Conductive liquid flow in charged cylinder undermagnetic field.pdf Основным результатом настоящей работы авторы считают аналитическое оп-ределение электрического напряжения во внутренних точках однородно заряжен-ного бесконечного кругового цилиндра. Обычно электрическое напряжение вы-числяется через градиент электрического потенциала, а для последнего имеетсяуравнение Пуассона, правая часть которого зависит от плотности объемного рас-пределения зарядов в пространстве. Аналитическое решение задачи о распределе-нии электрического потенциала от заряженного кругового цилиндра неизменнобудет выражено через ряды по функциям Бесселя различных порядков, причемсами эти функции, как известно, имеют особенность в нуле. Если же отказаться отнахождения электрического потенциала и попытаться вычислить электрическоенапряжение, исходя непосредственно из определения, как силу, действующую напробный заряд, помещенный в данную точку, то появляется надежда не использо-вать специальные функции в записи выражений, определяющих действие заря-женного цилиндра. Эта надежда и вовсе превращается в уверенность, когда дей-ствие заряженных поверхностей, представляющих собой продольные сечениякругового цилиндра, мы заменяли на действие от двух заряженных линий, прохо-дящих в плоскостях нормальных сечений цилиндра через центры масс соответст-вующих дуг окружностей. Последнее оказывается возможным из-за наличия осе-вой симметрии электростатической задачи, а также вследствие математическогосовпадения выражений, представляющих закон Кулона и гравитационный законНьютона.Представим себе, что однородный круговой цилиндр оказывает гравитацион-ное воздействие на физическую точку, расположенную внутри него. Опуская израссматриваемой точки перпендикуляр на ось цилиндра, рассечем цилиндр плос-костью, проходящей через рассматриваемую точку и одновременно нормальнойпо отношению к построенному перпендикуляру. Теперь рассмотрим систему, со-стоящую из трех независимых частей: точки и двух составляющих цилиндра. Позаконам классической механики их силовое взаимодействие, а также движение1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований(грант РФФИ № 08-01-00484-а).Течение проводящей жидкости в электрическом поле заряженного цилиндра 91будет осуществляться только по направлению построенного перпендикуляра.Причин же, вызывающих вращение частей цилиндра, не будет. Таким образом,движение будет только поступательным. Как известно, такое движение полно-стью определяется движением центров масс элементов системы. Поэтому покой иотвечающее ему гравитационное и электрическое взаимодействие будут эквива-лентны состоянию равновесия и силовому взаимодействию точки с линиями цен-тров масс нормальных элементарных сечений цилиндра.Таким образом нам удалось построить аналитическое решение электростати-ческой задачи, выраженное в элементарных функциях. После чего было построе-но численное решение магнитогидродинамической задачи об автомодельном те-чении электропроводящей жидкости в прямоугольном канале во внешнем одно-родном магнитном поле, а также электрическом поле, определенном конфигура-цией заряженного цилиндра.Исследованию автомодельных МГД-течений посвящено относительно многоработ [1 - 5], выполняемых группой сотрудников под руководством профессораА.М. Бубенчикова. В настоящей работе мы лишь представили пример одной изуказанного класса задач, которая содержит нетривиальную конфигурацию внеш-него электрического поля.Физическая постановка задачи и математическая модельУстановившееся движения вязкой электропроводящей жидкости описываетсястационарным уравнением Навье - Стокса, учитывающим действие силы Лоренца(пондеромоторной силы) [6]:( ) 2ρ V ⋅∇ V = −grad p + μ∇ V + j . B . (1)Причем плотность электрического тока j определяется обычно законом Ома:( ) 0 j = σ E +V  B . (2)В (1), (2) ƒ - плотность жидкости; , , E V B - векторы скорости, электриче-ского напряжения и магнитной индукции, ƒ0 - электропроводность жидкости, ƒ -ее вязкость, р - давление.По принципу суперпозиции электрических полей, входящая в (2) величинаэлектрического напряжения складывается из индуцированной движением жидко-сти составляющей in E = −gradϕ и внешнего электрического напряжения 0 E :grad 0 E = − ϕ+ E . (3)Для потенциала индуцированного электрического поля ƒ в [7] получено урав-нение( ) 2  ϕ = div V  B . (4)Рассмотрим теперь течение на участке стабилизированного движения в посто-янном внешнем магнитном поле и электрическом поле, заданным заряженнымцилиндром.0B - вектор напряженности внешнего стационарного однородного магнитногополя - задан и является постоянной величиной при переходе от точки к точке вовнешности канала, 0 W - вектор скорости входящего потока. Цилиндр выполнениз непроводящего материала и является проницаемым для магнитного поля.92 М.А. Бубенчиков, А.А. Бугаенко0 W 0 zxy0 BРис. 1. Физическое пространство задачиНа поверхности цилиндра заданной длины равномерно распределен некоторыйзаряд Q. Для заданной конфигурации векторных полей, отвечающих автомодель-ному МГД-течению: V = (0,0,W) , 0 B = (0,B , B) , 0 0 0 ( , ,0) x yE = E E уравнения (1)и (4) перепишутся в виде20 00xpW WB El xƒ ⎛ ϕ ⎞ ƒ = − + ƒ⎜ + − ⎟⎝  ⎠; (5)20 .WBx ϕ=−(6)Дифференциальные уравнения (5) и (6) составляют основу математическоймодели рассматриваемых ниже процессов.Обезразмеривание определяющих уравненийЕсли в качестве масштабов скорости и электрического потенциала выбратьследующие величины:( )0 0* * 1/ 20, ,l p l pWƒ ƒ= ϕ =ƒ ƒƒа в качестве геометрического масштаба взять x* y* z* l0 = = = и перейти в уравне-ниях (5), (6) к безразмерным искомым величинам ,W ϕ по формулам* , * ,W =W ⋅W ϕ = ϕ ⋅ϕто в безразмерной форме определяющие уравнения будут иметь вид2 201 Ha HaxW W Ex⎛ ϕ ⎞  = − + + ⎜ − ⎟⎝  ⎠; (7)2Ha .Wx ϕ= −(8)Здесь и в дальнейшем по соображениям простоты черта над знаками функцийскорости и электрического потенциала будет опущена; W - продольная компонен-та вектора скорости, ƒ - потенциал индуцированного электрического поля;Течение проводящей жидкости в электрическом поле заряженного цилиндра 93( )1/ 20 0 0Ha = l B σ / μ - число Гартмана, определяющее порядок отношения элек-тромагнитной силы (силы Лоренца) к силе вязкого трения. Под l0 здесь и нижепонимается поперечный размер прямоугольного канала.Уравнения (13), (14) удобны тем, что позволяют легко реализовать принципсуперпозиции электрических полей.Вычисление электрического напряжения в точках, расположенныхвнутри кругового однородно заряженного бесконечного цилиндраПредварительно разобьем заряженный цилиндр на элементарные части (ци-линдры высотой dl) сечениями, перпендикулярными оси цилиндра. Ввиду сим-метрии кругового цилиндра, а также математического совпадения выражений,представляющих закон Кулона и гравитационный закон Ньютона, каждая точка,имеющая пробный заряд и находящаяся внутри цилиндра, испытывает от заря-женной поверхности тоже действие, что и от заряженных прямых, проходящихчерез центры масс соответствующих дуг элементарных сечений цилиндра. При-чем на этих двух линиях будет сосредоточен весь заряд цилиндра. Возьмем однуиз этих линий и найдем суммарную напряженность электрического поля в рас-сматриваемой точке, генерируемого указанной заряженной прямой.dlNMСEϕE EРис. 2. К расчету электрического напряжения от заряженной линииИз представленного рисунка видно, что если складывать электрические на-пряжения от действия каждого элементарного участка бесконечной линии, то го-ризонтальные составляющие напряжений взаимно уничтожаются. Поэтому необ-ходимо сложить лишь вертикальные составляющие, причем это можно сделатьдля одной из половинок линий, а потом результат умножить на два. В связи сэтим модуль суммарного электрического напряжения определяется следующимобразом:20sin2l dlEϕ⟴=Бч .Здесь lσ = γRσ , ƒ - поверхностная плотность распределения зарядов, ρ = MN -расстояние от рассматриваемой точки до текущей точки на заряженной линииϕ = ЃЪMNC . Вводя обозначения h = MС и l = NС, выписанный интеграл можнопреставить в виде( ) ( ) 3/ 2 3/ 22 2 20 0221ll dl dxE hhh l xЃ‡ Ѓ‡σ= σ =+ +Ѓз Ѓз .94 М.А. Бубенчиков, А.А. БугаенкоПоследнее равенство получено при использовании заменыlxh= . Сделаемеще одну замену переменных 2u = x + x +1 , тогда интеграл в последнем равен-стве преобразуется следующим образом:( ) ( ) ( ) 3/ 2 2 22 20 0 04 2 21 1 1dx udu dtx u tЃ‡ Ѓ‡ Ѓ‡= = =+ + +Ѓз Ѓз Ѓз .В результате электрическое напряжение от двух заряженных линий опреде-лится формулой( ) 04 4l bl bE rh hσ σ= − , (9)где l h - расстояние от рассматриваемой точки до линии, порожденной малымсектором цилиндра, b h - соответственно большим сектором цилиндра.Если все линейные размеры, как и ранее, отнести к * 0l = l , а поверхностнуюплотность распределения зарядов ƒ к ( )12* 0 σ p μσ = Δ , то формулу (9) можносчитать обезразмеренной.Легко видеть, что величина электрического напряжения в случае круговогоцилиндра зависит лишь от удаления рассматриваемой точки от оси канала, а про-екция вектора электрической напряженности на ось 0x определится следующимобразом:( ) 0 0 ( , ) cos 8 x l bxE x y E r Rh h r⎛ ѓБ ѓО − ѓБ ⎞ = ⋅ ѓА = ѓР ⎜ − ⎟⎝ ⎠, (10)где sin sin 2 2arccos , , ,r l R b Rh r h r r x yR⎛ ⎞ ѓБ ѓБ ѓБ = ⎜ ⎟ = − + = + = +⎝ ⎠ ѓБ ѓО − ѓБ.xrMyβx0yРис. 3. К определению проекций электрического напряженияна оси декартовых координатТечение _______проводящей жидкости в электрическом поле заряженного цилиндра 95Таким образом, уравнения (7), (8), составляющие математическую модель, за-мыкаются в рассматриваемом случае соотношением (10).Эти уравнения необходимо интегрировать при следующих граничных услови-ях: пусть ƒ - есть контур поперечного сечения прямоугольного канала, тогдаW 0Γ=; (11)0nΓЃЭϕ=ЃЭ. (12)Техника проведения расчетовОдной из методик численной реализации (которой мы и будем пользоваться)является метод конечных разностей. Конечно-разностные методы описывают не-известную функцию через ее значения в узловых точках разностной сетки. Такимобразом, следуя методу конечных разностей, производные заменяются своимиразностными аналогами. В итоге получаем систему алгебраических уравненийдля определения неизвестной физической величины.y0 xi j , +1i j , -1i j i j , -1, i j +1,Рис. 4. Разностная сетка Рис. 5. Пятиточечный шаблонВсе производные, входящие в математическую постановку задачи, будем ап-проксимировать с использованием двухсторонних симметричных разностей вто-рого порядка точности. Далее подставляем их в МГД-уравнения и выразим значе-ния искомых функций в центральном узле шаблона. Полученные формулы будемиспользовать как основные рекуррентные соотношения метода простой итерации.Дифференциальные уравнения математической модели имеют вид уравненияПуассона:2ЃЮ Ф = b. (13)Здесь 2ЃЮ - плоский оператор Лапласа, Ф =W,ϕ. В декартовых координатах2 222 2Ф ФФ .x yЃЭ ЃЭЃЮ = +ЃЭ ЃЭУпомянутые выше аппроксимации производных будут выглядеть следующимобразом:21, , 1, 22 22( ),i j i j i j W W W Wo xx x+ −ЃЭ − += +ѓўЃЭ ѓў96 М.А. Бубенчиков, А.А. Бугаенко21, , 1, 22 22( ),W Wi j Wi j Wi jo yy y+ −ЃЭ − += +ѓўЃЭ ѓў1, 1, 2 ( ).2i j i jo xx x+ − ЃЭϕ ϕ − ϕ= + ѓўЃЭ ѓўПодставляя полученные выражения в (7) и выражая,i jW , найдем1, 1, , 1 , 1 1, 1, ,2 2,22 2Ha( ) 12.2 2Hai j i j i j i j i j i j i jxi jW W W WEx y xWx y+ − + − + −+ + ϕ + ϕ+ − − +ѓў ѓў ѓў=+ +ѓў ѓў(14)Проводя аналогичную процедуру в (8) для,ϕi j , получим1, 1, , 1 , 1 1, 1,2 2,2 22.2 2i j i j i j i j i j i ji jW WHax y xx y+ − + − + − ϕ +ϕ ϕ +ϕ ++ +ѓў ѓў ѓўϕ =+ѓў ѓў(15)Здесь Δx = 1/M , М - количество точек по x, Δy =1/ N , N - количество точек по y.Результаты расчетов и их анализПредварительно были выполнены расчеты течений проводящей жидкости вотсутствие внешнего электромагнитного поля и получено хорошее согласованиерезультатов с теорией Блазиуса [8]. Далее мы рассмотрели случай автомодельногоМГД-течения при наличии лишь внешнего магнитного поля (электрическое от-сутствует).Как показывают вычисления, проведенные в этом случае, наличие магнитногополя оказывает тормозящее действие на поток. Так, при Ha = 5 максимальная ско-рость в канале квадратного сечения почти в два раза меньше в сравнении со слу-чаем На = 0.Ниже представлены результаты расчетов течения в скрещенном электромаг-нитном поле, составленном однородным полем стационарного магнита и полемзаряженного цилиндра.Рис. 6, а - 9, а для поверхности скорости показывают, что конфигурациявнешнего электрического поля, определяемая заряженным цилиндром, приводитк появлению в канале обратных перемещений жидкости. Это выражается в том,что часть жидкости под действием пондеромоторной силы течет против направ-ления действия поверхностных сил (против градиента давления). Последнее гово-рит о возможности управления потоками проводящей жидкости внешними элек-тромагнитными полями.Для потенциала индуцированного электрического поля из рис. 6, б - 9, б вид-но, что на боковых поверхностях прямоугольного канала движением электропро-водящей жидкости в поперечном магнитном поле индуцируется разность потен-циалов. Последнее пдтверждает возможность создания на этом принципе МГД-генератора.Течение проводящей жидкости в электрическом поле заряженного цилиндра 97Wxyϕxyа б„Q„y„ѓ. 6. „P„Ђ„r„u„‚„‡„~„Ђ„ѓ„„„y „ѓ„{„Ђ„‚„Ђ„ѓ„„„y (а) „y „Ѓ„Ђ„„„u„~„€„y„p„|„p (б) „y„~„t„…„€„y„‚„Ђ„r„p„~„~„Ђ„s„Ђ „Џ„|„u„{„„„‚„y„‰„u„ѓ„{„Ђ„s„Ђ „Ѓ„Ђ„|„‘„Ѓ„‚„y R = 1 „y ѓР = 0,01Wxyϕxyа б„Q„y„ѓ. 7. „P„Ђ„r„u„‚„‡„~„Ђ„ѓ„„„y „ѓ„{„Ђ„‚„Ђ„ѓ„„„y (а) „y „Ѓ„Ђ„„„u„~„€„y„p„|„p (б) „y„~„t„…„€„y„‚„Ђ„r„p„~„~„Ђ„s„Ђ „Џ„|„u„{„„„‚„y„‰„u„ѓ„{„Ђ„s„Ђ „Ѓ„Ђ„|„‘„Ѓ„‚„y R = 1 „y ѓР = 0,02Wxyϕxyа б„Q„y„ѓ. 8. „P„Ђ„r„u„‚„‡„~„Ђ„ѓ„„„y „ѓ„{„Ђ„‚„Ђ„ѓ„„„y (а) „y „Ѓ„Ђ„„„u„~„€„y„p„|„p (б) „y„~„t„…„€„y„‚„Ђ„r„p„~„~„Ђ„s„Ђ „Џ„|„u„{„„„‚„y„‰„u„ѓ„{„Ђ„s„Ђ „Ѓ„Ђ„|„‘„Ѓ„‚„y R = 1 „y ѓР = 0,0398 М.А. Бубенчиков, А.А. БугаенкоWxyϕxyа б„Q„y„ѓ. 9. „P„Ђ„r„u„‚„‡„~„Ђ„ѓ„„„y „Ѓ„‚„Ђ„t„Ђ„|„Ћ„~„Ђ„z „{„Ђ„}„Ѓ„Ђ„~„u„~„„„Ќ „ѓ„{„Ђ„‚„Ђ„ѓ„„„y (а) „y „Ѓ„Ђ„„„u„~„€„y„p„|„p (б)„y„~„t„…„€„y„‚„Ђ„r„p„~„~„Ђ„s„Ђ „Џ„|„u„{„„„‚„y„‰„u„ѓ„{„Ђ„s„Ђ „Ѓ„Ђ„|„‘ „Ѓ„‚„y R = 0,75 „y ѓР = 0,03

Скачать электронную версию публикации