Flow of electroconductive liquid incrossed electromagnetic field.pdf В ряде областей физики, механики и техники возникает необходимость изуче-ния движений электропроводных жидкостей. К таким областям относится разра-ботка магнитогидродинамических генераторов электрической энергии, электро-магнитных насосов, используемых для перекачки жидких металлов, плазменныхускорителей. Течения в трубах являются наиболее распространенным классомдвижений, наблюдаемых в проточных трактах МГД-устройств. Важное приклад-ное значение, а также возможность получения точных и приближенных аналити-ческих решений объясняют продолжающийся интерес к изучению магнитогидро-динамических течений в трубах и каналах.Физическая постановка задачиБудем рассматривать течение вязкой электропроводящей жидкости на участкестабилизированного движения в канале прямоугольного сечения с непроводящи-ми стенками, находящемся в поперечном электромагнитном поле (рис. 1).0 U 0zxy0 BxEРис. 1. Физическая область с гидроэлектромагнитыми воздействиями(показано стрелками)Здесь 0B - вектор напряженности внешнего магнитного поля - задан и явля-ется постоянной величиной при переходе от точки к точке во внешности канала,1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований(грант РФФИ № 08-01-00484-а).82 А.М. Бубенчиков, Д.Б. Федин, А.С. Конончук0U - вектор скорости на входе в канал, xE - постоянный вектор напряженностивнешнего электрического поля.Математическая модельТеоретической основой для изучения установившихся МГД-течений являютсявекторные уравнения Навье - Стокса, неразрывности и стационарные уравненияМаксвелла [1]:( ) 2ρ V ⋅∇ V = −grad p + μ∇ V + j . B; divV = 0 ; (1)0rot B = μ j; div B = 0; rot E = 0; div E = 0. (2)Здесь ƒ - плотность жидкости, ƒ - ее вязкость, μ0 - магнитная проницаемость ва-куума, p - давление; , , ,V B E j - векторы скорости магнитной индукции, электри-ческого напряжения и плотности электрического тока. Для замыкания системы(1), (2) необходимо добавить закон Ома, который обычно записывают в видеj = ƒ(E +V  B) , (3)где ƒ - электропроводность жидкости. Взаимодействие электромагнитных и гид-родинамических полей осуществляется через последнее слагаемое уравнения На-вье - Стокса ( j × B) , которое представляет собой пондеромоторную силу, или си-лу Лоренца.Первое уравнение (2) представляет собой закон Ампера; второе - означает ус-ловие отсутствия магнитных зарядов в любой точке рассматриваемой среды;третье - условие потенциальности электрического поля; последнее - условие от-сутствия электрических зарядов в рассматриваемой жидкой среде.Выполнение третьего условия в (2) означает, что существует такая функция ƒ,чтоgrad . E = − ϕ (4)Другими словами, электрическое поле имеет скалярный потенциал ƒ.Подставляя (4) в (3), найдемj = ƒ(−gradϕ+V  B). (3')Теперь заменим векторную величину j_, стоящую в левой части последнегосоотношения, используя закона Ампера, тогда получим( )01rot = ƒ −gradϕ+  .ƒB V B (5)Взяв операцию div от обеих частей (5), найдем( ) 2  ϕ = div V  B . (6)При получении последнего уравнения использовано, чтоdiv(rot a) = 0, a,2 div(gradϕ)   ϕ,ϕ.Течение электропроводящей жидкости в скрещенном электромагнитном поле 83Теперь вернемся к векторному уравнению Навье - Стокса и найдем проекциюэтого уравнения на направление, параллельное вектору входной скорости, т.е. нанаправление оси Oz. Для этого, прежде всего, вычислим векторные произведенияV × B и ( grad ) . − ϕ+   V B B Пусть вектор напряженности внешнего магнитногополя 0= const______B направлен по оси Oy, тогда в автомодельном потоке вектор ин-дуцированного магнитного поля будет направлен вдоль оси Oz. А вектор магнит-ной индукции, входящий в уравнения магнитной гидродинамики (1), будет опре-деляться компонентами 0 B = (0, B , B), вектор же скорости в автомодельном тече-нии есть V = (0,0,U). Пусть также , ,i j k - орты стационарной декартовой систе-мы отсчета, тогда000 0 ,0U U BB BЧ = =− ⋅i j kV B iа также( ) 000 0 0 0grad0.UBx y zB BB B UB B UB Bz y x x⎛ ϕ ⎞ ϕ ϕ − ϕ+   = −⎜ + ⎟ − − =⎝  ⎠  ⎛ ϕ ϕ ⎞ ⎛ ϕ ⎞ ⎛ ϕ ⎞ = ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜− − ⎟ ⋅ ⎝   ⎠ ⎝  ⎠ ⎝  ⎠i j kV B Bi j k (7)Тогда проекция первого уравнения (1) на ось Oz с учетом (7) запишется сле-дующим образом:20 0.pU UB Bz xБ▌ ⎛ Б▌ϕ ⎞ Г╩Б▐ = + Г╨⎜ + ⎟ ⋅Б▌ ⎝ Б▌ ⎠(8)Как упоминалось выше, градиент давления в автомодельном течении в трубеопределяется постоянной величиной. Выберем эту константу следующим образом:0const .p pz lЃЭ −ѓў= =ЃЭЗдесь Δp - перепад давления на длине 0l , тогда вместо (8) получим20 00.pU UB Bl xѓў ⎛ ЃЭϕ ⎞ ѓКЃЮ = − + ѓР⎜ + ⎟ ⋅⎝ ЃЭ ⎠(9)Для заданной конфигурации векторных полей V = (0,0,U) , 0 B = (0,B , B) ,( ,0,0) xE = E уравнение (6) перепишется в виде20 .UBxЃЭЃЮ ϕ= −ЃЭ(10)Уравнения (9) и (10) составляют основу математической модели рассматри-ваемых ниже процессов.84 А.М. Бубенчиков, Д.Б. Федин, А.С. КонончукОбезразмеривание определяющих уравненийЕсли в качестве масштабов скорости и электрического потенциала выбратьследующие величины [2]:( )0 0* * 1/ 2 , ,l p l pUѓў ѓў= ϕ =ѓК ѓКѓР(11)а в качестве геометрического масштаба взять x* = y* = z* = l0 и перейти в уравне-ниях (9), (10) к безразмерным искомым величинам ,U ϕ по формулам* , * ,U =U ⋅U ϕ = ϕ ⋅ϕ (12)то в безразмерной форме определяющие уравнения будут иметь вид2 2 21 Ha Ha , HaUU Ux xЃЭϕ ЃЭЃЮ =− + + ЃЮϕ=−ЃЭ ЃЭ. (13)Здесь и в дальнейшем по соображениям простоты черта над знаками функцийскорости и электрического потенциала будет опущена; U - продольная компонен-та вектора скорости, ƒ - потенциал индуцированного электрического поля;( )1/ 20 0Ha = l B σ/ μ - число Гартмана, определяющее порядок отношения электро-магнитной силы (силы Лоренца) к силе вязкого трения.Таким образом, мы получим систему двух уравнений, определяющих автомо-дельное МГД-течение, в котором неизвестными являются U и ϕ . Можно полу-чить иную систему, эквивалентную вышепостроенной, но неизвестными в ней бу-дут U и B . Для этого возьмем операцию rot от обеих частей (5), спроецируемрезультат на ось Oz и обезразмерим полученное уравнение, приняв * B = B B ,( )1/ 2* 0 0B = Δpl μ σ/ μ . Тогда диффузионное уравнение для скорости, в источнико-вой части которого будет B, а также уравнение индукции (уравнение для B ) бу-дут иметь вид2 2Ha 1, Ha .B UU By yЃЭ ЃЭЃЮ =− − ЃЮ =−ЃЭ ЃЭ(14)Системы (13) и (14) являются самодостаточными на уровне уравнений и экви-валентными друг другу. Результаты сопоставления данных по скорости, найден-ной сначала по (13), а затем по (14) представлены ниже на рис. 6. Уравнения (13)удобны тем, что позволяют легко реализовать принцип суперпозиции электриче-ских полей [3].Граничные условия для решения этих уравнений будут следующие:U 0γ= , 0nγЃЭϕ=ЃЭ, B 0γ=. (15)Метод решенияДля аппроксимации всех производных, входящих в математическую постанов-ку задачи, используем однородную регулярную ортогональную сетку (рис. 2) идвухсторонние симметричные разности второго порядка точности, выполненныена симметричном шаблоне (рис. 3). Далее подставляем их в МГД-уравнения и вы-ражаем значения искомых функций в центральном узле шаблона. Используем этиформулы как основные рекуррентные соотношения метода простой итерации.Течение электропроводящей жидкости в скрещенном электромагнитном поле 85y0 xi j , +1i j , -1i j i j , -1, i j +1,Рис. 2. Разностная сетка Рис. 3. Пятиточечный шаблонВсе дифференциальные уравнения математической модели имеют вид уравне-ния Пуассона:2ЃЮ ѓі = b. (16)Здесь ЃЮ2 - плоский оператор Лапласа, , , .ѓі =U B ϕ В декартовых координатах2 222 2.x yЃЭ ѓі ЃЭ ѓіЃЮ ѓі= +ЃЭ ЃЭТаким образом, значения производных искомых функций в центральном узлешаблона могут быть аппроксимированы следующим образом:21, , 1, 22 22( );i j i j i jo xx x+ −ЃЭ ѓі ѓі − ѓі +ѓі= +ѓўЃЭ ѓў(17)2, 1 , , 1 22 22( );i j i j i jo yy y+ −ЃЭ ѓі ѓі − ѓі +ѓі= +ѓўЃЭ ѓў(18)1, 1, 2 ( );2i j i jo xx x+ −ЃЭѓі ѓі −ѓі= + ѓўЃЭ ѓў(19), 1 , 1 2 ( ).2i j i jo yy y+ −ЃЭѓі ѓі −ѓі= + ѓўЃЭ ѓў(20)Подставим полученные формулы в обезразмеренные определяющие уравнения(13), получим1, 1, , 1 , 1 1, 1, ,2 2,22 2Ha 12;2 2Hai j i j i j i j i j i j i jxi jU U U UEx y xUx y+ − + − + − + + ⎛ ϕ − ϕ ⎞+ − ⎜ − ⎟ +ѓў ѓў ⎝ ѓў ⎠=+ +ѓў ѓў(21)1, 1, , 1 , 1 1, 1,2 2,2 2Ha2.2 2i j i j i j i j i j i ji jU Ux y xx y+ − + − + − ϕ +ϕ ϕ +ϕ −+ +ѓў ѓў ѓўϕ =+ѓў ѓў(22)86 А.М. Бубенчиков, Д.Б. Федин, А.С. КонончукДля системы (14) будем иметь1, 1, , 1 , 1 , 1 , 12 2,2 2Ha2;2 2i j i j i j i j i j i ji jU U U U B Bx y yUx y+ − + − + − + + ⎛ − ⎞+ − ⎜ ⎟ѓў ѓў ⎝ ѓў ⎠=+ѓў ѓў(23)1, 1, , 1 , 1 , 1 , 12 2,2 2Ha2.2 2i j i j i j i j i j i ji jB B B B U Ux y yBx y+ − + − + − + + −+ +ѓў ѓў ѓў=+ѓў ѓў(24)Результаты решения уравненийПредварительно было рассчитано течение непроводящей жидкости, т.е. случайHa = 0, при этом получено (как результат вычислений) 4 410 , B 10 − −ϕ < < , а про-фили скорости U хорошо соответствуют аналитическим распределениям, пред-ставленным в [1].Далее рассчитано собственно МГД-течение проводящей жидкости. На рис. 4 и5 представлены поверхности скоростей и изолинии продольной компоненты ско-рости. Ниже на рис. 6 представлены результаты сопоставления скоростей, най-денных с использованием двух различных форм уравнений.zxyxyz„Q„y„ѓ. 4. „P„Ђ„r„u„‚„‡„~„Ђ„ѓ„„„Ћ „ѓ„{„Ђ„‚„Ђ„ѓ„„„y „Ѓ„‚„y „N„p = 9.„R„|„u„r„p - „‚„p„ѓ„‰„u„„ „Ѓ„Ђ „…„‚„p„r„~„u„~„y„‘„} (13), „ѓ„Ѓ„‚„p„r„p - „Ѓ„Ђ „…„‚„p„r„~„u„~„y„‘„} (14)xyxy„Q„y„ѓ. 5. „I„x„Ђ„|„y„~„y„y „ѓ„{„Ђ„‚„Ђ„ѓ„„„y „Ѓ„‚„y Ha = 9.„R„|„u„r„p - „‚„p„ѓ„‰„u„„ „Ѓ„Ђ „…„‚„p„r„~„u„~„y„‘„} (13), „ѓ„Ѓ„‚„p„r„p - „Ѓ„Ђ „…„‚„p„r„~„u„~„y„‘„} (14)Течение электропроводящей жидкости в скрещенном электромагнитном поле 87x0 0,4 0,8 1,2 1,6 200,020,04U0 0,2 0,4 0,6 0,8 100,020,04Uy„Q„y„ѓ. 6. „P„‚„Ђ„†„y„|„y „ѓ„{„Ђ„‚„Ђ„ѓ„„„u„z „r „ѓ„u„‰„u„~„y„‘„‡, „Ѓ„‚„Ђ„‡„Ђ„t„‘„‹„y„‡ „‰„u„‚„u„x „€„u„~„„„‚ „{„p„~„p„|„p„Ѓ„p„‚„p„|„|„u„|„Ћ„~„Ђ „Ђ„ѓ„‘„} Ox „y Oy „ѓ„Ђ„Ђ„„„r„u„„„ѓ„„„r„u„~„~„Ђ. „R„Ѓ„|„Ђ„Љ„~„p„‘ „|„y„~„y„‘ - „‚„p„ѓ„‰„u„„„Ѓ„Ђ „…„‚„p„r„~„u„~„y„‘„} (13), „Ѓ„…„~„{„„„y„‚ - „Ѓ„Ђ „…„‚„p„r„~„u„~„y„‘„} (14)На рис. 7 - 10 представлена электромагнитная составляющая рассматриваемойМГД-задачи. Так, на рис. 7 и 8 - поверхность и изолинии потенциала индуциро-ванного электрического поля; на рис. 9 и 10 - поверхность и изолинии магнитнойиндукции.ϕxy„Q„y„ѓ. 7. „P„Ђ„r„u„‚„‡„~„Ђ„ѓ„„„Ћ „Ѓ„Ђ„„„u„~„€„y„p„|„p „y„~„t„…„€„y„‚„Ђ„r„p„~„~„Ђ„s„Ђ „Џ„|„u„{„„„‚„y„‰„u„ѓ„{„Ђ„s„Ђ „Ѓ„Ђ„|„‘xy„Q„y„ѓ. 8. „I„x„Ђ„|„y„~„y„y „Ѓ„Ђ„„„u„~„€„y„p„|„p „y„~„t„…„€„y„‚„Ђ„r„p„~„~„Ђ„s„Ђ „Џ„|„u„{„„„‚„y„‰„u„ѓ„{„Ђ„s„Ђ „Ѓ„Ђ„|„‘88 А.М. Бубенчиков, Д.Б. Федин, А.С. КонончукyxB„Q„y„ѓ. 9. „Q„p„ѓ„ѓ„‰„y„„„Ќ„r„p„u„}„p„‘ „{„Ђ„}„Ѓ„Ђ„~„u„~„„„p „r„u„{„„„Ђ„‚„p „}„p„s„~„y„„„~„Ђ„z „y„~„t„…„{„€„y„yxy„Q„y„ѓ. 10. „I„x„Ђ„|„y„~„y„y „y„~„t„…„€„y„‚„Ђ„r„p„~„~„Ђ„z „}„p„s„~„y„„„~„Ђ„z „y„~„t„…„{„€„y„yТеперь покажем воздействие внешнего электрического поля на скорость и на-правление движения жидкости. Возьмем значения внешнего электрического поля,равные -0,04, 0,04, 0,2.x0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1y0-0,040,04-0,08U0-0,040,04-0,08U43124312„Q„y„ѓ. 11. „B„Ђ„x„t„u„z„ѓ„„„r„y„u „r„~„u„Љ„~„u„s„Ђ „Џ„|„u„{„„„‚„y„‰„u„ѓ„{„Ђ„s„Ђ „Ѓ„Ђ„|„‘ „~„p „~„p„Ѓ„‚„p„r„|„u„~„y„u „y„ѓ„{„Ђ„‚„Ђ„ѓ„„„Ћ „t„r„y„w„u„~„y„‘ „w„y„t„{„Ђ„ѓ„„„y. Ha = 9. 1 - Ex = 0; 2 - Ex = -0,04; 3 - Ex = 0,04;4 - Ex = 0,2Течение электропроводящей жидкости в скрещенном электромагнитном поле 89Из рис. 11 видно, что, воздействуя на электропроводящую жидкость внешнимэлектромагнитным полем, можно управлять как величиной ее скорости, так и на-правлением ее движения.Далее покажем, что полный ток в канале равен нулю. Формула для вычисле-ния полного тока [2]:10I (x) U dy const 0x⎛ ЃЭϕ ⎞ = ⎜ + ⎟ = =⎝ ЃЭ ⎠ Ѓз . (25)Интеграл находим численно при помощи формулы трапеций. В результате этогобыл получен следующий график (рис. 12).Как видно на рис. 12, значенияполного тока приближенно можно счи-тать нулевыми. С увеличением количе-ства точек повышается и точность ре-шения, а абсолютные значения полно-го тока еще более уменьшаются.ЗаключениеТаким образом, в работе построенаматематическая модель автомодельно-го МГД-течения проводящей жидкостив скрещенном электромагнитном поле.Предложен простейший вычислитель-ный алгоритм решения данной задачи.Расчетами продемонстрирована воз-можность управления потоком вязкой,проводящей жидкости целенаправлен-ным воздействием внешнего электро-магнитного поля.

Скачать электронную версию публикации