Radicals that are generated or cogenerated by bimodules.pdf В статье [1] изучались связи между двумя близкими по свойствам классами идемпотентных радикалов, задаваемых при помощи функтора Нот. Прежде чем дать нужные определения, приведём основные обозначения и договорённости.Все группы предполагаем абелевыми, кольца - ассоциативными с единицей, модули - унитарными (по умолчанию правыми). Через ®s и 1) => 4) очевидны.3)=>2). Из равенства HS(SV(V) = V сразу получаем HS(SV >HV. Пусть теперь выполнено^ е A(V),тогдаHoms (S®V, А) = Hom(S, Honis (V, А)) = Hom(S, 0) = 0, т.е. А е A(S®V). Из A(V) с A(S®V) следует Hse>v < Hv, что и требовалось.5)=>2). Из эквивалентности равенств Нот^,X) = 0 иХ=0 и сопряжённости функторов и Нот мы заключаем, что условие Homs(S®V,A) = 0 равносильно условию Honis(F,^) = 0. Таким образом, полупростые классы радикалов Hs®f и Hv совпадают; следовательно, совпадают и сами радикалы.2)=> 5). Достаточно провести в обратном порядке рассуждения, приведённые вдоказательстве импликации 5) => 2).4) => 3). Пусть Hv = Нд, где А есть некоторый класс ^-^-бимодулей. Тогда для всякого модуля В е А выполнено неравенство Нв 4) очевидна.2) =>6). Зафиксируем произвольный радикал Нг категории mod-S (здесь Г есть некоторый класс правых S-moдулей). Через А обозначим класс, состоящий из всех бимодулей S®V, где V е Г. Тогда Нг (Нд) - наименьший из всех радикалов р, для которых неравенство Ну < р (соответственно Hs®v ^ р) выполнено для любого модуля V еГ. Для всякого Vs имеем Hs®v = HF; отсюда Нд = Нг.5) =>7). Положим As = Vs Ф 0, тогда Х = End Vs Ф 0. Отсюда уже немедленно получаем неравенство Нот^, X) Ф 0.7)^>3). Пусть W= V/Hse)V(V), тогда имеем Use)V(W) = 0. Модуль S®W есть гомоморфный образ модуля S®V, поэтому из }ioms(S®V, W) = Q следует 0 = Нощ^ОГ, W) = Hom^, Homs(^, W)) = Нот(£, End Ws),что возможно лишь при W = 0. Следовательно, üs®v{V) = V. шВсякое кольцо, удовлетворяющее эквивалентным условиям теоремы 3, будем называть правым Ы-кольцом (от слов «бимодуль» и «радикал»).2. Радикалы, копорождаемые бимодулямиЕстественно будет поставить вопросы, двойственные по отношению к ранее рассмотренным (см. теоремы 2 и 3). Пусть Г - некоторый непустой класс правых ^-модулей. Через Кг обозначим наибольший из всех радикалов р, для которых справедливо Г с Рр. Тогда Кг -радикальный класс совпадёт с классом Ф(Г) всех модулей V, таких, что Нощ^Г7, ^4) = 0 для всякого А е Г. Мы будем говорить, что радикал Кг копорождается классом Г. Если класс Г состоит из единственного модуля^, то пишем просто К^ и Ф(А).Произвольный радикал р можно представить в виде Кг (для этого достаточно положить Г = Рр), т.е. всякий радикал копорождён подходящим классом модулей. При этом более широкому классу Г соответствует меньший радикал Кг.Пусть А - правый ^-модуль. Через рМ обозначим прямое произведение всех фактормодулей Вс = (S®C)/KA(S®C), где С - это произвольный подмодуль из А. Модуль S®С обладает ^-^-бимодульной структурой; тогда, как уже отмечалось в доказательстве теоремы 2, подмодуль KA(S®C) является подбимодулем. Итак, всякому модулю А мы определённым образом сопоставили ^-^-бимодуль рМ.Теорема 4. Пусть As - модуль. Следующие условия эквивалентны:1))Существует ^-^-бимодуль В, такой, что Кв = К^.2))Kp^ = К^.3))Для всякого ненулевого подмодуля С из А выполнено Homs(S®C,A) ф0.4)Радикал К^ копорождается некоторым классом ^-^-бимодулей.5))Для любого Vs иX = Honis (V,A)m Rom(S, X) = 0 следуетX = 0. Доказательство. Импликации 2) => 1) => 4) очевидны.4) => 5). Пусть КА = Кд, где А есть некоторый класс ^-^-бимодулей. Допустим, что выполнено Hom(S,X) = 0. Из сопряжённости функторов и Нот получаем равенство Homs(S®V,A) = 0. Далее, из условия Ф(А) = Ф(А) сразу находим, что Homs(S®V, В) = 0 для всех В е Д. Учитывая лемму 1, можем заключить, что для всех В е А выполнено равенство Honig (V, B) = 0. Это приводит нас к включению Ve Ф(Д) = Ф(А),т.е.Х=Яот8(У,А) = 0.Радииалы, порождаемые или нопорождаемые бимодулями515) => 3). Для ненулевого подмодуля С из А имеемX = Homs (С, А) фО. Отсюда Homs (S®C, А) = Uom(S, Honis (С, А)) = Hom^, X) Ф 0.3) =>2). Для произвольного подмодуля С из А бимодуль Вс будет содержаться в К^-полупростом классе, а следовательно, бимодуль рМ также входит в этот класс. Из равенства КАфА) = 0 следует К^ < Кр^.Пусть Vi Ф(А), т.е. имеется ненулевой ^-гомоморфизм ф: F-»А Обозначим образ этого гомоморфизма через С. Из неравенства Homs (S® С, А) ^0 получаем, что KA(S®C)4tS®C; следовательно, Вс ^0. Пусть 5®с + KA(S®C) - ненулевой элемент из Вс. Нетрудно убедиться, что отображение, действующее по правилу v ->■ s cp(v) + Ka(S®C), задаёт ненулевой ^-модульный гомоморфизм из V в Вс. Тогда имеем Нощ^К, рМ) ^0, отсюда Fg Ф(рМ). Итак, мы доказали включение Ф(рМ) с Ф(А), эквивалентное неравенству К^ > Кр^. ■Замечание. Теорема была бы справедлива и в том случае, если бы через рМ мы обозначили не прямое произведение бимодулей Вс, а их прямую сумму.Некоторая двойственность, связывающая теоремы 2 и 4, ведёт к интересному результату. Оказывается, что теорема 3 и двойственная ей теорема 5 описывают один и тот же класс колец: в самом деле, условия 5) этих теорем совпадают.Теорема 5. Пусть S - кольцо. Следующие условия эквивалентны:1))Для всякого As существует ^-^-бимодуль В, такой, что Кв = К^.2)Для всякого As выполнено Кр^ = К^.3))Для всяких ненулевых Cs с As выполнено Homs (S 4) очевидна.2) =>6). Зафиксируем произвольный радикал Кг категории mod-S (здесь Г есть некоторый класс правых ^-модулей). Далее, символом А мы обозначим класс всех бимодулей fL4, где А е Г. Тогда Кг (Кд) - наибольший из всех радикалов р, таких, что КА > р (соответственно Кр^ > р) при всех А е Г. Так как для любого А имеем Kp^ = КА приходим к равенству Кд = Кг. ■Добавим к эквивалентным условиям теорем 3 и 5 ещё одно.Теорема 6. Пусть S - кольцо. Следующие условия эквивалентны:l)S- правое Ьг-кольцо.2) Если радикал категории mod-S порождается классом ^-^-бимодулей, то он копорождается некоторым классом S-S-бвмодулей.Доказательство. Импликация 1) => 2) сразу следует из теорем 3 и 5.2) => 1). Пусть S не является правым br-кольцом. Тогда существует ненулевой модуль Vs, опровергающий условие 7) из теоремы 3. Для него будет справедливо равенство Hom^S®!7, V) = 0, так что для радикала р = Hs®v, который порождён бимодулем, выполнено V е Рр. Имеем равенство р = Кд, где А есть некоторый класс ^-^-бимодулей.Из Дс?р следует, что Homs(S

Скачать электронную версию публикации