IF-groups.pdf Исследованию абелевых групп, содержащих собственные подгруппы, изо-морфные самой группе, посвящен ряд работ. Например, в [1] рассматривалисьследующие группы:I-группы - группы, изоморфные собственной подгруппе;IP-группы - группы, изоморфные собственной сервантной подгруппе;ID-группы - группы, изоморфные собственному прямому слагаемому.В частности, в [1] доказано, что если G - редуцированная абелева группа, та-кая, что G/pG - конечная группа для любого простого числа p, то G не являетсяID-группой.В [2] исследуются абелевы p-группы, не содержащие собственных сервантныхплотных подгрупп, изоморфных самой группе.В [3] рассматриваются квазиминимальные группы. (Абелева группа A называ-ется квазиминимальной, если она изоморфна всем ее подгруппам той же мощно-сти, что и сама группа A.) В [3] доказано, в частности, что если G - бесконечнаяабелева p-группа, то G - квазиминимальная группа тогда и только тогда, когдаG ≅ Z(p†) или G является прямой суммой циклических групп порядка p.В настоящей статье исследуются абелевы группы, содержащие собственныевполне характеристические подгруппы, изоморфные самой группе.Определение 1. Абелеву группу назовем IF-группой, если она изоморфна не-которой собственной вполне характеристической подгруппе.Всюду далее в этой статье под словом «группа» будем понимать аддитивнозаписанную абелеву группу.Для исследования IF-групп нам понадобятся следующие результаты.Теорема 1 [4, теорема 2.8]. Пусть k kB B¶= ⊕N, где Bk = ⊕ Z(pk). L - вполне харак-теристическая подгруппа группы B тогда и только тогда, когда nkk kL p B¶= ⊕N, где:1 Авторы поддержаны ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на2009-2013 годы», Государственный контракт П 937 от 20 августа 2009 года.6 С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская (Савинкова)1) nk „ k для всех k ¶ N;2) nk „ nk+r „ nk+r для всех k ¶ N, r ¶ N.Теорема 2. Если i I iA A¶= ⊕ и S - вполне характеристическая подгруппа группыA, то ( i ) i IS S A¶= ⊕ ½ , где S ½ Ai - вполне характеристическая подгруппа группы Aiдля каждого i ¶ I.Эту теорему можно доказать, обобщая рассуждения, проведенные в [5] придоказательстве леммы 9.3.Рассмотрим вначале случай ограниченных групп.Теорема 3. Всякая ограниченная p-группа не является IF-группой.Доказательство. Пусть B - ограниченная p-группа и pm - наибольший изпорядков элементов группы B. Тогда1mk kB B== ⊕ , где Bk = ⊕ Z(pk) [5, с. 107]. ПустьL - вполне характеристическая подгруппа группы B. Тогда по теореме 11 21 2 ... m n n nL = p B ⊕ p B ⊕ ⊕ p Bm ,где nk удовлетворяют неравенствам 1) и 2) этой теоремы. Если nm = 0, то из того,что n1 „ n2 „…„ nm = 0, получаем, что L = B1 ⊕ B2 ⊕…⊕ Bm = B, а следовательно,L не является собственной подгруппой группы B. Значит, nm … 1. Имеемnm ( m nm )p Bm p = ⊕Z − , откуда следует, что в группе L нет циклических прямыхслагаемых порядка pm и поэтому L не изоморфна B. Лемма 4. Пусть i i IA A¶= ⊕ и пусть i i i I i IC C C¶ ¶= ⊕ = ⊕ ‰ , где Ci и Ci‰ - подгруппыгруппы Ai для каждого i ¶ I. Тогда Ci = Ci‰ для каждого i ¶ I.Доказательство. Покажем, что Ci º Ci‰ . Пусть ci ¶ Ci. Тогда ci ¶ C и, следо-вательно, i i i Ic C¶¶ ⊕ ‰ . Имеем 1 2 ... ci ci ci cik = ‰ + ‰ + + ‰ , где ci j Ci j ‰ ¶ ‰ , ij ¶ I, j = 1, k . Таккак Ci и Ci‰ - подгруппы группы Ai для каждого i ¶ I, то ci ¶ Ai, ci j Ai j ‰ ¶ . Учиты-вая, что A - прямая сумма групп Ai (i ¶ I), получаем, что для некоторого j( j = 1, k ) ij = i и ci j ci ‰ = , а для всех остальных j 0 ci j ‰ = . Значит, ci ¶Ci‰ . Анало-гично, Ci‰ º Ci для каждого i ¶ I. Следовательно, Ci = Ci‰ для каждого i ¶ I. Теорема 5. Пусть i i IB B¶= ⊕ , где Bi - вполне характеристическая подгруппагруппы B для каждого i ¶ I. B является IF-группой тогда и только тогда, когдасуществует хотя бы один индекс i ¶ I, для которого группа Bi является IF-группой.Доказательство. Необходимость. Пусть S - собственная вполне характери-стическая подгруппа группы B, такая, что B ≅ S. Имеем i i IS S¶= ⊕ , где Si = S ½ Bi -вполне характеристическая подгруппа группы Bi для каждого i ¶ I. Пусть ϕ - изо-морфное отображение группы B на S. ϕ можно рассматривать как эндоморфизмгруппы B. Обозначим через ϕi (i ¶ I) ограничение эндоморфизма ϕ на подгруппеBi. Так как Bi - вполне характеристическая подгруппа группы B, то ϕi - эндомор-физм группы Bi для каждого i ¶ I. Пусть b ¶ B, 1 2 ... b bi bi bik = + + + , где bi j Bi j ¶ ,IF-группы 7ij ¶ I, j = 1, k . Имеем( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ... b bi bi bik bi bi bik i bi i bi ik bik ϕ = ϕ + + + = ϕ +ϕ + +ϕ = ϕ +ϕ + +ϕ .Следовательно, i ii IB B¶ϕ =”ϕ . Так как ϕi Bi º Bi, то i i i i i I i IB B¶ ¶”ϕ = ⊕ ϕ [5, с. 50].Итак, i i i IS B B¶= ϕ = ⊕ ϕ и i i IS S¶= ⊕ , где ϕi Bi и Si - подгруппы группы Bi для каждо-го i ¶ I. По лемме 4 ϕi Bi = Si. Так как ϕ - изоморфизм, то Ker ϕ = 0 и, следова-тельно, Ker ϕi = 0 для каждого i ¶ I. Значит, ϕi - изоморфное отображение Bi на Si.Учитывая, что S ƒ B, получаем, что существует хотя бы один индекс i0 ¶ I, такой,что Bi0 Si0 ≅ и Bi0 Si0 ƒ , т.е. группа Bi0 является IF-группой.Достаточность. Пусть i i IB B¶= ⊕ , где Bi является вполне характеристическойподгруппой группы B для каждого i ¶ I. Пусть для некоторого i0 ¶ I Bi0 являетсяIF-группой. Докажем, что B является IF-группой. Так как Bi0 - IF-группа, то су-ществует собственная вполне характеристическая подгруппа Si0 группы Bi0 , та-кая, что Si0 Bi0 ≅ . Пусть 00i j I jj iS S B¶ƒ= + ⎛ ⊕ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠. По свойствам прямых сумм [5, с. 50]получаем, что 00i j I jj iS S B¶ƒ= ⊕⎛ ⊕ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠. Так как Si0 Bi0 ƒ , то S - собственная подгруппагруппы B. Из того, что Si0 Bi0 ≅ , получаем, что0 00 0i j I j i j I j i I ij i j iS S B B B B B¶ ¶ ¶ƒ ƒ= ⊕⎛ ⊕ ⎞ ≅ ⊕⎛ ⊕ ⎞ = ⊕ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠,т.е. S ≅ B. Пусть © - произвольный эндоморфизм группы B и s ¶ S. Тогда0 1 2 ... s si bi bi bik = + + + + , где bi j Bi j ¶ , ij ¶ I, j = 1, k , si0 Si0 ¶ . Имеем( ) 0 1 2 0 1 2 ... ... s si bi bi bik si bi bi bik © = © + + + + = © + © + © + + © .Так как Bi j - вполне характеристические подгруппы группы B для каждогоj = 1, k , то bi j Bi j © ¶ . Si0 является вполне характеристической подгруппой груп-пы Bi0 , а Bi0 является вполне характеристической подгруппой группы B. Значит,Si0 - вполне характеристическая подгруппа группы B, и поэтому si0 Si0 © ¶ . Полу-чили, что ©s ¶ S для произвольного элемента s ¶ S и, следовательно, S - вполнехарактеристическая подгруппа группы B. Таким образом, B содержит собствен-ную вполне характеристическую подгруппу S, такую, что S ≅ B, т.е. B - IF-группа. Следствие 6. Периодическая группа является IF-группой тогда и только тогда,когда некоторая ее p-компонента является IF-группой.Доказательство. Действительно, пусть A - периодическая группа. Тогдаp pA = ⊕ A [5, с. 55], где Ap - p-компоненты группы A. Ap являются вполне характе-ристическими подгруппами группы A. По теореме 5 получаем утверждение след-ствия. 8 С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская (Савинкова)Теорема 7. Всякая ограниченная группа не является IF-группой.Доказательство. Пусть В - ограниченная группа. Тогда В - периодическаягруппа. Понятно, что любая p-компонента группы B - также ограниченная p-группа. Поскольку по теореме 3 ограниченные p-группы не являются IF-группами, то в силу следствия 6 группа В не является IF-группой. Рассмотрим нередуцированные и делимые p-группы.Пусть A - p-группа. Через A[pk], где k - целое неотрицательное число, обозна-чим, как обычно [5, с. 15], следующую подгруппу группы A: {a¶A| pka = 0}; еслиже k = †, то полагаем A[p†] = A. Если a - элемент порядка pk группы A, то черезe(a) обозначим его экспоненту, то есть e(a) = k. Далее нам понадобится следую-щий результат, в котором мы используем то, что всякую абелеву группу A можнопредставить в виде 0 p pA = R⊕ D ⊕⎛⎜⊕D ⎞⎟⎝ ⎠, где R - редуцированная группа, D0 -делимая группа без кручения, Dp - делимые p-группы (p пробегает множествовсех простых чисел; некоторые из групп R, D0, Dp могут быть нулевыми).Теорема 8 [6]. Пусть A - абелева группа, 0 p pA = R⊕ D ⊕⎛⎜⊕D ⎞⎟⎝ ⎠, где R - реду-цированная группа, D0 - делимая группа без кручения, Dp - делимые p-группы.Подгруппа S группы A вполне характеристична в A тогда и только тогда, когдаона имеет один из следующих двух видов:1) ' k pp pS = R ⊕⎜⎛⊕D ⎡⎣ p ⎤⎦ ⎟⎞ ⎝ ⎠, где p pR‰ = ⊕R ‰ - периодическая вполне характери-стическая подгруппа группы R ( Rp‰ - p-компонента группы R‰ ) и( ) { } sup | p p k e r r R‰ … ¶ (kp - целое неотрицательное число или символ †);2) ' 0 p pS = R ⊕ D ⊕⎛⎜⊕D ⎞⎟⎝ ⎠, где R‰ - вполне характеристическая подгруппа груп-пы R.Теорема 9. Нередуцированная p-группа A является IF-группой тогда и толькотогда, когда ее редуцированная часть является IF-группой.Доказательство. Необходимость. Пусть A - нередуцированная p-группа. То-гда она имеет вид A = R⊕Dp, где Dp - делимая p-группа, R - редуцированная p-группа. Пусть A - IF-группа, тогда существует такая вполне характеристическаяподгруппа S группы A, что S ≅ A и S ƒ A. По теореме 8 S имеет один из следующихдвух видов:1) k pS = R‰⊕ Dp ⎡⎣ p ⎤⎦ , где kp … sup{e(r ) | r ¶ R‰} , R‰ - вполне характеристиче-ская подгруппа группы R;2) S = R‰⊕ Dp , R‰ - вполне характеристическая подгруппа группы R.Рассмотрим первый случай. Пусть kp ƒ †, тогда k p { | k p 0}Dp ⎡⎣ p ⎤⎦ = d ¶ Dp p d =- ограниченная группа, а значит, она не содержит делимых подгрупп. Следова-тельно, S - редуцированная группа. Так как A - нередуцированная группа и S ≅ A,то получаем противоречие.Если kp = †, то первый случай совпадет со вторым.IF-группы 9Рассмотрим второй случай. Пусть S = R‰⊕ Dp , где R‰ - вполне характеристи-ческая подгруппа группы R. Так как A = R⊕Dp и S ≅ A, то получаем, что R‰ ≅ R иR‰ - собственная подгруппа группы R. Значит, R - IF-группа.Достаточность. Пусть A - нередуцированная p-группа вида A = R⊕Dp. ПустьR - IF-группа. Тогда существует вполне характеристическая подгруппа R‰ груп-пы R, такая, что R‰ ≅ R и R‰ ƒ R . Рассмотрим группу S = R‰⊕ Dp . S - собствен-ная вполне характеристическая подгруппа группы A и S ≅ A. Следовательно, A -IF-группа. Теорема 10. Делимая p-группа не является IF-группой.Доказательство. Пусть A - делимая p-группа, тогда A = Dp. Предположимпротивное, пусть A - IF-группа. Тогда существует такая вполне характеристиче-ская подгруппа S группы A, что S ≅ A и S ƒ A. Тогда по теореме 8 имеют местоследующие случаи:1) k pS = Dp ⎡⎣ p ⎤⎦ , где kp- любое целое неотрицательное число или †;2) S = Dp.Рассмотрим первый случай. Если kp ƒ †, то k p { | k p 0}S = Dp ⎣⎡ p ⎦⎤ = d ¶Dp p d =- ограниченная группа, а значит, она не является делимой группой. Так как A -делимая p-группа и S ≅ A, то получаем противоречие.Если kp = †, то S = Dp, и первый случай совпадет со вторым.Рассмотрим второй случай. Пусть S = Dp. Так как A = Dp, то S не является соб-ственной подгруппой группы A. Значит, A - не является IF-группой. Теорема 11. Делимая периодическая группа не является IF-группой.Доказательство. Пусть A - делимая периодическая группа. Тогда p pA = ⊕ A ,где Ap - делимые p-группы. Применяя теорему 10 и следствие 6, получаем, что Aне является IF-группой. Теорема 12. Для нередуцированной периодической группы A следующие ус-ловия эквивалентны:1) A является IF-группой;2) некоторая p-компонента группы A не является делимой группой и имеет ре-дуцированную часть, которая является IF-группой;3) редуцированная часть группы A является IF-группой.Доказательство.1) c 2) Пусть A - нередуцированная периодическая группа, являющаяся IF-группой. Тогда по следствию 6 некоторая ее p-компонента является IF-группой,причем по теореме 10 эта p-компонента не является делимой группой. Применяятеорему 9, получаем, что в этой p-компоненте ее редуцированная часть являетсяIF-группой.2) c 3) Каждую из p-компонент Ap группы A можно записать в видеAp = Rp⊕Dp, где Rp - редуцированная p-группа, а Dp - делимая p-группа. Тогда ре-дуцированная часть R группы A может быть записана в виде p pR = ⊕R . Так какхотя бы одна из групп Rp в силу условия 2 является IF-группой, то по следствию 6группа R является IF-группой.10 С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская (Савинкова)3) c 1) Пусть Rp и Dp соответственно редуцированная и делимая части p-ком-поненты Ap группы A, то есть Ap = Rp⊕Dp. Тогда имеем ( p ) ( p ) p pA = ⊕R ⊕ ⊕D .Понятно, что p p⊕R - редуцированная часть группы A. В силу следствия 6 для не-которого простого числа p группа Rp является IF-группой. Применяя теорему 9,получаем, что для этого простого числа p группа Ap является IF-группой, а тогдапо следствию 6 и группа A является IF-группой. Теоремы 11 и 12 сводят исследование периодических IF-групп к исследова-нию редуцированных примарных IF-групп.Перейдем теперь к рассмотрению сепарабельных p-групп. Рассмотрим вначалепрямые суммы циклических p-групп. Так как любая ограниченная группа не явля-ется IF-группой, то нам нужно рассмотреть неограниченные группы.Обозначим через N0 множество всех целых неотрицательных чисел, а черезfA (k) - k-й инвариант Ульма - Капланского p-группы A, то есть ранг факторгруп-пы pkA[p] / pk+1A[p]. Нам понадобится следующее определение.Определение 2. Пусть A - сепарабельная p-группа. Строго возрастающую по-следовательность неотрицательных целых чисел i0, i1,…, in,… назовем допустимойдля группы A, если для инвариантов Ульма - Капланского этой группы выполня-ется система равенств( ) ( )1 1, 0kkiA Ai if k f i k+ −== ” ¶ N . (1)Теорема 13. Пусть B - неограниченная p-группа, являющаяся прямой суммойциклических групп и пусть все инварианты Ульма - Капланского группы B ко-нечны. Группа B не является IF-группой тогда и только тогда, когда для нее су-ществует только одна допустимая последовательность и эта последовательностьимеет вид 0, 1, 2,…Доказательство. Необходимость. Запишем группу B в виде k kB B¶= ⊕N, гдеBk = ⊕ Z(pk). Заметим, что для инвариантов Ульма - Капланского группы B спра-ведливы равенства: fB (m) = r(Bm+1) для всякого m ¶ N0, где r(Bm+1) - ранг группыBm+1. Пусть группа B не является IF-группой. Предположим, что для группы Bсуществует допустимая последовательность r0, r1, r2,…, отличная от допустимойпоследовательности 0, 1, 2,… В силу конечности инвариантов Ульма - Каплан-ского неограниченной p-группы B имеем r0 ƒ 0.Построим подгруппу L группы B следующим образом:0 0 00 0 01 1 1 11 1 1 12 2 2 2 32 2 2 2 32 11 2 1 21 1 11 2 32 2 1 31 2 3... ...... ...... ... ...,r r rr r rr r r rr r r rr r r r rr r r r rL pB p B p B p B p Bp B p B p B p Bp B p B p B p B p B++ +− − ++ + +− − − −+ + += ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕то естьnkL = ⊕p Bk ,где nrj nrj 1 rj j += = − (j ¶ N0); 1 nrj +k rj j k = − + − (1 < k < rj+1 - rj + 1). L - собст-венная подгруппа группы B. Используя теорему 1, получим, что L - вполне харак-теристическая подгруппа группы B. Более того, L ≅ B в силу равенства соответст-IF-группы 11вующих инвариантов Ульма - Капланского. Действительно, из построения груп-пы L и с учетом равенств (*) получаем для всякого m ¶ N0fL (m) = fB (rm) + fB (rm+1) + … + fB (rm+1 - 1) = fB (m).Значит L ≅ B, но L ƒ B. Это противоречит тому, что B не является IF-группой.Достаточность. Если L - вполне характеристическая подгруппа группы B, тосогласно теореме 1 она имеет видnkk kL p B¶= ⊕N,где nk удовлетворяет неравенствам 1) и 2) теоремы 1. Имеем( ) ( ( )) ( )( ( ) ) ( ( ) )( ( ) )| 1 | 1| 1 | 11 | 1 .k k kkn n n nL n N k k n N k knk k k kk N k NB kk Nf n r p B p B Z p r p B k n nr p B k n n r B k n nf k k n n+¶ ¶¶ ¶¶= ⊕ =⊕ = ⊕ − = + == − = + = − − = == − − − =” ””Таким образом,L ( ) ( B ( 1) | k 1 )k Nf n f k kn n¶= ” − − − = . (2)Из теоремы 1 следуют такие соотношения:(k+1) - nk+1 - 1 … (k+1) - (nk+1) - 1 = k - nk - 1; (3)(k+1) - nk+1 - 1 „ (k+1) - nk - 1 = (k - nk - 1) + 1. (4)Пусть n min{ 1| k 1 } k Ni k kn n¶= − − − = . Тогда из (2) - (4) получаем( ) ( )n 1 1niL Bi if n f i+ −== ” . (5)Среди сумм правой части равенств (5) могут быть и вырожденные, т.е. со-стоящие из одного слагаемого (это получается в случае, когда in+1 = in+1). ПустьL ≅ B. Тогда с учетом равенства (5) для всякого целого неотрицательного числа n( ) ( ) ( )n 1 1niB L Bi if n f n f i+ −== = ” .Последовательность i0, i1,…, in,… является допустимой для группы B, и поэто-му в силу условия теоремы следует, что in = n для всякого n. Учитывая, чтоn min{ 1| k 1 } k Ni k kn n¶= − − − = , получаем nk = 0 для всякого k, т.е. L = B. Значит, B неявляется IF-группой. Рассмотрим произвольные сепарабельные p-группы.Теорема 14. Сепарабельная p-группа не является IF-группой, если ее базиснаяподгруппа не является IF-группой.Доказательство. Пусть A - сепарабельная p-группа, у которой базисная под-группа B не является IF-группой. Не умаляя общности, можно считать, что A -редуцированная p-группа. Если A - ограниченная группа, то в силу теоремы 3 Aне является IF-группой (заметим, что в этом случае базисная подгруппа группы Aсовпадает с A). Пусть A - неограниченная группа. Предположим, что A - IF-группа. Тогда существует собственная вполне характеристическая подгруппа S12 С.Я. Гриншпон, М.М. Никольская (Савинкова)группы A, такая, что S ≅ A. Так как A - редуцированная сепарабельная p-группа,то A не содержит элементов бесконечной высоты [7, с. 7]. S - неограниченнаявполне характеристическая подгруппа группы A, и поэтому S - широкая подгруп-па группы A [4, с. 423]. Следовательно, S ½ B - базисная подгруппа группы S[4, с. 422].Если S ½ B = 0, то, учитывая, что факто-ргруппа любой p-группы по ее базис-ной подгруппе является делимой группой, получаем, что S - делимая группа, чегобыть не может, так как A - редуцированная группа.Если S ½ B = B, то S содержит базисную подгруппу B группы A. ИмеемS + B = A, так как S - широкая подгруппа группы A; а из того, что B º S, следуетS + B = S, чего быть не может, так как S - собственная подгруппа группы A.Итак, S ½ B - собственная ненулевая подгруппа группы B. Так как S ≅ A, то ба-зисные подгруппы групп S и A также изоморфны, т.е. S ½ B ≅ B. Так как S - широ-кая подгруппа группы A, то S ½ B является широкой подгруппой группы B[8, следствие 2.8]. Итак, мы получили, что базисная подгруппа B группы A имеетсобственную вполне характеристическую подгруппу S ½ B, изоморфную B. Про-тиворечие. Теорема 15. Неограниченная сепарабельная p-группа с конечными инварианта-ми Ульма - Капланского не является IF-группой, если для нее существует толькоодна допустимая последовательность и эта последовательность имеет вид 0, 1, 2,…Доказательство. Пусть A - неограниченная сепарабельная p-группа с конеч-ными инвариантами Ульма - Капланского и пусть B - ее базисная подгруппа.Пусть 0, 1, 2,… - единственная допустимая последовательность для группы A. Всилу теоремы 14 достаточно показать, что B не является IF-группой. Так как B яв-ляется прямой суммой циклических групп и fA (k) = fB (k) [5, с. 186], то по теореме13 B - не IF-группа. Следствие 16. Неограниченная сепарабельная p-группа не является IF-группой, если ее инварианты Ульма - Капланского конечны и образуют возрас-тающую последовательность.Доказательство. Пусть A - неограниченная сепарабельная p-группа. Пустьпоследовательность инвариантов Ульма - Капланского группы A является возрас-тающей и все эти инварианты являются конечными. Рассмотрим допустимую по-следовательность i0, i1,…, in,… Тогда выполняются равенства (1). Рассмотрим ра-венство( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 ... 1 1kkiA A A k A k A ki if k f i f i f i f i+ −+== ” = + + + + − ,где k - произвольное неотрицательное целое число. Поскольку последователь-ность инвариантов Ульма - Капланского группы A возрастающая, то каждое такоеравенство будет вырожденным, т.е. для каждого k ¶ N0 fA (k) = fA (ik), причем ik = k.Таким образом, допустимая последовательность i0, i1,…, in,… совпадает с после-довательностью 0, 1, 2,…, а значит, по теореме 15 группа A не является IF-группой. Периодически полной p-группой называется периодическая часть T (B) p-ади-ческого пополнения B прямой суммы B циклических p-групп [7. С. 22].Впервые эти группы стал изучать Л.Я. Куликов, он называл их замкнутыми груп-пами [9].IF-группы 13Теорема 17. Периодическая полная p-группа является IF-группой тогда итолько тогда, когда ее базисная подгруппа является IF-группой.Доказательство. Учитывая теорему 14, надо доказать только достаточность.Пусть A - периодически полная p-группа и B - ее базисная подгруппа, являющая-ся IF-группой. В силу теоремы 3 B - неограниченная группа, и поэтому A - такженеограниченная группа. Так как B - IF-группа, то существует собственная вполнехарактеристическая подгруппа S группы B, такая, что B ≅ S. Понятно, что S являетсясобственной широкой подгруппой группы B. Существует собственная широкаяподгруппа S* группы A, такая, что S* ½ B = S [4, теорема 2.9], причем S - базиснаяподгруппа группы S* [4, c. 422]. S* как широкая подгруппа периодически полнойгруппы является периодически полной группой [10]. Итак, получили, что в группеA есть собственная вполне характеристическая подгруппа S*, такая, что базиснаяподгруппа B группы A изоморфна базисной подгруппе S группы S*. Так как A и S*- периодически полные группы, то A ≅ S*, то есть A является IF-группой. Теорема 18. Для периодически полной p-группы A с конечными инвариантамиУльма - Капланского следующие условия эквивалентны:1) A не является IF-группой;2) базисная подгруппа группы A не является IF-группой;3) A - ограниченная группа или A - неограниченная группа, для которой суще-ствует только одна допустимая последовательность и эта последовательностьимеет вид 0, 1, 2,…Доказательство.1) o 2) Эквивалентность условий 1) и 2) непосредственно следует из теоремы 17.2) c 3) Пусть B - базисная подгруппа группы A, причем B не является IF-группой. Если A - ограниченная группа, то A = B. Если же A - неограниченнаягруппа, то B - неограниченная группа. Учитывая теорему 13 и то, что для каждогоk ¶ N0 fA (k) = fB (k) [5, с. 186], получаем, что для группы A существует только однадопустимая последовательность и эта последовательность имеет вид 0, 1, 2,…3) c 1) Если A - ограниченная группа, то по теореме 3 A не является IF-группой. Если A - неограниченная группа, для которой существует только однадопустимая последовательность и эта последовательность имеет вид 0, 1, 2,…, тоее базисная подгруппа B обладает теми же свойствами. Тогда по теореме 13 B неявляется IF-группой, но тогда с учетом эквивалентности 2) o 1) и группа A не яв-ляется IF-группой. Следствие 19. Если для периодически полной p-группы A существует такоенатуральное число m, что fA (n) = m для каждого n ¶ N0, то A является IF-группой.Доказательство. Пусть A - периодически полная p-группа и пусть для каждо-го n ¶ N0 fA (n) = m, где m - некоторое натуральное число. Понятно, что A неогра-ниченная группа. Рассмотрим последовательность 1, 2, 3,… Эта последователь-ность допустима для группы A, так как fA (n) = fA (n+1) для каждого n ¶ N0. Следо-вательно, по теореме 18 группа A является IF-группой. 

Скачать электронную версию публикации