Some examples of E-solvable groups.pdf Все группы в статье предполагаются абелевыми, кольца - ассоциативными. Пусть А - группа. Тогда Е(А) обозначает кольцо ее эндоморфизмов. N - множество всех натуральных чисел, Z- аддитивная группа (или кольцо) целых чисел. Z(R) - центр кольца R. Подгруппа G группы А называется чистой (или сервант-ной), если GPmA = nG для каждого п е N; инвариантной, если JG £ G для каждого автоморфизма/группы А.Напомним, что если R - кольцо и а,Ъ е R, то элемент [a,b] = ab -Ъа называется коммутатором элементов а и Ъ. Если а\,...,а„ е R, то положим по индукции [аи...,а„] = [[аи...,а„^],а„].Подгруппу Н группы А назовем коммутаторно инвариантной (обозначение H>] = 0 и [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,>>]] = 0, а также1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы. Государственный контракт П 937 от 20 августа 2009 г.70А.Р. Чехлов1..\a,b,c,d\ + \b,a,d,c\ + \c,d,a,b\ + \d,c,b,a\ = 0. Ряд других свойств приведены в [1 - 4]. Отметим еще2..[хь...,хя_1,хя] = [[хь...,хя_2]хя_ьхя] - [x„_i[xb...,x„_2],x„]; 3. [хь...,-х,,...,хя] = -\Х\> ?Х/,... ,XnJ,4.[[a,Ä],[c, ?Xw-2j J,в)[[xb...,x„_2]x„_i,x„] = [x„_i[xb...,x„_2],x„];г)[[xb...,x„_i]x„,x„+i] = [xb...,x„_i][x„,x„+i].Доказательство, а) => б). Обозначим а = [хь...,хя_2], тогда в силу тождества Якоби[а,хя_1,хя] + [хя_1,хя,а] + \хп,а,хп_\\ = 0. Здесь [а,хя_ьхя] = 0 и [x„,a,x„_i] = - [a,xn,xn_i\ = 0. Значит, [хя_ьхя,а] = 0, т.е. выполнено б). Эквивалентность а) и в) вытекает из свойства 2 коммутаторов.а)=> г). Если а = [xi,...,x„_i], то \ахп,хп+\\ = ах^с„^\ -хп+\ахп = а\хп,хп+\\.При хя = 1 в г) получаем [хь.. ^x^bX^i] = 0, т.е. г) => а).б)=> а). Обозначим а = [хь...,хя_2]. Из [а,хя_ьхя] = [x„,x„_ba] после сокращенияполучаемХп-\ХпИ ~т~ ИХпХп_\ Хп^\ИХп ХпИХп_\ \) ИЛИ [Хи_],[Xn,WJJ W,что в силу произвольности элементов влечет а).Из п. г) свойства 6 следует, что кольцо R с единицей удовлетворяет тождествам [хьх2][х3,х4] = 0 и [хьх2,х3] = 0 тогда и только тогда, когда c[a,b] e Z(R) для любых a,b,c e R.7.Если кольцо R с единицей удовлетворяет тождеству [хьх2,х3] = 0, то[a,b][c,d] = [a,d][b,c] = [a,c][d,b] для любых a,b,c,d e R. В частности, если Ъ перестановочен с а или с, то [a,c][b,d] = 0. Поэтому если кольцо R не содержит ненулевых нильпотентных элементов, то оно коммутативно.Доказательство. Действительно из 6, п. г) имеем [a,b][c,d] = [[a,b]c,d] = = [a[b,c] + [ac,b],d] = [[b,c]a,d] = [b,c][a,d]. Оставшиеся утверждения доказываются аналогично.8.Пусть R - кольцо и [a,b] e Z(R) для некоторых a,b e R. Тогда множествоNaj>= {с 6 R I с[а,Ь] е Z(R)} является подкольцом в R, содержащим Z(R). Крометого, если х,у е Na>b, то R[x,y]R с Na$.Доказательство. Пусть сД е Naj,. Допустим, что cd[a,b] >]i? с 7Va j. Откуда следует, чтоГ[Х,>>]5 = [Х,>"]5Г + Г[Х,>>]5 - [Х,>"]5Г = [х,>"]5Г + [г,[х,>>]5] £ [x,>"]i? + [R,Nab] С Naj,.Е-центром группы А назовем следующую ее подгруппу:Z(A) = {а е А | [ф,У|/]а = 0 для всех ф,у|/ e Е(А)}.Подгруппу А' = ([ф,У|/14 | ф,у|/ е Е(А)) назовем Е-коммутантом группы А. Ясно, что коммутативность Е(А) эквивалентна любому из равенств Z(A) =A,A' = 0. Если а е А, то через [ф,У|/]а обозначим коммутатор элемента а.Очевидно, что если Н 1 - натуральное число яК- кольцо всех матриц видаnb а 0сЛ d a jгде a,b,c,d e Z.Если ß:пу х 0t хто aß-ßa,:Го о оn(pt-ydj\ 0 0: Z(K). По теоремеКорнера существует группа без кручения, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно К; эта группа Е-нильпотентна класса 2, коммутант которой не является чистой подгруппой.Легко привести примеры, когда подгруппы и факторгруппы Е-нильпотентной группы не являются Е-нильпотентными. Так, пусть А = В®С, где В и С - вполне инвариантные подгруппы с коммутативными кольцами эндоморфизмов группы без кручения А и рВ ф В, рС ф С. Кольцо Е(А) также коммутативно, поэтому А -Е-72А.Р. Чехловнильпотентная группа. Однако для любых Оф b е В яОф с е С подгруппа (й)©(с) и фактор-группа А/рА = (В/рВ)®(С/рС), как это следует из предложения 1, не являются Е-нильпотентными.Пример 3. Пусть К = Т2(Ъ) - кольцо целочисленных треугольных матриц порядка 2. Коммутатор любых двух матриц из К имеет вид а =для некоторого и е Z. Поэтому произведение любых двух коммутаторов есть 0 кольца К.Согласно теореме Корнера, существуют группы А с кольцом эндоморфизмов К,эти группы будут Е-разрешимыми группами класса 2. Если Ъ =е К, где\° ZJ(О u(z - x)\хфг, то аЪ-Ъа =. Откуда [a,b,...,b] фО для любого п, т.е. А не бу-дут Е-энгелевыми.Отметим, что для каждого п существуют Е-разрешимые группы класса п, не являющиеся Е-нильпотентными.Пример 4. Пусть Z[/'] = {m + ki \ m,k eZJ - кольцо целых гауссовых чисел. Рассмотрим кольцо (Z[/'])[x, ], состоящее из многочленов от х с коэффициентами из Z[/'], для которых выполняется равенство ха = ах, где ä - комплексное число из Z[/'], сопряженное к а. Пусть теперь К„ = (Z[/'])[x, ]/(x"), где (х") - идеал, порожденный х". Тогда [f,g]=fg-gfe хК„ для любых f,g e К„. Поэтому [f2„-\, fin] ■ ■ ■ ■ ■ ■ [/1J2] = 0 Для всехfj е К„ при /' = \,...,2п. Аддитивная группа кольцаК„ является счетной редуцированной группой без кручения. Как и в примере 2 в качестве А можно взять группу, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно К„. Поскольку,например, [х, /',...,/'] = (-2/)" х Ф 0, то А не является Е-энгелевой. Если рассмотретьпподкольцо в К„, состоящее из многочленов/(х) = йсрс™ + ... + ат со свободным коэффициентом ат е Z, то группа с соответствующим кольцом эндоморфизмов будет Е-нильпотентной.Пусть R - кольцо со свойством [х,у,у] = 0 для любых х,у е R. Тогда О = [xy+z,y+z] = [x,y,z] + [x,zy]. Согласно тождеству Якоби, [x,z,y] = [xy,z] + [y,z,x]. Откуда 2[x,y,z] + \y,z,x\ =0. Из 0 = [y,z+x,z+x] = [y,z,x]+[y,x,z] получаем [y,z,x] = = - [y,x,z] = [x,y,z]. Поэтому 3[x,y,z] = 0. Аналогичным образом, используя свойство 1 и уже доказанное равенство 3 [xy,z] = 0, можно показать, что [x,y,z,t] = 0 для любых xy,z,t e R.Как и для абелевых групп, можно определить Е-разрешимые, Е-нильпо-тентные и Е-энгелевы модули. Из вышеприведенных рассуждений следует, что всякий Е-энгелев модуль Мкласса < 2 является Е-нильпотентным класса < 3, а если для каждого т е Миз Ът = 0 следует т = 0, то и Е-нильпотентным класса < 2. Если же М - абелева группа и М имеет ненулевую 3 -компоненту, то М = В®С, где В- неразложимая 3-группа и Е(В)- коммутативное кольцо. Из предложения 1 следует, что С не имеет элементов порядка 3. Поэтому в силу вышесказанного всякая Е-энгелева группа класса < 2 является Е-нильпотентной класса < 2.Если Н< kiA и R = Е(А), то положим ZR(AIH) = {ä e AIH \ [a,ß]ä = 0 для всех a,ß

Скачать электронную версию публикации