About some classes n-arity algebraic operations.pdf С каждой абелевой группой A естественным образом ассоциированы следую-щие объекты: кольцо эндоморфизмов E(A) и группа умножений Mult(A). Множе-ство всех унарных отображений образует кольцо, в то время как множество всехбинарных операций образует только группу по сложению (композиция бинарныхопераций не является бинарной операцией). Наиболее известные и исследуемыеклассы алгебраических структур, такие как группа, кольцо, поле, модуль связаныс бинарными алгебраическими операциями [1]. Представляет интерес обобщениеразличных свойств этих структур для случая n-арных операций. Отметим, что прирассмотрении множества с n-арной алгебраической операцией некоторые поня-тия, свободно применяемые для бинарных операций (такие, как коммутативность,нейтральный элемент, обратный элемент, делимость) либо теряют смысл, либо ихнеобходимо обобщать. В общем случае будем обозначать n-арную операцию надэлементами 1,..., na a  A через 1 ( ,..., ) nω a a . Наиболее естественно переноситсяпонятие дистрибутивности операции относительно сложения:1 1 1 ( ,..., ,..., ) ( ,..., ,..., ) ( ,..., ,..., ) 1,..., k k n k n k n ƒ a a + a a = ƒ a a a + ƒ a a a k = n .Операция ƒ называется коммутативной относительно перестановки 1 ( ,..., ) ni i ,если выполняется равенство1 1 ( ,..., ) ( ,..., )nn i iω a a = ω a a . Так как при n = 2 сущест-вует только две перестановки, а именно (1 2) и (2 1), то для коммутативности вбинарном случае требуется выполнение единственного равенства: ab=ba. Опера-ция ƒ называется антикоммутативной, если1 1 ( ,..., ) ( ,..., )nn i iω a a = −ω a a для всякойнечётной перестановки 1 ( ,..., ) ni i и1 1 ( ,..., ) ( ,..., )nn i iω a a = ω a a для всякой чётнойперестановки. Это означает, что n-арная операция антикоммутативна относитель-но любой транспозиции, то есть 1 1 ( ,..., ,..., ,..., ) ( ,..., ,..., ,..., ) i j n j i nω a a a a = −ω a a a a .Нетрудно показать, что в этом случае при совпадении каких-либо двух элементоврезультат операции равен 0. Действительно, при i ja = a имеем1 1 ( ,..., ,..., ,..., ) ( ,..., ,..., ,..., ) 0 i i n i i nω a a a a = −ω a a a a = .Нейтральный элемент e A определяется условием, ,,ƒ(a,e,e) = ƒ(e a,e) = ƒ(e e a) = a a A .Элементы 1,..., na a являются делителями нуля (образуют нильпотентную сис-тему), если 1 ( ,..., ) 0 nω a a = .О некоторых классах n-арных алгебраических операций 49Ещё более неоднозначны возможные обобщения делимости. Делимость можноопределить как существование дополняющего элемента x для заданных системы1 1 ,..., na a− и элемента b, такого, что 1 1 ( ,..., , ) na a x b−ω = . Многие свойства групп с n-арной операцией (n-арных, или полиадических групп) описаны в [4].Для заданной абелевой группы можем рассматривать множество всех n-арныхумножений, а также вводить действия над ними. Так, сложение n-арных умноже-ний определяется естественным образом по правилу1 2 1 1 1 2 1 ( )( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) n n nω + ω a a = ω a a + ω a a ,эта операция является коммутативной, а также существует нулевое n-арное умно-жение и противоположное, а именно - ƒ. Таким образом, множество всех n-ар-ных умножений образует абелеву группу. Обозначим данную группуMn(A).Рассмотрим подробнее M3(A). Для этой группы можно установить следую-щие изоморфизмы:3 M (A) ≅ Hom(A⊗ A⊗ A, A) ≅ Hom(A,Hom(A⊗ A, A)) ≅ Hom(A,Mult(A)) .Сказанное обобщается и для n-арных операций: 1 ( ) Hom( , ( )) n nM A AM A−≅ .Таким образом, всякой абелевой группе A соответствует бесконечная последо-вательность абелевых групп:3 { ( ) ,Mult( ), ( )..., ( ),...} nE A A M A M A + .На всякой абелевой группе естественным образом определяется структура мо-дуля над кольцом E(A), а само кольцо эндоморфизмов рассматривается как левыйрегулярный модуль E(A)E(A). Таким образом, существует группа всех E(A)-модуль-ных гомоморфизмов из A в E(A), обозначаемая ( )Hom ( , ( ))E AA E A , являющаясяподгруппой группы Hom(A,E(A)) , которая в свою очередь изоморфна группеумножений.Если на A существует структура T(E(A))-модуля, то все гомоморфизмы из Aявляются E(A)-модульными [2], что означает совпадение подгруппы( )Hom ( , ( ))E AA E A с группой Mult(A).Аналогично тому, как для бинарного умножения μ(x, y) при фиксированииодного элемента получается эндоморфизм ( ): x ѓК y AЃЁ A, для тернарной опера-ции, фиксируя элемент a, получаем бинарное умножение, аргументами которогоявляются два оставшихся элемента, а при фиксировании двух аргументов - эндо-морфизм группы A. Таким образом, можно рассматривать отображениеMult( ) aaƒ  A , где ( , ) ( , , ) aƒ b c = ƒ a b c .Если A - линейное пространство конечной размерности, то устанавливаетсяизоморфизм между Mn(A) и группой по сложению всех (n+1)-мерных матриц. Притаком изоморфизме операция ƒ, действующая на базисе по правилу1 1...1( ,..., )n nni i i i k kke e a e=ω =Σ , соответствует матрице, состоящей из mn+1 структурныхконстант, (m здесь обозначает размерность пространства) [3]. Отметим, что пол-ное описание строения группы Mult(A) для произвольной абелевой группы Aпредставляет открытую проблему. Группа Mn(A) в свою очередь изоморфна груп-50 М.А. Приходовскийпе гомоморфизмов из A в группу умножений, строение которой до конца неиз-вестно. Поэтому можно ставить задачу исследования Mn(A) лишь для отдельныхклассов абелевых групп A. Например, последовательность групп Mn(A) устроенанаиболее просто, если группа есть аддитивная группа Е-кольца:Лемма. Если A - аддитивная группа Е-кольца, то ( ) nM A ≅ A ЃНnЃё N .Напомним, что Е-кольцом называется такое кольцо R, для которого выполненоусловие ( ) R E R+≅ , что влечёт R E(R ) + + +≅ . Если A есть аддитивная группа Е-кольца, то A R+≅ и, следовательно A E(A)+≅ , то есть группа A изоморфна адди-тивной группе своего кольца эндоморфизмов. ТогдаMult A Hom(A, E(A)) Hom(A, A) E(A) A +≅ ≅ = ≅ .Соответственно, 3 M (A) ≅ Hom(A,Mult(A)) ≅ Hom(A, A) ≅ A . Возникает естественный вопрос об изучении взаимосвязей бинарных и n-арных операций. Несомненно, некоторые из тернарных и n-арных операций мож-но построить как композиции бинарных, однако возможно, что это лишь незначи-тельная часть всех n-арных операций на группе. Введём следующее определение.Определение. Композицию двух бинарных операций , ( )ϕ ѓХЃёMult A будем на-зывать левым бинарным разложением тернарной операции ω(x, y, z) , еслиѓЦ(x, y, z) = ѓХ(ϕ(x, y), z) ЃНx, y, zЃё A . Правое бинарное разложение определим ана-логично ѓХ(x,ϕ( y, z)) . Возможна ситуация, при которой ϕ = ѓХ , то есть разложе-ние имеет вид: ϕ(ϕ(x, y), z) . Заметим, что даже в этом случае тернарные операцииϕ(ϕ(x, y), z) и ϕ(x,ϕ( y, z)) могут быть различны, если умножение ϕЃёMult(A)неассоциативно. Так, например, две тернарные операции, вводимые как компози-ции векторного произведения [[a,b],c] и [a,[b,c]] , в общем случае не совпадают.Аналогично определим понятие бинарного разложения для n-арных операцийс помощью равенств: 1 1 2 2 1 1 2 3 ( ,..., ) ( (... ( ( , ), )...), ) n n n nx x x x x x− −ѓЦ =ϕ ϕ ϕ ϕ (левоебинарное разложение) и 1 1 1 2 2 2 2 1 1 ( ,..., ) ( , ( ,... ( , ( , ))...)) n n n n n nx x x x x x x− − − − ѓЦ =ϕ ϕ ϕ ϕ(правое бинарное разложение). В частности, при n = 4 имеем3 2 1 1 2 3 4 ϕ (ϕ (ϕ (x , x ), x ), x ) и 3 1 2 2 1 3 ( , ( , ( , ))). nϕ x ϕ x ϕ x x Заметим, что тернарные опе-рации могут обладать только двумя типами бинарных разложений - левое и пра-вое, тогда как для n-арных существуют и смешанные варианты, например3 1 2 1 2 3 4 ϕ (x ,ϕ (ϕ (x , x ), x )). Очевидно, что если n-арная операция коммутативна, толевое и правое бинарные разложения можно не различать.Существуют известные примеры n-арных операций, определяемые для любогоn, являющиеся бинарно-разложимыми. Например, операция вычисления наи-большего общего делителя системы из n чисел -коммутативная n-арная операция,при любом n она является бинарно-разложимой, так,НОД(НОД(a,b),c) = НОД(a,b,c).Для существования бинарного разложения тернарной операции в R2, действиекоторой на базисных элементах описывается с помощью равенств1( , , )np q r pqrsse e e=ω =Σγ , , , 1,..., p q r n = ,О некоторых классах n-арных алгебраических операций 51необходимо и достаточно выполнение n4 соотношений для 2n3 неизвестных:1,npqt trs pqrst=Σα β = γ где , , , 1... p q r s n = .Примером такой операции может служить тернарное умножение, заданное по за-кону:1 1 1 1 ω(e ,e ,e ) = e , 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ω(e ,e ,e ) = ω(e ,e ,e ) = ω(e ,e ,e ) = e ,2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 ω(e ,e ,e ) = ω(e ,e ,e ) = ω(e ,e ,e ) = −e , 2 2 2 2 ω(e ,e ,e ) = −e .Это умножение представляется как композиция последовательных бинарных ум-ножений по закону1 1 1 ω(e ,e ) = e , 1 2 2 1 2 ω(e ,e ) = ω(e ,e ) = e , 2 2 1 ω(e ,e ) = −e .Напомним принцип построения векторного произведения в многомерном про-странстве, размерность которого отлична от 3. Пусть в пространстве размерностиn +1 задана линейно независимая упорядоченная система из n векторов. Вектор-ным произведением этой упорядоченной системы назовём вектор, ортогональныйвсем векторам системы, равный по модулю декартовой мере n-мерного паралле-лепипеда, порождаемого n векторами и направленный таким образом, что опреде-литель матрицы n +1 порядка, составленный из координат векторов системы иданного вектора, положителен. Обозначение переносится из обычной векторнойалгебры: 1 [ ,..., ] nb = a a . Результат такой операции n-арного умножения ортогона-лен гиперпространству размерности n, содержащему n векторов, над которымиосуществляется операция (данная операция может также называться векторнымгипер-произведением или полипроизведением).Так, для тернарного умножения в R4 обозначим базисные элементы i,j,k,l (поаналогии с мнимыми единицыми системы кватернионов). Ненулевые умножениясоответствуют только тем тройкам, где все элементы попарно-различны, и зада-ются таким образом:ƒ(i,j,k) = ƒ(j,k,i) = ƒ(k,i,j) = l, ƒ(j,i,k) = ƒ(i,k,j) = ƒ(k,j,i) = -l,ƒ(k,j,l) = ƒ(l,k,j) = ƒ(j,l,k) = i, ƒ(j,k,l) = ƒ(k,l,j) = ƒ(l,j,k) = -i,ƒ(k,l,i) = ƒ(l,i,k) = ƒ(i,k,l) = j, ƒ(l,k,i) = ƒ(i,l,k) = ƒ(k,i,l) = -j,ƒ(i,l,j) = ƒ(l,j,i) = ƒ(j,i,l) = k, ƒ(l,i,j) = ƒ(i,j,l) = ƒ(j,l,i) = -k.Здесь 24 из 43 = 64 элементов отличны от 0, остальные соответствуют наборамэлементов, содержащим хотя бы пару совпадающих и соответственно равны 0.Таблица умножения элементов состоит из 43 элементов и является трёхмерной,ниже представлены её двумерные сечения:(i) i j k l (j) i j k l (k) i j k l (l) i j k li 0 0 0 0 i 0 0 -l -k i 0 l 0 -j i 0 k j 0j 0 0 l k j 0 0 0 0 j -l 0 0 -i j -k 0 i 0k 0 -l 0 j k l 0 0 i k 0 0 0 0 k -j -i 0 0l 0 -k -j 0 l k 0 -i 0 l j i 0 0 l 0 0 0 0В общем случае все ненулевые структурные константы для данной n-арнойоперации задаются формулой: 11... 1( 1) ( 1) nn ni si i ia ++= − − , где s - количество инверсийв перестановке (i1,...,in).52 М.А. ПриходовскийДля n-арного векторного полипроизведения, как и для обычного бинарногопроизведения, результат действия операции можно задать с помощью определи-теля, например для тернарной операции он будет выглядеть следующим образом:1 2 3 41 2 3 41 2 3 4( , , )x x x xy y y yx y zz z z zi j k lω =Заметим, что в такой записи строка из базисных элементов последняя, а непервая. Для обычного бинарного векторного произведения разница не была суще-ственной, так как определитель с первой строкой (i j k) может быть получен изопределителя с последней строкой (i j k) с помощью двух перестановок строк исоответственно его знак не изменится.Перейдём к изучению внутренних свойств операции векторного полипроизве-дения, в частности, взаимосвязи с бинарными алгебраическими операциями.Теорема. Операция n-арного векторного произведения не обладает бинарнымразложением.Доказательство. Рассмотрим сначала тернарное произведение, n = 3. Допус-тим, что существует левое бинарное разложение вида ѓЦ(x, y, z) = ѓХ(ϕ(x, y), z) , гдеω(x, y, z) - операция векторного произведения. Прежде всего, покажем, что еслиэлементы x, y линейно-независимы, то они не могут быть делителями нуляотносительно бинарной операции ϕ . Предполагая обратное, получили быѓЦ(x, y, z) = ѓХ(ϕ(x, y), z) = ѓХ(0, z) = 0 ЃНz , в то время как для любой некомпланарнойтройки векторов результат операции отличен от нуля.Для любых ,x zЃё A : ѓЦ(x, x, z) = ѓХ(ϕ(x, x), z) = 0 , откуда ϕ(x, x) = 0 и, следова-тельно, операция ϕ является антикоммутативной.Умножение на элемент x можно рассматривать как эндоморфизм пространст-ва. Так как ( ) 0 xϕ x = , следовательно, ядром этого эндоморфизма является одно-мерное подпространство, порождённое элементом x. Возьмём ImxzЃё ϕ (при этомz ЃЫ x). Тогда существует элемент y, такой, что ( ) x ϕ y = z , то есть ϕ(x, y) = z . Сле-довательно, для любых двух взаимно ортогональных элементов z и x выполняетсяѓХ(z, x) = ѓХ(ϕ(x, y), x) = ѓЦ(x, y, x) = 0 . Таким образом, если рассматривать действиебинарной операции ψ на различных парах базисных элементов, то результат ум-ножения отличен от нуля только при совпадении этих двух аргументов, то естьѓХ(i, i),ѓХ( j, j),ѓХ(k, k),ѓХ(l, l) Ѓ‚ 0 , соответственно таблица умножения мнимых эле-ментов диагональная.Рассмотрим следующие тернарные умножения, где элемент i расположен натретьем месте:ѓЦ( j, k, i) = ѓХ(ϕ( j, k), i) = l , ѓЦ(k, l, i) = ѓХ(ϕ(k, l), i) = j , ѓЦ(l, j, i) = ѓХ(ϕ(l, j), i) = k .Результат умножения каждого из элементов ϕ( j, k) , ϕ(k, l) , ϕ(l, j) на i отли-чен от 0. Пусть элемент ϕ( j, k) имеет следующее разложение по базису:1 2 3 4( ) ia i + a j + a k + a l a Ѓё R . ТогдаѓЦ( j, k, i) = 1 2 3 4 a ψ(i, i) + a ψ( j, i) + a ψ(k, i) + a ψ(l, i) = 1 a ѓХ(i, i) = l .О некоторых классах n-арных алгебраических операций 53Аналогично 1 2 3 4 ϕ(k, l) = b i + b j + b k + b l , откуда следует 1 ω(k, l, i) = b ψ(i, i) = j .Соответственно для 1 2 3 4 ϕ(l, j) = c i + c j + c k + c l получаем 1 ω(l, j, i) = c ψ(i, i) = k .Таким образом, элементы 1 1 1 a ψ(i, i), b ψ(i, i),c ψ(i, i) , образующие линейно-зависи-мую систему, равны соответственно , ,l j k , которые образуют линейно-независи-мую систему. Получили противоречие.Аналогично доказывается, что операция тернарного векторного произведенияне обладает правым бинарным разложением.Перейдём к рассмотрению n-арного умножения, бинарную неразложимостькоторого докажем по индукции (база индукции n = 3). Всякое n-арное полипроиз-ведение взаимосвязано с (n -1)-арным, а именно, порождает аналогичную (n -1)-арную операцию при фиксировании некоторого базисного элемента на одном измест. Например, рассматривая все тернарные умножения вида ƒ(*,l,*), где эле-мент l расположен на втором месте, нетрудно заметить, что индуцированная би-нарная операция над оставшимися элементами i, j, k действует в точности так же,как умножение мнимых частей в системе кватернионов, то есть является бинар-ным векторным умножением. Если же зафиксировать первый элемент базиса напервом месте для n-арного умножения, получим (n -1)-арное умножение относи-тельно остальных элементов, которое соответствует минору, содержащему всестроки и столбцы кроме первых:1 2 11 0 00 * ** *ni i i+___ __.Если существовует бинарное разложение n-арной операции, то получаем так-же бинарную разложимость порождённой (n -1)-арной операции, что невозможнов силу предположения индукции. Известно, что бинарное векторное умножение действует по тому же закону,что и умножение мнимых единиц в системе кватернионов. В связи с этим логичнопоставить вопрос о построении системы с n-арной операцией, содержащей дейст-вительную единицу, причём так, чтобы операция над мнимыми элементамисовпадала с умножением, рассмотренным выше. Элементы такой системы можноописать следующим образом:101{ }nn mmmK a a a i−== = +Σ .Данные системы строятся по принципу, отличному от классического метода уд-воения размерности пространства при построении гиперкомплексных систем [5],и существуют в пространстве размерности n+2 при n-арной операции. Рассмотримподробнее тернарную операцию. Множество элементов задаётся в виде5 0 1 2 3 4 K = {a = a + a i + a j + a k + a l} ,где 0a - действительная часть, 1 2 3 4a i + a j + a k + a l - мнимая. Если действительнаяединица является нейтральным элементом относительно операции, тоω(1,1, i) = ω(1, i,1) = ω(i,1,1) = i , аналогичное верно также для элементов , ,j k l .Умножения для наборов элементов, не содержащих ни одну пару совпадающих,заданы ранее, остаётся определить умножения для наборов, содержащих одинако-54 М.А. Приходовскийвые мнимые элементы (в случае бинарной операции это были умножения вида2 2 2i = −1, j = −1, k = −1). Заметим, что такая система обязательно содержит дели-тели нуля, то есть упорядоченные наборы элементов, результат операции над ко-торыми равен 0. Например, если по аналогии с обычной системой кватернионовположим ω(i, i, j) = −1, ω(i, j, j) = −1 , то из дистрибутивности операции относи-тельно сложения сразу выводится ω(i, i − j, j) = 0 , то есть {i, i j, j} − - делителинуля.

Скачать электронную версию публикации