Analytical solution for the problem of ignition of awooden house wall under action of a forest fire front.pdf Известно, что во многих случаях в результате действия лесных пожаров на отдельные деревянные постройки в поселках и городах, расположенных на территориях, покрытых лесом, возникают пожары [1]. В частности, в г. Лос-Аламос (США) в мае-июне 2000 года имел место массовый городской пожар, причиной которого послужил лесной пожар [2, 3]. В связи с этим представляет интерес физическое и математическое моделирование воспламенения стены деревянного дома в результате действия фронта лесного пожара.Цель исследования заключается в определении времени зажигания стены деревянного дома, что позволит планировать организацию тушения пожара.Для получения аналитического решения этой задачи были приняты следующие основные допущения:1.Начальные температуры фронта лесного пожара ТГ и деревянной стены Тнизвестны.2..На границе раздела сред (зона пожара - деревянная стена) имеют место теплообмен в результате действия процессов излучения и теплопроводности, а также гетерогенные процессы испарения воды и горения древесины.3..Наряду с процессом теплопроводности при решении задачи учитывается перенос окислителя (кислорода) к границе раздела стены и фронта пожара, в результате чего на поверхности деревянной стены происходит гетерогенная (процесс испарения) и экзотермическая гетерогенная реакция горения.4..Условием зажигания является достижение на границе раздела сред критической температуры Tw \ = Т* » Тн .5..Предполагается, что зажигание происходит до момента окончательного прогрева деревянной стены.На рис. 1 показаны зоны 1 и 2. В первой зоне представлена область 1, где имеет место лесной пожар и при / = 0 температура равна Тг , а область 2 - деревянная стена, на которую действует фронт лесного пожара. Структура древесины об-Аналитическое решение задачи о зажигании стены деревянного дома89суждается в монографии [3], где отмечается, что она является пористым телом, в которое могут проникать жидкости и газы. Эти процессы на качественном уровне подробно рассмотрены в [4] с использованием известных экспериментальных данных. В работах [3 - 6] обсуждаются закономерности возникновения различных катастроф, в том числе и пожаров.1Область расположения фронта лесногопожараАОбластьрасположениядеревяннойстены>х 0Рис. 1. Область определения основной системы уравнений1. Математическая постановка задачи о зажигании деревянной стеныПредположим, что уравнение теплопроводности для зоны пожара и слоя древесины имеют вид [7]д2Т22^гд2Тх~dt~при -оо < х < 0, adtпри 0 < х < оо,(1)ГДе a!=VPlCvl И «2=^2/P2Cvкоэффициенты температуропроводности вофронте пожара и деревянной стене, м /с; \ - коэффициент теплопроводности среды природного пожара, Дж/(м-с-К); Х2 - коэффициент теплопроводности древесины, Дж/(м-с-К); Р] - плотность среды природного пожара, кг/м3; р2 - плотность древесины, кг/м3; cvl и cv2 - теплоемкости газа в зоне пожара и древесине, Дж/(кг-К); t - время, с; х - координата, м; Zj и Т2 - температуры в зоне пожара и в слое древесины, К.Будем считать, что на границе раздела сред выполняются условия равенства температур фронта пожара и древесины и баланс тепловой энергии с учетом окисления древесины и испарения воды из нее:дТдхт Iх=0~-Т-,\ ,,.к2- 1х=0 'еоТг + X]х=0дх+q2k2Picw exP4iApw-pe)j2nRMBTw(2)Здесь Тг - температура горения во фронте лесного пожара, К; е - коэффициент90A.M. Гришин, П.В. Пугачевачерноты; а - постоянная Стефана - Больцмана, Дж/(м2-с-К4) [7]; R - универсальная газовая постоянная, Дж/(моль-К); Мв - молярная масса воды, кг/моль; Tw - температура на границе раздела сред, К; А - эмпирический множитель; qx -теплота испарения воды, Дж/кг; pw и ре - известные давления на границе раздела сред и в окружающей среде, Па; q2 - тепловой эффект горения древесины, Дж/кг; cw - концентрация кислорода на границе раздела сред; к2 и Е2 - пре-дэкспоненциальный множитель, м/с, и энергия активации, Дж/моль, для скорости гетерогенной реакции окисления древесины.Кроме того, необходимо учесть начальные и граничные условия при х ->■ -оо :7Ц,=0=7>, lim71=7>(3)и при х ->■ оо :Т21,=Тн,МтТ2=Тн.(4)2. Аналитическое решение задачиИспользуя результаты исследований, опубликованных в [7], для уравнения теплопроводности (1) при х < 0 имеем решение{ 1x1 ^(5)7] =А1+В1Ф2^/й]/ где Ах и Вх - произвольные постоянные, а Ф - функция ошибок [7].Для второго уравнения (1), описывающего распространение теплоты в древесине при х > 0, согласно [7], имеет место другое общее решение:Т2=А2+В2Фf х ^2y/ä^ j(6)Здесь А2 и В2 - произвольные постоянные. По определению [7]Ф(х)=-Уе-^.(7)Vtij0Видно, что в начальный момент времени температура в левой части области определения основной системы уравнений соответствует температуре горения во фронте лесного пожара, т.е. при х < 0 имеемП=о =Тг-(8)Из первого граничного условия (2) следует с учетом (5) и (6), чтоА=А2.(9)Используя выражения (6) и (7), находимАналитическое решение задачи о зажигании стены деревянного дома91дхх=052-^=ехр(-х )V7IВ,2*Ja2t yJTia2t(И)Из граничного условия (3) при х ->■ -оо получимА1+Вх =ТГ, а с учетом граничного условия (4) при х ->■ оо находим(12)А2+В2=ТН.(13)Подставляя формулы (10) и (11) во второе граничное условие (2), получаем уравнение^Jna2t/иyJTia2t -yjlTiRMBTWщ -^-^-^%^+^w-i^(14)Таким образом, имеем систему уравнений (9), (12), (13) и (14) для определения четырех неизвестных А[,А2,В1.В2. Из выражений (9), (12) и (13) получаемАХ=ТГ-В17(15)В2=ТН-ТГ+В1.(16)Подставляя (16) в уравнение (14), после соответствующих преобразованийимеемЛ0-^jna^t^lVö2 _^2Val&aT4 ^2(ТГ-Тн) 4lA(PW-Pe) +yfnajyjlTiRMBTw+q2k2PlCw eXP(17)Подставляя (20) в (18), найдем вьфажение для B2(t).Далее следует определить неизвестное значение концентрации кислорода на поверхности древесины cw, входящее в вьфажение (2). Для этого используемуравнение, описывающее диффузию кислорода:д2сдсD-оо■ -оо .92A.M. Гришин, П.В. ПугачеваКроме того, на границе раздела сред имеется гетерогенная реакция окисления, поэтому справедливо условиедс охЛр2с„ехр|--^-|.(21)Подставляя (19) в граничное условие (21), получимP-#*.«»(-Jt)-mИз (19), (20) следует, что плотность кислорода на границе раздела сред при х = 0 равнаcw = а .(23)Из (19), с учетом того, что в нашем случае Ф| =_о0 = 1, имеема = сн - ß .(24)Используя (22) - (24), получим^нс„4Б(25)Л5 + 4%tk2 exp-2 ' RT„Окончательное выражение для концентрации кислорода после преобразований будет иметь видуГ5 + 4тйк2ех$[ - 2(25)Легко видеть, что cw - концентрация окислителя на границе раздела сред, которая должна быть всегда меньше 1, что следует из определения cw . Поскольку предэкспоненциальный множитель к2 «1, то cw при Ew ->■ оо имеет порядоксЛт «1.(26)Этот результат согласуется с физикой процесса гетерогенного воспламенения.Представленные в работе результаты исследования перехода лесных пожаров в городские и поселковые исчерпывают проблему анализа действия природных пожаров на населенные пункты. Очевидно, что необходимо сравнить статистические данные по действию природных пожаров и использовать более точные математические модели прогноза катастроф [4-6] и численные методы решения задач математической физики [8]. Очевидно, что для создания баз данных математических моделей необходимо использовать методы решения обратных задач математической физики [9].Аналитическое решение задачи о зажигании стены деревянного дома93На рис. 2 представлен график изменения температуры в зависимости от пространственной координаты х, а на рис. 3 - изменения концентрации кислорода.12001000800600400200Г, КРис. 2. График изменения температуры в зависимости от пространственной координаты х при t = 100 с0,2299999990,2299999980,2299999970,229999996С 0,23Рис. 3. График изменения концентрации кислорода в зависимости от пространственной координаты х при t = 100 с94A.M. Гришин, П.В. ПугачеваЗаключениеНадо сказать, что в данной работе рассмотрена одна из простейших задач жизнедеятельности человека - сохранение жилищ, построенных из древесины, от действия лесных и степных пожаров.Результаты исследований, которые представлены в данной работе нуждаются в дальнейшем развитии. В частности, необходимо учесть пористость и проницаемость древесины, а также анизотропию ее структуры [10]. Необходимо наряду с теоретическими исследованиями провести экспериментальные исследования действия лесных пожаров на поселки и города с использованием комплекса экспериментальных установок [11].Используя методы [9-11], создать базу данных для численного решения задачи (значения коэффициентов теплопроводности и диффузии, пористости, скоростей испарения воды из пор и гетерогенных и гомогенных химических реакций.

Скачать электронную версию публикации