A mathematical model of vibrationsfor a stack of rectangular plates with allowance for pointlike constraints.pdf 1. Постановка задачи и полученные результатыВ данной работе изучается упругая задача о вынужденных колебаниях пакетапрямоугольных пластин. Подобная задача о собственных колебаниях изучалась вмонографии [1, с. 42], где предлагалась вариационная постановка и учитывалисьупругие точечные опоры и сосредоточенные массы.Рассмотрим пакет однородных упругих изотропных прямоугольных пластин,соединенных внутренними жесткими и упругими стойками (пружинами) и нагру-женных сосредоточенными массами. Пластины имеют постоянную толщину h ивнутренние точечные жесткие и упругие опоры шарнирного типа, которые могут,имеет защемления. Расположение точечных связей и присоединенных масс про-извольно. Массы стоек можно рассматривать как сосредоточенные. Граничныеусловия для каждой стороны пластин одни из следующих: шарнирное опирание,защемление или свободный край. Требуется определить собственные частоты иформы поперечных колебаний пакета пластин.При определении частот колебаний будем считать пластину тонкой (толщинамала по сравнению с остальными размерами).Предполагая справедливость гипотез Кирхгофа - Лява, запишем известные изтеории упругости зависимости между перемещениями и деформациями [2]:22 , iix iWzx•§ = −•22 , iiy iWzy•§ = −•22 i iix y iWzx y•§ =−• •. (1)Здесь zi - координата точки в направлении, перпендикулярном к срединной по-верхности, , , xi yi xi yi § § § - компоненты тензора деформаций пакета пластин.Математическая модель колебаний пакета прямоугольных пластин 73Компоненты напряжений соответственно равны2 22 2 22 22 2 22,1,1,1iii i i ii i ix iii i iy iii ix y y xiEz W WGx yEz W WGy xEz WG Gx y⎡• • ⎤= − ⎢ + ¯ ⎥− ¯ ⎣ • • ⎦⎡• • ⎤= − ⎢ + ¯ ⎥− ¯ ⎣ • • ⎦•= =−+ ¯ • •(2)где E - модуль Юнга, а ¯i - коэффициент Пуассона для i-й пластины. Нормаль-ная компонента Gzi при поперечном изгибе мала по сравнению с Gxi и Gyi , по-этому полагаем 0 Gzi = .Потенциальная энергия, накапливаемая пластиной при упругой деформации,согласно указанным выше допущениям имеет вид( )11 ,2 i i i i i i i iinx x y y xy xyi VG G G G dxdydz== ”´´´ § + § + § (3)где Vi - объем i-й пластины. Подставляя в (3) значения компонент деформации инапряжений (1), (2) и учитывая потенциальную энергию упругих опор, получим( )( ) ( ( ) ( ))2 2 2 2 2 2 20 0 2 2 2 22 2112 121 , 1 , , .2 2i a b i i i i iiLl l l l l l l li i i i i i i i i i ilD W W W W WG dxdyx y x y x yC ‰W x ‰ y ‰ C W x y W x y+=⎡⎛ • • ⎞ ⎛ • • ⎛ • ⎞ ⎞⎤ = ⎢⎜ + ⎟ − − ¯ ⎜ − ⎜ ⎟ ⎟⎥ + ⎢⎝ • • ⎠ ⎜ • • ⎝ • • ⎠ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦+ + −´ ´” (5)Здесь ( ) 3 12 1 2 1 Di Ehi i − = ⎡⎣ − ¯ ⎤⎦ - цилиндрическая жесткость пластины, аl , l , lCi xi yi ‰ ‰ ‰ - жесткость и координаты упругой опоры. Двойные интегралы в (5)берутся по поверхности нейтрального слоя i -й пластины.Кинетическая энергия всей пластины с учетом присоединенных масс задаетсяравенством( ) 2 20 011 , , ,2 2Q q q i a b i q i i iiqh W W x y tT dxdy Mt = t³ ⎛ • ⎞ ⎛ • ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ • ⎠ ⎜ • ⎟ ⎝ ⎠´ ´ ” (6)где ³ - плотность материала пластины, q , qxi yi - координаты q-й присоединен-ной массы.Рассмотрим функционал Остроградского - Гамильтонаb ( )HttL = ´ T −G dtна совокупности главных колебаний. Они должны удовлетворять условиям шар-нирного закрепления жестких опор пластины в S точках:74 Г.Е. Берикханова, Б.Т. Жумагулов, Б.Е. Кангужин( s , s , ) 0Wi xi yi t = (s = 1,..., S ),где s , sxi yi - координаты s-й внутренней опоры. Если, кроме того, некоторыежесткие опоры защемлены в направлениях £s относительно оси 0X , то к (7) до-бавляется условие( , , )0s si i is•W x y t=•£1,2,..., ; 0 ,s 2 s s£⎛ ² ⎞ ⎜ = „ £ „ ⎟⎝ ⎠(8)причем число защемлений s£ не обязательно равно числу опор S . Таким обра-зом, данная модель включает различные сочетания опор и защемлений.Основным результатом работы является теорема 1.Теорема 1. Колебание однородной упругой изотропной пластины пакета пло-ских пластин с постоянной толщиной h , ограниченной прямоугольным контуромс размерами a,b , к которой точечно присоединены массы Mq в Q внутреннихточках, и в l‰ внутренних точках она упруго оперта, а также во внутреннихточках (xs , ys ) жестко оперта или упруго защемлена, описывается дифферен-циальным уравнением222 i 0iWh DWt•³ − † =•{0 < xi < a, 0 < yi < b, tH < t < tB , (q = 1,...,Q)} , (9)которое выполняется во всех точках пластины, где нет точечных связей, а в то-чечных связях справедливы многоточечные краевые условия:( )( )22,2 2 2 20, 0 0, 0 0, 0 0, 02 10q qi iq q q q q q q qi i i i i i i iiiq i ix yi i i ix y x y x y x yWM DtW W W Wx y x y x y x y − − − + + − + +•− −¯ •⎛ • • • • ⎞ ⎜ − − + ⎟ =⎜ • • • • • • • • ⎟ ⎝ ⎠; (10)( ) ( )2 2 2 20, 0 0, 0 0, 0 0, 0, , 2 10l l l l l l l li i i i i i i il l li i i i i ii i i ix y x y x y x yC W x y t DW W W Wx y ‰ ‰ x y ‰ ‰ x y ‰ ‰ x y ‰ ‰‰ ‰ ‰− − − + + − + +− −¯ ⎛ • • • • ⎞ ⎜ − − + ⎟ =⎜ • • • • • • • • ⎟ ⎝ ⎠. (11)Для единственности решения к указанным в теореме 1 многоточечным усло-виям надо добавить граничные условия0, 0iiiiiWWš n•š•= =•; (12)1 ( , ), 2 ( , )i tH i i i tB i i W =W x y W =W x y . (13)Математическая модель колебаний пакета прямоугольных пластин 75В результате получаем краевую задачу для уравнения (9) в многосвязной об-ласти( ) ( ) ( )1 1 1, , ,Q L Sq q l l s si i i i i i iq l sx y x y x y‰‰ ‰= ‰= =š =   .Здесь ( q , q )xi yi - внутренние точки к которым прикреплена точечная масса Miq ,( l , l )xi yi ‰ ‰ - внутренние точки, где наложены упругие точечные связи, ( s , s )xi yi -внутренние точки, где пластина жестко оперта или упруго защемлена.В каждой точке ( q , q )xi yi , к которым прикреплена точечная масса Miq , до-бавляется условие( )( )22,2 2 2 20, 0 0, 0 0, 0 0, 02 10.q qi iq q q q q q q qi i i i i i i iiiq i ix yi i i ix y x y x y x yWM DtW W W Wx y x y x y x y − − − + + − + +•− −¯ •⎛ • • • • ⎞ ⎜ − − + ⎟ =⎜ • • • • • • • • ⎟ ⎝ ⎠В каждой точке (xl‰ , yl‰ ) , где наложена точечная упругая связь, добавляетсяусловие( ) ( )2 2 2 20, 0 0, 0 0, 0 0, 0, , 2 10.l l l l l l l li i i i i i i il l li i i i i ii i i ix y x y x y x yC W x y t DW W W Wx y ‰ ‰ x y ‰ ‰ x y ‰ ‰ x y ‰ ‰‰ ‰ ‰− − − + + − + +− −¯ ⎛ • • • • ⎞ ⎜ − − + ⎟ =⎜ • • • • • • • • ⎟ ⎝ ⎠В точках ( s , s )xi yi , где пластина жестко оперта, ставится условие( ) ( )2 2 2 20, 0 0, 0 0, 0 0, 00;, =0 1,..., .s s s s s s s si i i i i i i ii i i ix y x y x y x ys si i iW W W Wx y x y x y x yW x y s S− − − + + − + +⎧• • • •− − + = ⎪⎪• • • • • • • • ⎨⎪⎩⎪ =2. Вспомогательные утверждения и обоснование теоремыСоотношения (7), (8) представляют собой задачу на условный экстремум. Учи-тывая связи (7) и (8), с помощью множителей Лагранжа получим окончательноевариационное уравнение( ) ( ) ( )1 1, ,, , 0,b b bH H HS t S t s s t s s i i is i i i ss t s t s tW x y tW x y t dt £ dt G T dt= =⎡ • ⎤¦ ⎢ ­ + ­ + − ⎥ =⎢⎣ •£ ⎥⎦” ´ ” ´ ´ (14)в котором , s s£ ­ ­ - множители Лагранжа, ¦ - вариация по перемещениям. Соот-ношение (14) представляет собой в некотором смысле аналог уравнения Рауса.76 Г.Е. Берикханова, Б.Т. Жумагулов, Б.Е. КангужинВыпишем соответствующую систему дифференциальных уравнений Эйлера -Лагранжа. Для удобства представим кинетическую T и потенциальную энергиюG в виде сумм1 2 3 , G = G +G +G T = T4 +T5 ,где( )2 2 2 2 2 2 21 0 0 2 2 2 22 12Di a b Wi Wi Wi Wi WiG dxdyx y x y x y⎡⎛ • • ⎞ ⎛ • • ⎛ • ⎞ ⎞⎤ = ⎢⎜ + ⎟ − − ¯ ⎜ − ⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎢⎝ • • ⎠ ⎜ • • ⎝ • • ⎠ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦´ ´ ,2 ( )211 ,2Ll l li i i ilG CW x y‰‰ ‰ ‰‰== ” , ( ( ) ( ))23 111 , ,2Ll l l l li i i i i i ilG C W x y W+ x y== ” − ,24 2 0 0hi a b WiT dxdyt³ ⎛ • ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ • ⎠ ´ ´ ,( ) 2511 , ,2Q q qq i i iiqW x y tT M= t⎛ • ⎞= ⎜ ⎟⎜ • ⎟ ⎝ ⎠” .Тогда функционал Остроградского - Гамильтона разлагается следующим об-разом:( ) 4 5 1 2 3BB B B B BH H H H HHtt t t t tt t t t ttL = ´ T −G dt = ´ T dt + ´ T dt − ´ G dt − ´ G dt − ´ G dt .Нам удобно ввести функционалы по формулам1 1 , BHttI = ´ G dt 2 2 , BHttI = ´ G dt 3 3BHttI = ´ G dt , 4 4 , BHttI = ´ T dt 5 5BHttI = ´ T dtи выписать отдельно для каждого функционала соответствующие уравнения Эй-лера - Лагранжа.Выпишем уравнение Эйлера - Лагранжа, соответствующее функционалу I1.Рассмотрим точку W из области определения функционала I и пусть Ui произ-вольный элемент i -й области определения функционала I , подчиненный усло-вию| 0, | 0 i iiiiUU•š n •š•= =•,где ši - обозначает i-ю прямоугольную пластину, а •ši - ее границы. Здесьni••означает производную по нормали в граничной точке.Функции Ui ( xi , yi ,t ) будем называть возмущениями. Сместимся из Wi в точкуWi + §Ui , где § - малый параметр. Здесь функция Ui задает «направление смеще-ния» из точки Wi . Теперь находим выражение 1 ( [ ] [ ])I Wi + §Ui − I Wi§и, переходяк пределу при §¨0 , получим функциюМатематическая модель колебаний пакета прямоугольных пластин 77[ ] ( [ ] [ ])[ ]0 0,| lim 1 ,H B ii ii i i it t idI W U I IW U IW Wdtdxdyd §= §¨ Wš+ § ¦= +§ − = ⋅ ¦§ § ¦ ´которую называют производной функционала I в точке Wi по направлению Ui[3, с. 340].Перейдем к аналитическому вычислению производной jiIW¦¦при j = 1,2,3,4,5 .Вычислим её при j = 1.[ ] [ ]( ) ( )2 2 2 21 1 0 0 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 221 2 ,BHta b i i i ii i i iti i i i i iiW W U UI W U I W Dx y x yW U U W W Udxdy dt ox y x y x y x y⎧⎪ ⎡⎛ • • ⎞⎛ • • ⎞ + − = § ⎨ ⎢⎜ + ⎟⎜ + ⎟ −⎩⎪ ⎣⎝ • • ⎠⎝ • • ⎠⎛ • • • • • • ⎞⎤ ⎫⎪ − − ¯ ⎜ + − ⎟⎥ ⎬ + § ⎝ • • • • • • • • ⎠⎦ ⎭⎪´ ´ ´(15)где( )0lim 0o§¨§=§.Наша цель - избавиться от производных возмущения Ui ( xi , yi ,t ) . Для этогонам придется неоднократно применять формулу интегрирования по частям. Отме-тим, что функция Wi ( xi , yi ,t ) по переменным ( xi , yi ) при наложении точечныхсвязей и масс может в этих точках терять гладкость. Поэтому при интегрированиипо частям необходимо учесть, что функция Wi ( xi , yi ,t ) или ее частные производ-ные могут иметь разрывы первого рода в точках, где наложены точечные связиили массы. Допустим, что к внутренней точке ( q , q )xi yi присоединена точечнаямасса Mqi или она либо упруго, либо жестко оперта. Покажем как можно приме-нять формулу интегрирования по частям, если функция Wi ( xi , yi ,t ) или ее част-ные производные теряют гладкость в этой точке ( q , q )xi yi . Для наглядности рас-смотрим один из интегралов, присутствующих в правой части соотношения (15).К примеру, возьмем интеграл2 2 2 20 0 0 00 2 2 2 20 0 0 0B BH HqiqH it a b t a bi i i it ta y a bi i i it yW U W UA dxdy dt dy dx dtx y x y x y x yW U W Udy dx dt dy dxx y x y x y x y−+⎧⎪ • • ⎪⎫ ⎧⎪ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ = ⎩⎪ • • • • ⎪⎭ ⎩⎪ ⎣⎢ • • • • ⎦⎥ ⎭⎪⎪⎧ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ + ⎨ ⎢ ⎥ ⎬⎪ ⎢ • • • • ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ • • • • ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ ⎦ ⎭ ⎩ ⎣ ⎦ ⎭´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´2 0 0 320 0 02 320 0 0.B BHq qB i iHBq qH i it ttt a y yi i i itt a b bi i i it y ydtW U W Udy dx dtx y x x y xW U W Udy dx dtx y x x y x− −+ +=⎧⎪ ⎡• • • • ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢ − ⎥ ⎬ + ⎪ ⎢ • • • • • • ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ ⎦ ⎭⎧⎪ ⎡• • • • ⎤ ⎫⎪ + ⎨ ⎢ − ⎥ ⎬ ⎪ ⎢ • • • • • • ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ ⎦ ⎭´ ´´ ´ ´´ ´ ´78 Г.Е. Берикханова, Б.Т. Жумагулов, Б.Е. КангужинСогласно выбору, возмущение Ui ( xi , yi ,t ) удовлетворяет граничным услови-ям0iyUx =••и iy bUx =••равным нулю. В силу произвольности возмущениеUi ( xi , yi ,t ) можно считать достаточно гладким, то естьq 0 q 0i ii iy yU Ux − x +• •=• •.В результате2 2 320 0 0 0 00 2 2 20 0 0B Bq q q H i i i HqBq q q q H i i i it a t a bi i i i it y y y tt xi i i it y y y yW W U WUA dx dt dy dx dtx y x y x x y xW W U Wdx dtx y x y x x y− +−− + −⎧⎪ ⎛• • ⎞• ⎫⎪ ⎪⎧ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎜ − ⎟ ⎬ − ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ = ⎪ ⎜• • • • ⎟ • ⎪ ⎩⎪ ⎣⎢ • • • ⎦⎥ ⎭⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭⎧⎪ ⎛• • ⎞• ⎫⎪ • = ⎨ ⎜ − ⎟ ⎬ + ⎪ ⎜• • • • ⎟ • ⎪ • • ⎩ ⎝ ⎠ ⎭´ ´ ´ ´ ´´ ´20 0 003 32 20 0 0 02 20 0Bq q q H i i iqB i BqH H iqiq qi it ai it x y yt b x t b ai i i it t xi ii yy yW Udx dtx y xW U W Udx dy dt dx dy dtx y x x y xW WUx y x y+ +−+− +⎧⎪ ⎛ • ⎞• ⎫⎪ ⎨ ⎜ − ⎟ ⎬ − ⎪ ⎜ • • ⎟ • ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭⎧⎪ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ − ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ − ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ =⎪ ⎢ • • • ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ • • • ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ ⎦ ⎭ ⎩ ⎣ ⎦ ⎭• •= −• • • •´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´0 0 3 32 20 0 0 02 2 3 32 20 0 0 0 0qi qB B iqiq qH H i iBqiq q q q q H i i i i it x t xi ii yt t y yt ai i i ii yt y y x y yW Wdt U dx dtx y x yW W W WU dtx y x y x y x y− −− +− + + − +⎧⎡ ⎤ ⎫ ⎧ ⎛ ⎞ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ • • ⎟ ⎪ ⎨⎢ ⎥ ⎬ − ⎨ − ⎬ + ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎜• • • • ⎟ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎭ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭⎧⎡• • ⎤ ⎫ ⎛ • • ⎞ + ⎪⎢ − ⎥ ⎪ − ⎜ − ⎨ ⎬ ⎜ ⎪⎢⎣• • • • ⎥⎦ ⎪ ⎝• • • • ⎩ ⎭´ ´ ´´03 0 0 42 220 0 0 03 42 220 0 0BqiqH iq qB i B iH HBq qH i it ai yt xt b x t b xi ii it tt b ai ii it x xU dxdtW WU dy dt U dx dy dtx y x yW WU dydt Udxx y x y+− −+ +⎧⎪ ⎪⎫ ⎨ ⎟ ⎬ − ⎪ ⎟ ⎪ ⎩ ⎠ ⎭⎧⎪ ⎡ • ⎤ ⎪⎫ ⎪⎧ ⎡ • ⎤ ⎫⎪ − ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ + ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ − ⎪ ⎣• • ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎣⎢ • • ⎦⎥ ⎭⎪ ⎩ ⎭⎧⎪ ⎡ • ⎤ ⎫⎪ • − ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ +⎩⎪ ⎣• • ⎦ ⎪⎭ • •´ ´´ ´ ´ ´ ´´ ´0.BHt b atdy dt⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎫⎪ ⎨ ⎢ ⎥ ⎬⎩⎪ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎭⎪´ ´ ´Учитывая нулевые граничные значения возмущения и его производных, полу-чаем окончательное соотношение2 2 2 2,0, 0 0, 0 0, 0 0, 03 3 32 20 0 0Bq qi iq q q q q q q qH i i i i i i i iBqiq qH i iti i i ix yt x y x y x y x yt bi ii xt x xW W W WA U dtx y x y x y x yW W WU dy dtx y x y− − − + + − + +− +⎧⎪⎡⎛• • ⎞ ⎛• • ⎞⎤ ⎫⎪ = ⎨⎢⎜ − ⎟−⎜ − ⎟⎥ ⎬ − ⎪⎢⎜• • • • ⎟ ⎜• • • • ⎟⎥ ⎪ ⎩⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎭⎧⎪ ⎛ • • ⎞ ⎫⎪ • − ⎨ ⎜ − ⎟ ⎬ − ⎪ ⎜• • • • ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭´´ ´32 20 0 042 20 0.Bqiq qH i iBHt ai ii yt y yt a biitWU dxdtx y x yWU dy dx dtx y− +⎧⎪ ⎛ • ⎞ ⎫⎪ ⎨ ⎜ − ⎟ ⎬ + ⎪ ⎜• • • • ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭⎧⎪ ⎡ • ⎤ ⎫⎪ + ⎨ ⎢ ⎥ ⎬⎩⎪ ⎣⎢ • • ⎦⎥ ⎭⎪´ ´´ ´ ´Математическая модель колебаний пакета прямоугольных пластин 79Точно также с помощью формулы интегрирования по частям преобразуем ос-тавшиеся в (15) интегралы:2 22 20 00 2 2 2 22 2 2 20 0 0 02 3 0 42 20BHqB i BqH H iqit a bi itt a y t a bi it t yyi i iiW UB dy dx dtx yW U W U dy dx dt dy dx dtx y x yW U W WUx y y x−+−⎧⎪ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ =⎩⎪ ⎣⎢ • • ⎦⎥ ⎭⎪⎪⎧ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ + ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ =⎩⎪ ⎣⎢ • • ⎦⎥ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎣⎢ • • ⎦⎥ ⎭⎪⎛ • • • ⎞ •= ⎜ − ⎟ +⎝ • • • • ⎠´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´02 20 02 3 42 2 2 20 0 0qB iHBq qH i it a yiitt a b bi i i ii it y yU dy dx dtx yW U W WU U dy dx dtx y y x x y−+ +⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎫⎪ ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ + ⎪ ⎢ • • ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ ⎦ ⎭⎧⎪ ⎡⎛ • • • ⎞ • ⎤ ⎫⎪ + ⎨ ⎢⎜ − ⎟ + ⎥ ⎬ = ⎪ ⎢⎝ • • • • ⎠ • • ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ ⎦ ⎭´ ´ ´´ ´ ´( )00Учитывая граничные значения возмущения0, 0,а также гладкость функции , ,во внутренних точках, имеемi ii y i y by ybi i iU UU Uy yU x y t= == =• •= = = == • • =2 2 3 32 2 2 20 0 0 0 042 20 0.Bqq i q q i q q H i i i iBHt ai i i i ii yt y y y y yt a biitW W U W WU dxdtx x y y x y xWU dy dx dtx y− + − +⎧⎪ ⎡⎛ • • ⎞ • ⎛ • • ⎞ ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎥ ⎬ + ⎪ ⎢⎜ • • ⎟ • ⎜ • • • • ⎟ ⎥ ⎪ ⎩ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎭⎧⎪ ⎡ • ⎤ ⎫⎪ + ⎨ ⎢ ⎥ ⎬⎩⎪ ⎣⎢ • • ⎦⎥ ⎭⎪´ ´´ ´ ´2 22 20 02 2 3 32 2 2 20 0 0 0 042 20 0BHBqq i q q i q q H i i i it b ai itt bi i i i ii xt x x x x xa biiW UC dx dy dty xW W U W WU dy dty y x x y x yWU dy dxx y− + − +⎧⎪ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ =⎩⎪ ⎣⎢ • • ⎦⎥ ⎭⎪⎧⎪ ⎡⎛ • • ⎞ • ⎛ • • ⎞ ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎥ ⎬ + ⎪ ⎢⎜ • • ⎟ • ⎜ • • • • ⎟ ⎥ ⎪ ⎩ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎭⎧ ⎡ • ⎤+ ⎢ ⎥⎢⎣ • • ⎥⎦´ ´ ´´ ´´ ´ .BHttdt⎪ ⎪⎫⎨ ⎬⎩⎪ ⎪⎭´( )220 00 00 0 0220 0.BHBq q qi i q q q iH i i iBHt a biitt aii y i y i i i yt y y yt a biitUE W dy dx dtyUW W W W U dxdty y yWU dy dx dty− +− +⎧⎪ ⎡ • ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢ † ⎥ ⎬ =⎩⎪ ⎣⎢ • ⎦⎥ ⎭⎪⎪⎧ ⎡ • ⎛ • • ⎞ ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢ † − † − ⎜⎜ † − † ⎟⎟ ⎥ ⎬ + ⎩⎪ ⎣⎢ • ⎝ • • ⎠ ⎦⎥ ⎭⎪⎧⎪ ⎡ • † ⎤ ⎫⎪ + ⎨ ⎢ ⎥ ⎬⎩⎪ ⎣⎢ • ⎦⎥ ⎭⎪´ ´ ´´ ´´ ´ ´80 Г.Е. Берикханова, Б.Т. Жумагулов, Б.Е. Кангужин( )220 00 00 0 0220 0.BHBq q qi i q q q iH i i iBHt b aiitt bii x i x i i i xt x x xt b aiitUF W dx dy dtxUW W W W U dydtx x xWU dx dy dtx− +− +⎧⎪ ⎡ • ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢ † ⎥ ⎬ =⎩⎪ ⎣⎢ • ⎦⎥ ⎭⎪⎪⎧ ⎡ • ⎛ • • ⎞ ⎤ ⎪⎫ = ⎨ ⎢ † − † − ⎜ † − † ⎟ ⎥ ⎬ + ⎩⎪ ⎣ • ⎝ • • ⎠ ⎦ ⎪⎭⎧⎪ ⎡ • † ⎤ ⎫⎪ + ⎨ ⎢ ⎥ ⎬⎩⎪ ⎣⎢ • ⎦⎥ ⎭⎪´ ´ ´´ ´´ ´ ´Поскольку разность с точностью до o(§) имеет видI1 [Wi + §Ui ]− I1 [Wi ] = Di§ (E + F ) − Di§ (1− ¯i )(B + C − 2A),то, учитывая полученные представления A, B,C, E, F , её можно записать в виде[ ] [ ]( )( )21 10 04 4 42 2 2 2 2 20 00 00 01 2BHBHq qi i q q qi i it a bi i i i i itt a bi i ii iti i ii i x i xx x xI W U I W D WU dy dx dtW W WD dy dx dtx y x y x yU W WD W W− + x x x− +⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎫⎪ +§ − = § ⎨ ⎢ † ⎥ ⎬ −⎩⎪ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎭⎪⎪⎧ ⎡ ⎛ • • • ⎞ ⎤ ⎫⎪ − § −¯ ⎨ ⎢ ⎜− + + ⎟ ⎥ ⎬ +⎩⎪ ⎣⎢ ⎝ • • • • • • ⎠ ⎦⎥ ⎭⎪• ⎛•† •†+ § † −† − − ⎜⎜• ⎝ • •´ ´ ´´ ´ ´( )( )00 00 0 02 2 32 2 20 0 01BqiHBq q qi i y q q q i i i i Hq q q q i i i it bi xtt ai i ii i y i y i yt y yi i i ii iy y y yU dydtU W WD W W U dxdty y yW W U WDx x y y x− +− +− + −⎧⎪ ⎡ ⎞ ⎤ ⎪⎫ ⎨ ⎢ ⎟⎟ ⎥ ⎬ + ⎩⎪ ⎣ ⎠ ⎦ ⎪⎭⎧⎪ ⎡ • ⎛•† •† ⎞ ⎤ ⎫⎪ + § ⎨ ⎢ † −† −⎜⎜ − ⎟⎟ ⎥ ⎬ − ⎩⎪ ⎣⎢ • ⎝ • • ⎠ ⎦⎥ ⎭⎪⎛• • ⎞• • − § −¯ ⎜ − ⎟ − −⎜ • • ⎟ • • • ⎝ ⎠´ ´´ ´( )( )320 02 2 3 32 2 2 20 0 0 0 03212 1BqiqH iBqq i q q i q q H i i i it aii yt yt bi i i i ii i i xt x x x x xii ixWU dxdty xW W U W WD U dy dty y x x y x yWDx y+− + − +⎧⎪ ⎡ ⎛ • ⎞ ⎤ ⎫⎪ ⎨ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ − ⎪ ⎢ ⎜ • • ⎟ ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎭⎧⎪ ⎡⎛• • ⎞• ⎛ • • ⎞ ⎤ ⎫⎪ − § −¯ ⎨ ⎢⎜ − ⎟ −⎜ − ⎟ ⎥ ⎬ − ⎪ ⎢⎜ • • ⎟ • ⎜• • • • ⎟ ⎥ ⎪ ⎩ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎭•− § −¯• •´ ´´ ´( )( )320 0 03 32 20 0 02 2 2 20, 0 0, 0 0, 02 12 1Bqiq qH i iBqiq qH i iq q q q q qi i i i i it bii xt xt ai ii i iyt y yi i ii ix y x y x yWU dy dtx yW WD U dx dty x y xW W WDx y x y x y− +− +− − − + + −⎧⎪ ⎛ • ⎞ ⎫⎪ ⎨ ⎜ − ⎟ ⎬ − ⎪ ⎜ • • ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭⎧⎪ ⎛ • • ⎞ ⎫⎪ − § −¯ ⎨ ⎜ − ⎟ ⎬ + ⎪ ⎜• • • • ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭• • • •+ § −¯ − − +• • • • • •´ ´´ ´,0, 0Bq qi iq qH i itii x yt x yWU dtx y + +⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ • • ⎟ ⎝ ⎠´Математическая модель колебаний пакета прямоугольных пластин 81( ) ( )( ) ( )20 02 20 0 2 20 0 02 20 0 2 2011BHBq qi i q q q H i i iq qi iq qi it a bi i itt bi i ii x i x i i it x x xi ii y i y i i iy yD WU dy dx dtW W UW W D D dy dty y xW WW W D Dx x− +− +− +− +⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎫⎪ = § ⎨ ⎢ † ⎥ ⎬ +⎩⎪ ⎢⎣ ⎦⎥ ⎭⎪⎧⎪ ⎡ ⎛• • ⎞⎤• ⎫⎪ + ⎨ ⎢ † −† §− § −¯ ⎜ − ⎟⎥ ⎬ + ⎪ ⎢ ⎜ • • ⎟⎥ • ⎪ ⎩ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎭• •+ † −† §− § −¯ −• •´ ´ ´´ ´( ) ( )0 03 32 20 0 0 0 00 01By q iHBqq q i i i q q H i iq qi it aitt bi i i ii i i ixt x x x xi iiy yUdx dtyW W W WD D U dydtx x x y x yW WDy y− + − +− +⎧⎪ ⎡ ⎛ ⎞⎤• ⎫⎪ ⎨ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎬ + ⎪ ⎢ ⎜ ⎟⎥ • ⎪ ⎩ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎭⎧⎪ ⎡⎛•† •† ⎞ ⎛ • • ⎞ ⎤ ⎫⎪ + ⎨ ⎢⎜⎜ − ⎟⎟ − § − § −¯ ⎜ − ⎟ ⎥ ⎬ + ⎪ ⎢⎝ • • ⎠ ⎜• • • • ⎟ ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎭⎛•† •† ⎞+ ⎜⎜ − ⎟⎟ − ⎝ • • ⎠´ ´´ ´( ) ( )3 32 20 0 01Bqiq qH i it ai ii i iyt y yW WD U dx dty x − y x +⎧⎪ ⎡ ⎛ • • ⎞ ⎤ ⎫⎪ ⎨ ⎢ § − § −¯ ⎜ − ⎟ ⎥ ⎬ + ⎪ ⎢ ⎜• • • • ⎟ ⎥ ⎪ ⎩ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎭´ ´( )2 2 2 2,0, 0 0, 0 0, 0 0, 02 1 ;Bq qi iq q q q q q q qH i i i i i i i iti i i ii i i x yt x y x y x y x yW W W WD Udtx y x y x y x y − − − + + − + +⎛• • • • ⎞ + § −¯ ⎜ − − + ⎟⎜• • • • • • • • ⎟ ⎝ ⎠´[ ] [ ] ( ) ( ) 2 211 2 , , , , ;2BHL tl l l l li i i i i i i i i il tI W U I W C W x y t U x y t dt‰‰ ‰ ‰ ‰ ‰‰=+ § − = ” ´ §[ ] [ ] ( ( ) ( ))( ( ) ( )) 3 3 1 11, , , ,BHL tl l l l l l l l l li i i i i i i i i i i i i i i il tI W U I W C W x y W+ x y U x y U + x y dt=+ § − = §” ´ − − ;4 [ ] 4 [ ]0 0 0 0220 022B BH HBBHHt a b a b ti i i i ii i i it ta b tti tth W U W UI W U I W dy dx dt h dt dy dxt t t th WU UUdt dy dxt t³ ⎧⎪ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎡ • • ⎤ ⎫⎪ +§ − = ⎨ ⎢ § ⎥ ⎬ =§³ ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ = ⎩⎪ ⎣⎢ • • ⎦⎥ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎣⎢ • • ⎦⎥ ⎭⎪⎧⎪ ⎡• • ⎤ ⎫⎪ =³ § ⎨ ⎢ − − ⎥ ⎬ = ⎩⎪ ⎣⎢ • • ⎦⎥ ⎭⎪´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´( ) ( )Здесь рассматривается задача с неподвижнымиконцами, т.е. = , ; = , ,поэтому 0 0H B iH Bi t t iH i t t Bi t i tW W x y W W x yU и U= = = == =2 22 20 0 0 0 0 00;B BBHH Ha b t a b t a bi t i ii i t i i i it tW U Uh U dy dx h U dy dx dt h U dy dx dtt t t=⎧⎪ • ⎫⎪ ⎧⎪ ⎡ • ⎤ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎡ • ⎤ ⎫⎪ =³ § ⎨ ⎬ −³ § ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ =−³ § ⎨ ⎢ ⎥ ⎬⎩⎪ • ⎪⎭ ⎩⎪ ⎣⎢ • ⎥⎦ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎣⎢ • ⎦⎥ ⎭⎪´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´

Скачать электронную версию публикации