ON PERFECT OSCILLATIONS OF NANOTUBES IN THE NATURAL MAGNETIC FIELD.pdf Эйлерово описание движенияПусть нанотрубка имеет собственный магнитный момент, направленный по ее оси и имеющий величину ц. Для того чтобы определить влияние магнитного поля на ориентацию системы нанотрубок в пространстве, будем использовать подход Эйлера, хорошо известный в классический механике [1], то есть будем опираться на теорему о моменте количества движения, записанную в главных осях инерции тела для центра масс, и кинематические соотношения, определяющие проекции угловой скорости тела через углы Эйлера и их производные.Пусть d - диаметр нанотрубки, а / - ее длина. Так как d « I, то моменты инерции относительно осей Ох и Оу можно принять равными моменту инерции стержня длиной /, взятому относительно оси, проходящей через его центр масс, то естьА = В = ^.(1)12Здесь т - масса нанотрубки.Момент инерции относительно собственной оси трубки можно принять равным моменту инерции однородного сплошного кругового цилиндра относительно его геометрической оси, то есть положитьС = ^-.(2)8Однако, как будет видно из дальнейшего, эта величина практически не будет оказывать влияния на вращение нанотрубки около ее центра масс.Самый общий вид кинематических уравнений Эйлера следующий [1]:р =\]/sint)sincp + t)coscp, q = \j/sin9coscp-8sincp, г = ycos9 + q).(3)1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 08-01-00484-а).46МЛ. БубенчиновЗдесь p,q,r - проекции векора угловой скорости тела на оси подвижной системы координат Oxyz; ф - угол собственного вращения; v|/ - угол прецессии; 9 - угол нутации (см. рис. 1).Рис. 1Динамические же уравнения в рассматриваемом случае будут иметь вид [1]A^ + {C-A)qr = %A^- + {A-C)pr = L{}dt(4)Пусть задано внешнее магнитное поле В = (Bf В В \. Тогда момент, вращающий нанотрубку, определится следующим образом [2]:&] =\х\к,В].(5)Здесь \х - собственный магнитный момент трубки, В - вектор магнитной индукции внешнего магнитного поля, к - орт оси z, направленной по оси трубки.Найдем проекции момента внешних сил на оси подвижной системы координатOxyz, то есть найдем Щ\ Щ\ Dp. Для этого распишем векторное произведение, выражающее момент внешних сил:JОв„ктП■■\х[к,В]--(6)коппi(^By)+j(^Bx)+k(0)ЁLв.Как видим, проекция момента внешних сил на собственную ось вращения Dp оказалась равной нулю. Поэтому третье уравнение (4) дает первый интегралг = const.(7)Напомним, что мы изучаем лишь поворот трубки около своего центра масс. Это удобно сделать, введя в рассмотрение две системы координат: одну О^л^, оси которой не меняют своей ориентации в пространстве, другую Oxyz, жестко связанную с телом и имеющую начало также в центре масс. В данный момент време-Об идеальных колебаниях нанотрубон в естественном магнитном поле47ни каждая из осей подвижной системы составляет определенный угол с тремя осями неподвижной системы отсчета. Таким образом, имеется девять величин, называемых направляющими косинусами, фиксирующих положение подвижных осей относительно неподвижных.Как известно из аналитической геометрии, декартовы координаты точек в обеих системах связаны равенствами:х = а1| + Р1г| + у1С,>> = а2| + Р2г| + у2С,(8)г = а3| + РзГ| + УзС-Если для определения положения твердого тела в пространстве использовать углы Эйлера ф, v|/, 9 (см. рис. 1), то значение упомянутых выше косинусов углов будут следующими [3]:otj = cos \[i cos ф - sin \[i sin cp cos 8, a2 =-cos у sin cp-sin у cos cp cos 9,Pj = sin\\icosф + cos\[isincpcos8, P2 =-sinysin9 + cosycos9COs8,(9)Yj =sincpsin9, y2 =coscpsin9.Значения a3, рз, y3 мы не приводим, поскольку в дальнейшем они не понадобятся.Согласно (6), для задания компонент момента внешних сил, входящих в динамические уравнения (4), необходимо выразить значения компонент внешнего магнитного поля Вх, Ву через заданные величины В^, В^, В^. Следуя формулам (8) и (9), найдемВх = В^ (cos\]/coscp-sinysincpcos9) ++5Л (sinycoscp + cosysincpcosB^Z^ sincpsinB,(10)Ву =-B'q (cosysincp + sinycoscpcosB)--B (sinysincp-cos\]/coscpcos9) +Д. coscpsinB.(11)Заметим, что для интегрирования уравнений (3), (4) необходимо задать следующие начальные данные:Ф(о) = Фо, ч/(о) = ч/0, е(о) = е0,р(®) = Ро, ?(0) = ?о, г(°) = го-Здесь ф0, Ц10, 60, р0, q0, г0 - некоторые константы. Будем считать трубки случайным образом ориентированными в пространстве. Это означает, что Ф0, \\10, 60 будут случайными числами. Имея в виду интеграл (7), получимr(t) = r0.Для нанотрубок С coscp-gsincp = 8.(15)И, наконец, третье уравнение (3) с учетом полученного интеграла перепишем следующим образом:q> = r0 -(/>sincp + 9coscp)ctg9 .(16)Структурная запись уравнение (12) - (16) следующая:^ = Р(?,ср,Ч,,е);(17)at% = Q(P,V,V,Q);(18)at^ = @(p,q,cp);(19)at^ = 4>(p,q,(0).На рис. 4, 5 представлен вариант с Е = 7-Ю3 с~2 и с теми же начальными данными. Как видим, в этом случае частота собственных колебаний увеличилась практически на порядок. При этом амплитуда колебаний остается той же, как и в предыдущем примере, во все время движения, что говорит о выполнении закона сохранения энергии при идеальных колебаниях.52МЛ. ВубенчиновРис. 2Рис. 3Рис. 4Рис. 5

Скачать электронную версию публикации