The range of the Schwartz derivative.pdf Основными методами геометрической теории функций являются метод параметрических представлений, метод площадей, вариационный метод, метод интегральных представлений. Эти методы появились в разное время, и поводом для их разработки явились различные экстремальные задачи, к числу которых относится задача Л. Бибербаха о коэффициентах голоморфных однолистных в единичном круге функций на классе S, а также задачи практического построения конформных отображений односвязных и многосвязных областей.В статье даётся применение метода параметрических представлений к задаче о нахождении области значений производной Шварца на классах S и SM. Используемый метод, позволяющий получить конформное отображение одной области на другую в результате предельного перехода в специально построенных семействах отображений, в своей первооснове восходит к работе Карла Лёвнера [1]. О дальнейшем развитии метода см. в [2, 3].1. Производная Шварца: определение и свойстваПусть/- голоморфное однолистное отображение области DcC Тогда существуют все производные f(n) (и = 1,2,...), голоморфные в D, причем /'(z)^0 bD. Производной Шварца (или шварцианом) функции /называют функциюf\z) l\f\z))обозначаемую также {f(z), z}, {/ z}, т.е. {f(z), z}={f, г}=Ф(г).Отметим следующие свойства {/ z}.1°. Очевидно, {z, z}=0.2°. Если f(z) - дробно-линейная функция, т.е. f(z)=(az+b)l(cz+d), ad-bc^O, то {f,z}=0.3°. Покажем, что если ^=F(w) - голоморфная функция в /(D), a w=f(z) - голоморфная функция в D, то6И.А. Александров, В.А. Пчелинцев{F{f(z)),z} = {F(w),w}f'2(z) + {f(z),z}.(1)► Действительно, так как [F(f(z))]'= F'(f(z))f(z), то для логарифмической производной имеем[F(f(z))Y _ F"(f(z))f'(z) | f"(z)[F(f(z))]'F'(f(z))f'(z)'Следовательно,f[F(f(z))]")2 _(F"(f(z))f'(z))2 ]2F"(f(z))f"(z) ff"(z)Y(3)VlF(f(z))]'J У F'{f{z)) )F'{f{z)) yf(z)Продифференцируем (2) no z, получим[F(f(z))]'" f[F(f(z))]"Y _ F'"(f(z))(f'(z)f F"(f(z))f"(z)[П/Ш K[F(J(z))]')F'(f(z))F'(f(z))F"(f(z))f'(z))2 | f'"(z) (/"(г)"(4)F'(f(z)) J f\z) \f\z). Вычитая из формулы (4) формулу (3), предварительно умноженную на Vi, получим (1).-^В частности, полагая F(w)=(aw+b)/(cw+d), ad-bc^O, имеем{F(f(z)),z}={f(z),z}.2. Интегральное представление производной ШварцаПусть S- класс голоморфных однолистных в круге i?={zeC: |z|:ro2-|g(-zo)|2g(-zo)(l-\zo\2)z-z,l-Z0Zjю -g(~zo)gK"zol-z0zгде g (z) = /ffl z, cp, a(l), 1 < ю < oo, 0

Скачать электронную версию публикации