Integral analogs of series in Banach spaces.pdf Рассмотрим сходящийся ряд У^ xi в банаховом пространстве Е над полем R.г=1Интегральным аналогом этого ряда назовём несобственный интеграл Бохнера->+соX[ x(t)dt = lim \x(t)dt, где x(t) = х, при te[i- 1, /'), /' е N. Заметим, что собст-*X->+оо *ООвенный интеграл Бохнера [ x(t)dt существует тогда и только тогда, когда сущест-о+СОад->+О0вует [ ||*(0|| dt = У^ ||хг. ||, однако несобственный интеграл [ x{f)dt определен иО2=1ОООего значение совпадает с суммой ряда Ух,- . Пусть члены ряда переставленыг=1биекцией п: N->N. Тогда интегральный аналог можно переставить соответствую-->+ооXщим образом: f x(8(t))dt= lim \x(8(t))dt, где 5: [0;+оо)-> [0;+да), 5([/- 1,/')) =*X->+оо *ОО->+О0= [7г(/') - 1,7г(/')). В общем случае под перестановкой интеграла [ x{f)dt пони-о->+О0маем [ x(8(t))dt, где 5: [0;+ [0;+оо) - биекция, сохраняющая меру Лебега,о то есть перестановка (см. [1]). Аналогично области сумм ряда (см. [2]) определим область значений несобственного интеграла, как множество всех таких элементов уеЕ , что найдётся перестановка 5: [0;+со)-> [0;+да), для которой не-->+О0собственный интеграл J x(ß(t))dt сходится к у.о1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России». Госконтракт П937 от 20 августа 2009 года.30EI. Лазарева, О.С. ОсиповВ работе [1] рассмотрен ряд Корнилова (см. [3]) У^срг , ф,е1Д0;1), областьсумм которого состоит из двух точек Lp(0,1), а именно, из функций, тождественно равных 0 и 1 на интервале (0;1). В [1] показано, что интегральный аналог этого->+СОряда [ (p(t)dt имеет область значений, состоящую из всех постоянных функцийо в Zp(0,l). Цель нашей работы - доказать, что интегральный аналог любого условно сходящегося ряда в банаховом пространстве Е имеет в качестве области значений аффинное подпространство в пространстве Е. А именно, докажем следующую теорему.ООТеорема. Пусть дан условно сходящийся ряд У^ хг = s0 в банаховом про-г=1->+СОстранстве Е. Тогда для его интегрального аналога [ x(t)dt выполнено:оОС( j x(t)dt) = s0+ jxe£:V/e£*£|/(X;)|/(*) = 0ОI2=1JГОООтметим, что множество s0 + 0 . Выберем N е N так, чтоVp,q>N: \\со/е[0,+оо)\тг_1М.Осталось заметить, что+00+00t„fc„+«>J /(я(О)Л = Hm f Ф„ отг = lim $Х^(Я"Ч») = lim 1Х„м4-,„ = f /(0* ^И->co "n->co . ,x'И->co . ,"002=12=10Лемма доказана.Нам понадобится следующая лемма (см. [2]).ООЛемма 3. Пусть дан условно сходящийся ряд 2^ xt в банаховом пространстве Е.Пусть у е Е, Q({xi}c°=A = .I2->.])^,'- = 3>...>iv1}u{a->.I2)^,'- = ^i+i,...^2}),следовательно, по лемме 3Находим Хг- е [0; 1], такие, что< б, . ПОЛОЖИМт3- х2 + ^ Хг- + (1 - Х3 - Х3 - Х3).г=3Перестановку а на [т2, т3) зададим так: для каждого ie{3,...,Ni}, такого, что Х^>0, возьмем промежуток [Xf + Х) +(/'- 1), "к] + Хг2 + Х) +(/'- 1)), при/■е{М+1,...,Л^2} - промежуток [Х2+(/-1), "к] +Xf +(/- 1)), а при г'е{ЛГ2+1,...,ЛГ3} - промежуток [/' - 1, Х^ +(/' - 1)). Составим эти промежутки подряд в порядке следования индекса /', а в конце добавим промежуток [3-Х3 -Х\ -Х\, 3), если он непуст. В результате определено множество ст([0, т3)), которое содержит полностью промежуток [0, 3), причемf x(a(t))dt -< X, +ЕчПостроение дальнейших членов последовательности (т^) и перестановки а на промежутках [т^_ь т^) аналогично, при этом всякий раз ст([0, т^)) содержит [0, к) ич-S+СОпостроив перестановку 5:[0;+со)->[0;+со) такую, что [ х(а о 8(t))dt = s . Для каж-одого £eN рассмотрим систему элементов { a :Xj,jeJk},{X^h1J = k + l,...,Nk+^{(l-Xl-Xl-...-Xkk)xk}={ak]xJJeJk},36EI. Лазарева, О.С. Осиповкоторая состоит из элементов, добавленных к значению sk = \ x(a(t))dt для полу-о4+14+1Ччения sk+l = \ x(a(t))dt. Заметим, что V ах- = [ x(a(t))dt - \ x(a(t))dt -»0j^Jkпри £-»со, где а - длина промежутка, на котором зафиксирован соответствующий элемент х, . К системе {xj},jeJk, применим обобщенный вариант леммы 1 и получим перестановку 5^, отличную от тождественной на [х^; xk+i) и такую, чтоsupj x(p(8k(t)))dti^Jk+ гк. Перестановку 5 построим так:5(Х) = Ък (t) при te [тк, %к+\), 8(0 = t при te [0, xi). Имеемчj" x(o(5(t)))dt - sj x(a(5k(t)))dtj" x(o(5(t)))dt - sj x(a(t))dt -j x(p(8k(t)))dt< \\x, \\ + e, ++ ek ->■ 0 при x -> +GO,J+coy^.+coVO0->+COlim \x(t)dt =f\ f x(t)dt■f(s0).у->+coV0:/Тогда f(s0 -y) = 0 и _y e s0 + Г0 ({хг}" j J. Доказательство теоремы завершено.

Скачать электронную версию публикации