On p-rank 1 nil groups.pdf Все рассматриваемые в статье группы - абелевы. Напомним, что функцияƒ: A×A  A называется умножением на группе A, еслиƒ(a,b+c) = ƒ(a,b)+ƒ(a,c) и ƒ(b+c,a) = ƒ(b,a) + ƒ(c,a) для всех a,b,c ¶ A.Всякое кольцо (под кольцом подразумевается не обязательно ассоциативноеили коммутативное кольцо, но умножение всегда дистрибутивно с двух сторонотносительно сложения) на группе A задает некоторое умножение ƒ, а именноƒ(a,b) = ab, и это соответствие между кольцевыми структурами и умножениями нагруппе A биективно. Если ƒ и ƒ - умножения на группе A, то их сумма ƒ+ƒ опре-деляется по правилу(ƒ+ƒ)(a,b) = ƒ(a,b)+ƒ(a,b) для всех a,b ¶ A.Относительно введенной операции сложения все умножения на группе A обра-зуют абелеву группу, группу умножений на A, Mult A. Всякая группа A можетбыть тривиальным образом снабжена кольцевой структурой, если все произведе-ния ее элементов положить равными 0. Такое кольцо называется нуль-кольцом.Нуль группы Mult A - это умножение, соответствующее нуль-кольцу на A. ГруппаA называется нильгруппой [1, § 120], если на A не существует никаких колец, от-личных от нуль-кольца, т.е. Mult A = 0. Всякая периодическая делимая группа яв-ляется нильгруппой [1, теорема 120.3]. Из [1, § 121] сразу следует, что всякаянильгруппа не содержит ненулевых делимых подгрупп без кручения. Группа безкручения ранга 1 не является нильгруппой тогда и только тогда, когда ее типидемпотентен [1, теорема 121.1]. В [2, теорема 3] описаны сепарабельные ниль-группы без кручения, а также изучены векторные нильгруппы. Отметим, что длякаждой группы A имеют место изоморфизмы:Mult A ≅ Hom(AƒA, A) ≅ Hom(A,E(A)+) [1, теорема 118.1].Через Z обозначается аддитивная группа (или кольцо) целых чисел, Z p

Скачать электронную версию публикации