒ - a)-1ou P [(ou P )-1 = -ou P ], то (a - r) _ (ƒ - a)-1.Имеем(a - r)n _ (ƒ - a)-n , (a - r)n ou P (ƒ - a)-n ou P  (ƒ - a)n -ou P ,что и требовалось доказать.〈B, +〉 - подгруппа 〈P, +〉Лемма 7. B = - B.Доказательство. Пусть a ou B . Обозначим b = -a. Тогда k < b  k < -a -k > a. Так как a - бесконечно близкий к базе элемент, то по лемме 6 имеем(-k - a)n  -ou P  (b - k )n  -ou P .Итак, k  P0, k < b  (b - k )n  -ou P . Это значит, что b - бесконечно близко кбазе, т.е.-a  B. Отсюда -B = B.Ввиду теоремы 5 и леммы 7 получаем, что аддитивная группа 〈B, +〉 есть под-группа группы 〈P, +〉.Критерий бесконечной близости к базеТеорема 8. Элемент a ou P (a -ou P ) является бесконечно близким к базе P0элементом тогда и только тогда, когдаn ƒ  P0 (ƒ > a)  (ƒ - a)n  -ou P - a)n ou P ).Доказательство. Необходимость доказана в лемме 6.Достаточность. Пусть n ƒ  P0 (ƒ > a)  (ƒ - a)n -ou P . Докажем, чтоa ou B . Обозначим b = -a, ƒ1 = -ƒ.Так как ƒ > a, то b > ƒ1. Имеем(b - ƒ1)n = (ƒ - a)n -ou P  b -ou B (по определению)  a ou B .Аналогично рассматривается случай n ƒ  P0 (ƒ > a)  (ƒ - a)n ou P .Теорема доказана.46 Г.Г. Пестов, Е.А. ФоминаОбратные элементыЛемма 9. (oB )-1 =oB .Доказательство. Пусть a ou B , a > 0. Выберем r  P0+, такое, что r-1 > a -1.Если r-1 > a -1, то r < a. Следовательно, (a - r)nou P ,(r-1 - a -1)n = (a - r)nr-na-n,(a - r)a -1 = 1 - ra -1ou P ,так как (ou P )-1 = -ou P .(a - r), a ou P  a - r _ a  (a - r)n _ an (лемма 3)  (a - r)na -n ou P (a - r)nr-na -n ou P .Множитель r-n принадлежит P0+ и, значит, не влияет на принадлежность эле-мента (a - r)na -n к данному конусу. Имеем(r-1 - a -1)n ou P .По критерию 8 получаем, что a -1 -ou B  a -1oB , что и требовалось дока-зать.Произведение бесконечно близких элементовЛемма 10. Пусть a, b ou r B P (-ou r B P ). Тогда ab  B.Доказательство. Пусть k < ab, тогда найдутся такие k1, k2  Р0+, чтоk1 < a, k2 < b; k = k1k2.Имеем(ab - k)n = (ab - k1k2)n = ((ab - k1b) + (k1b - k1k2))n == (b(a - k1) + k1(b - k2))n == bn(a - k1)n + 1nC bn - 1k1(a - k1)n - 1(b - k2) +  + k1n(b - k2)n. (*)Так как b  Pr, то n bn ou P (-ou P ) (в данном случае k2 = 0).По лемме 4 слагаемые видаmnC bn - mk1n(a - k1)n - m(b - k2)mпринадлежатou P (-ou P ). Ввиду замкнутостиou P (-ou P ) сумма (*) принадлежитou P (-ou P ). Значит, ab  B, что и требовалось доказать.Лемма 11. Если a  B, то a2  B.Доказательство.1. Пусть a ou r B P (-ou r B P ). Тогда, по лемме 10, a2  B.Подполе B бесконечно близких к базе элементов 472. Пусть a ou r B −P (-ou r B −P ). Тогда -a  -ou r B P (ou r B P ). Тогда, полемме 10,(-a)2 = a2  B.Лемма доказана.Теорема 12. Если a, b  B, то ab  B.Доказательство.ab = .((a + b)2 - (a2 + b2)).В силу теоремы 5, лемм 7 и 11, имеем ab  B.Таким образом, мы доказали, что 〈B, +, 〉 - подполе двумерно упорядоченногополя 〈P, +, 〉.

Скачать электронную версию публикации