ON GENERATEDNESS OF T-RADICALS BY BIMODULES.pdf На протяжении всей статьи группы будем предполагать абелевыми, кольца -ассоциативными с единицей, модули - унитарными. Будем приписывать кольцу свойства его аддитивной группы; так, фраза «кольцо S периодическое» означает, что периодической является аддитивная группа S+ данного кольца. Через ®s и ■ В верно включение ср(р(Л)) с р(В), причём р(А/р(А)) = О для любого модуля А. Радикал р называют идемпотентным, если для любого модуля А выполнено р(р(Л)) = р(А). Радикалы можно естественным образом частично упорядочить, полагая р < а в том и только в том случае, когда р(А) с а(А) для любого модуля АПусть (здесь и далее) F есть фиксированный левый ^-модуль, А - некоторый правый ^-модуль. Сумму всех подмодулей В модуля А, для которых выполнено B®SF= О, мы будем обозначать через WF(A). Заданный таким образом функтор Wp - идемпотентный радикал категории правых ^-модулей; будем называть его T(F)-paduKcmoM, или Т-радикалом, порождённым модулем F. В работе [3] было получено полное описание Т-радикалов категории абелевых групп.В статье [4] ставился вопрос: всегда ли существует ^-^-бимодуль V, такой, что идемпотентные радикалы WF и W^ категории правых ^-модулей совпадают? Там же было показано, что ответ на этот вопрос является положительным. Более того, верно следующее утверждение:WF = Wfgis для любых кольца S и модуля $F(1)(^-^-бимодульная структура на i7® S вводится естественным образом).В соответствии с [5] назовём F-нейтрализатором модуля^ множество Np(/4) всех его элементов а, таких, что в тензорном произведении A ®SF имеем a ®sf= О для всякого feF. Определённый таким образом функтор Np является радикалом (вообще говоря, не идемпотентным). Отметим (без доказательства) следующее очевидное свойство нейтрализаторов:1Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационнойРоссии на 2009 - 2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г.2Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238.О порождаемое™ Т-радииалов бимодулями17Лемма 1. Если ^является гомоморфным образом модуля SH, то N# < Np.В [5] отмечалось, что Wp - наибольший из всех идемпотентных радикалов р, удовлетворяющих условию р < ~NP. Основной нашей целью будет доказательство утвержденияN/г = Np®s для любых кольца S и модуля SF;(2)в силу сказанного выше, (1) будет получаться из (2) как простое следствие. Предложение 2. Для любых кольца S и модуля $F выполнено ~NP < Np&s-Доказательство. Пусть As есть некоторый модуль. Известно, что существует изоморфизм абелевых группA®s(F®S),(3)переводящий элементы вида (a®sf)®s в элементы a®s(f®s). Следовательно, для всякого а е ~Np(A) имеем равенство a®s(f®s) = О при любых/е F и s e S, откуда сразу следует а е ~NF®s(A). Предложение доказано. ■Далее нам потребуется ряд вспомогательных результатов. Центр кольца S мы будем обозначать через Z(S). Периодическую часть и />-примарную компоненту произвольной группы G обозначаем соответственно t(G) и Gp.Предложение 3. Если кольцо S периодическое, то для любого sF выполнено неравенство ~NF®s ^ Nf.Доказательство. Так как S содержит единичный элемент, оно разлагается в конечное прямое произведение колец Sp, соответствующих различным простым числам р. Тогда всякий левый модуль SF есть прямое произведение модулей Fp, являющихся левыми модулями, каждый над своим кольцом Sp. Покажем теперь, что модуль F есть гомоморфный образ модуля F® S.В силу сказанного, достаточно доказать данный факт в предположении, что S есть некоторое р-кольцо. Элемент 1 имеет в р-трутте S+ максимальный порядок, т.е. циклическая подгруппа (1) - прямое слагаемое этой группы [6, лемма 15.1]; пусть л: S+ ->■ (1) есть соответствующая проекция абелевых групп. Аддитивный гомоморфизм ср: F®S ->■ F определим при помощи равенства ср(/ s) = n(s)f. Из равенства 7i(l) = 1 следует сюръективность ср. Далее, образ л содержится в Z(S), поэтому ф - эпиморфизм левых S-модулей. Применяя теперь лемму 1, получаем неравенство Nf®s < Nft что завершает доказательство. ■Лемма 4. Пусть S - непериодическое кольцо, такое, что S/Sp есть />-делимая группа. Тогда:1)Кольцо S разлагается в прямую суммуS = K@SP(4)своих идеалов, причём группа К является />-делимой, а группа Sp - ограниченной.2)Для кольца Z(S) справедливо прямое разложениеZ(S) = Z(K)®Z(SP),(5)обладающее теми же свойствами.Доказательство. 1) Очевидно, что Sp - идеал кольца S. По условию леммы имеем равенство 1 + Sp = p(s + Sp) для некоторого s e S. Тогда элемент 1 - ps e S имеет порядок р для некоторого целого к>0; в этом случае />-высота элемента рк-\ е S бесконечна. Отсюда уже сразу получаемpkSp = 0.Sp - ограниченная сервантная подгруппа группы S+; следовательно, найдётся подгруппа К группы S+, такая, что имеет место групповое прямое разложение (4). Тогда из изоморфизма К = S/Sp следует ^-делимость группы К. И наоборот, все18ЕЛ. Тимошениоэлементы кольца S, имеющие бесконечную />-высоту, должны лежать в К в силу ограниченности Sp. Отсюда получаем, что К является идеалом в S.2) Ясно, что выполнено условие (5), причём Z(Sp) совпадает с ^-компонентой группы Z(S). Поэтому остаётся проверить />-делимость группы Z(K). Для всякого а е Z(K) и всякого натурального числа к найдётся элемент Ъ идеала К, такой, что р Ъ = а. Для произвольного с е К имеем р {be - сЪ) = ас - са = 0. В идеале К, нет элементов порядка/?, так что Ъ е Z(K). Поэтому группа Z(K) является/>-делимой, что и требовалось. ■Теперь мы готовы доказать основной результат статьи.Теорема 5. Для любых кольца S и модуля SF выполнено NF = ~NFS)S.Доказательство. Благодаря предложениям 2 и 3, нам достаточно убедиться, что неравенство Npgs < Np выполнено, если кольцо S является непериодическим. Предположим противное: пусть для некоторого модуля As существует элемент а е А, такой, что а е Npg>s(/4) и а -компонент Хр, для которых ph = А. Далее, из сервантности подгруппы Y в группе X и включения х е Ns (X) нетрудно вывести, что х е Ns(7). Поскольку х Ф 0, мы можем найти такое простое число р, что для проекции л: Y ^Xv будет выполнено >> = 7г(х)^0. Из х е Ns(7) теперь следует yeNs(Xp).Напомним, что рА = А. Возможны два случая.а)Пусть pS = S. Это означает, что элемент р ■ 1 обратим в кольце S. Поэтому Sсодержит подкольцо R, которое изоморфно кольцу всех рациональных чисел, чьизнаменатели являются степенями числа р. В этом случае А и F (а значит, и X) -модули над кольцом R, что противоречит неравенству Хр Ф 0.б)Пусть pS Ф S. Группы Л и t(S)/Sp являются />-делимыми; следовательно, темже свойством обладает и аддитивная группа кольца S/Sp. Это означает, что Sp Ф 0.Применяя лемму 4, приходим к разложению (4); пусть характеристика кольца Spравна pk, a g есть единичный элемент кольца Sp. Как мы знаем из доказательствапредложения 3, циклическая группа G = (g) порядка р есть гомоморфный образгруппы Sp и, значит, гомоморфный образ группы S+. Применяя теперь лемму 1,приходим к включению у е ~NG(XP), где NG - радикал категории абелевых групп.Заметим, что А и F (а значит, X и, далее, Хр) суть модули над Z(S). Применяя лемму 4, приходим к разложению (5). Из />-делимости идеала Z(K) мы получаем равенство Xp-Z(K) = 0, т.е. Хр является 2(5,р)-модулем и, значит, ркХр = О. Отсюда следует, что эпиморфизм Хр ->■ Хр G, переводящий всякий элемент Ъ в элемент Ъ ®g, будет изоморфизмом [6, § 59]. Тогда из у е NgCX^) сразу получаем у = 0 -противоречие.Теорема доказана. ■О порождаемое™ Т-радииалов бимодулями

Скачать электронную версию публикации