An algorithm with splitting of the wavelet transform of hermitian cubicsplines.pdf Вейвлетом называется малая, то есть быстро затухающая волна, множествосжатий и смещений которой порождает пространство ограниченных функций навсей числовой оси [1 - 3]. Вейвлеты используют в тех случаях, когда результатанализа некоторого сигнала должен содержать не только перечисление его харак-терных частот, но и сведения о локальных координатах, при которых эти частотыпроявляют себя. Это бывает важно при обработке и анализе нестационарных (вовремени) или неоднородных (в пространстве) сигналов. И. Добеши [1] впервыепостроила ортонормальные вейвлеты неполиномиального типа с компактныминосителями. Недостатками данных вейвлетов является то, что они не имеют ана-литического представления и графически похожи на фрактальные кривые. Чуи идр. [2, 3] построили полуортогональные сплайн-вейвлеты. В силу существованияявного базиса их можно непосредственно использовать в методах типа Галеркина,однако недостатком данных вейвлетов является то, что они определены на доста-точно широком носителе. В ряде работ [4 - 7] уменьшение носителя достигалосьпостроением эрмитовых сплайн-мультивейвлетов, у которых с каждым узлом свя-зано более одной базисной функции.Вторым важным аспектом применения сплайн-вейвлетов является то, что дляних, в отличие от вейвлетов Добеши, не существует явных конечных формул раз-ложения. Поэтому приходится обходиться приближенными соотношениями дляглавных коэффициентов разложения [2] либо прибегать к решению систем ли-нейных алгебраических уравнений, для которых не гарантирована хорошая обу-словленность [3]. В данной работе для случая эрмитовых кубических сплайновпредлагается новый эффективный алгоритм вычисления вейвлет-преобразованияна основе впервые полученных в [6, 8] конечных неявных соотношений разложе-ния с расщеплением по четным и нечетным узлам.Построение системы базисных сплайн-вейвлетовОтправной точкой для построения вейвлет-преобразования является наборвложенных пространств … VL-1º VL º VL+1 …. Для случая эрмитовых кубическихсплайнов пространство VL является пространством сплайнов степени 3 гладкостиC1 на отрезке [a, b] с равномерной сеткой узлов ƒL : ui = a + (b - a) i / 2L,i = 0, 1,…, 2L, L ≥ 0, и базисными функциями NLi,k (v) = ƒk (v - i), k = 0, 1 ei, где46 Б.М. Шумиловv = 2L (u - a) / (b - a) + 1, с центрами в целых числах, порожденными сжатиями исдвигами двух масштабирующих функций вида [9] (рис. 1, а):2 22 20 1(3 2 ), 0 1, ( 1), 0 1,( ) (2 ) (2 1), 1 2, ( ) (2 ) ( 1), 1 2,0, [0, 2]; 0, [0, 2].t t t t t tƒ t t t t ƒt t t tt t⎧ − „ „ ⎧ − „ „⎪ ⎪= ⎨ − − „ „ = ⎨ − − „ „⎪ ∉ ⎪ ∉⎩ ⎩ϕ0( ) t0 1 tt¹0( ) tϕ 0 1 1(t) 22¹1( ) tϕ0( )( )tt,ϕ1¹¹1(t)0(t),a бРис. 1. Графики масштабирующих функций ƒ0(t), ƒ1(t) (а)и вид симметричного и несимметричного «материнских» вейвлетов ƒ0(t), ƒ1(t) (б)С использованием вейвлет-преобразования функция в пространстве VL про-ецируется на два подпространства, VL-1 и WL-1. При этом «более грубый» уровеньпредставления функции в VL-1 получается из «более подробного» уровня пред-ставления функции в VL посредством прореживания (удаления каждого второго,как правило, отсчета). Здесь необходимо лишь, чтобы каждая базисная функция вVL-1 могла быть выражена в виде линейной комбинации базисных функций в VL. Втерминах масштабирующих функций это свойство называется масштабным соот-ношением, которое для эрмитовых сплайнов 3-й степени и коэффициента проре-живания 2 можно получить в виде следующих формул [10]:( ) ( )( )0 0 0 0 1 11 1 1 1 0 0( ) (2 1) 1 (2 ) (2 2) 3 (2 ) (2 2) ,2 4( ) 1 (2 1) 1 (2 ) (2 2) (2 ) (2 2) , 0 2.2 8t t t t t tt t t t t t tϕ =ϕ − + ϕ +ϕ − + ϕ −ϕ −ϕ = ϕ − − ϕ +ϕ − +ϕ −ϕ − „ „(1)Базисными функциями для VL-1 будут функции NL-1i,k, с носителями в два разабольшими по ширине и центрами в четных целых числах. Следующим этапом яв-ляется определение пространства вейвлетов. В классической теории вейвлетов по-строение производится сжатиями и сдвигами единственного «материнского»вейвлета на бесконечной равномерной сетке, на всей числовой оси, и пространст-во WL-1 является ортогональным дополнением пространства сплайн-разложенийна прореженной сетке VL-1 до пространства сплайнов на густой сетке VL по отно-шению к обычному скалярному произведению. Это означает, что пространство VLпредставляет прямую сумму VL-1 и WL-1 : VL = VL-1⊕WL-1. В отличие от классиче-ских вейвлетов, в [7] были найдены «материнские» вейвлеты вида (рис. 1, б):( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 1 11 0 0 1 1 12 2 4 2 1 2 2 2 21 2 21 2 2,2 2 2 9 2 12 2 1 9 2 2,t t t t t tt t t t t t¹ =− ϕ + ϕ − − ϕ − − ϕ + ϕ −¹ =ϕ −ϕ − + ϕ + ϕ − + ϕ − (2)для которых удовлетворяются условия ортогональности относительно скалярногопроизведения с производными:k (x i)ƒl (x j)dx 0 i, j и k,l 0,1. †−†´ ϕ‰ − ‰ − = e =Алгоритм с расщеплением вейвлет-преобразования эрмитовых кубических сплайнов 47Очевидно, что носитель данных вейвлетов много меньше минимального вклассической теории сплайн-вейвлетов, а именно, [0, 2]º[0, 7]. Также в [7] былоотмечено, что эти вейвлеты удобны для решения по методу Галеркина обыкно-венных дифференциальных уравнений второго порядка с нулевыми краевыми ус-ловиями Дирихле. А в [11] они были успешно использованы при решении инте-гральных уравнений второго рода.Что касается моделирования кривых, то часто ограничиваются рассмотрениемпериодического случая, когда первая и последняя точки кривой совпадают. Этосоответствует аппроксимации замкнутых кривых [12]. Для незамкнутых кривыхпроще всего вычесть из исходных координат уравнение прямой, соединяющейпервую и последнюю точки. Тогда их координаты обращаются в нуль, и соответ-ствующие базисные функции удаляются из базиса. В результате, как нетруднопроверить непосредственным вычислением интегралов от произведения произ-водных соответствующих базисных функций, условия ортогонального дополне-ния выполняются на конечном отрезке аппроксимации. Этот прием позволяет из-бежать существенных трудностей, связанных с построением приграничных вейв-летов [3, 4]. После такой модификации данных на любой сетке ƒL, L ≥ 0, кубиче-ский эрмитов сплайн с нулевыми значениями при u=a, b может быть представленкак( ) ( ) ( )2 1 2,0 ,1,0 ,11 0, ,L LL L L L Li i i ii iS u C N u C N u a u b−= == ” +” „ „ (3)где коэффициенты CiL,k, k = 0, 1, являются заданными значениями аппроксими-руемой функции и соответственно производными в узлах. Для дальнейшегоудобно записать базисные сплайн-функции в виде единой матрицы-строки0,1 1,0 1,1 2 ,1 ƒ , , ,...,LL = ⎡NL NL NL NL ⎤ ⎣ ⎦ и впредь собирать узловые значения сплайна ипроизводных в вектор ,1 ,0 ,1 ,10 1 1 2 , , ,..., . LL L L L L T С = ⎡⎣С С С С ⎤⎦ Тогда уравнение (3) пере-писывается как SL (u) = ƒL (u) CL.Аналогично обозначим базисные вейвлет-функции как MLi,k = ƒk (v - i), k = 0, 1 ei,и запишем их в виде матрицы-строки 0,1 1,0 1,1 2 ,1 , , ,..., L .¹L = ⎡ML M L ML ML ⎤ ⎣ ⎦ Соответст-вующие коэффициенты вейвлет-разложения на сетке ƒL будем собирать в вектор,1 ,0 ,1 ,10 1 1 2 , , , ..., . LL L L L L T D = ⎡⎣D D D D ⎤⎦ Для сетки ƒL-1, L ≥ 1, можно записать функцииƒL-1 и ƒL-1 в виде линейных комбинаций функций ƒL, так как каждую широкую ба-зисную функцию внутри отрезка аппроксимации можно построить из трех, а покраям интервала из двух, пар узких базисных функций ƒL-1 = ƒL PL и ƒL-1 = ƒL QL,где блоки матрицы PL составлены из коэффициентов соотношения (1):1 1 1 3 0 32 2 4 4,1 0 1 1 1 18 8 8 2 8T ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢− − − ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦тогда как блоки матрицы QL - из коэффициентов соотношения (2):2 4 2 21 0 21 .1 0 1 9 12 9⎡− − − ⎤T⎢⎣ − ⎥⎦48 Б.М. ШумиловЛюбая функция в VL может быть записана в виде суммы какой-то функции вVL-1 и какой-то функции в WL-1. Следовательно, справедливы равенстваƒL CL = ƒL-1 C L-1 + ƒL-1 DL-1 = ƒL PL C L-1 + ƒL QL DL-1. (4)Таким образом, восстановление коэффициентов эрмитового кубическогосплайна с нулевыми значениями по концам отрезка аппроксимации из коэффици-ентов вейвлет-разложения может быть записано как CL = PL C L-1 + QL DL-1, или,используя обозначения для блочных матриц,11 | .LL L LLС P Q СD−−⎡ ⎤= ⎡⎣ ⎤⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦(5)Следующий пример представляет матрицу [PL | QL], соответствующую L = 3:121 1 18 2 81 3 18 4 8121 1 1 12 8 2 83 1 3 14 8 4 83 3121 1 1 12 8 2 83 1 3 14 8 4 8121 1 12 8 83 1 14 8 812121 2 19 21 91 0 4 00 0122 1 2 121 9 21 91 0 4 0| 0 0122 1 2 121 9 21 91 0 4 00 0122 1 121 9 912P Q⎡ ⎤⎢ − − − ⎥ ⎢ ⎥⎢− − − ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ − − − − ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎢⎢⎢⎡⎣ ⎤⎦ = ⎢⎢− − − −⎢− − − − ⎢⎢⎢⎢⎢− − −⎢− − − ⎢⎢⎣ ⎦.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥Здесь и далее пустые позиции представляют собой нулевые элементы.Определим блочную матрицу, обратную к матрице [РL | QL]:1 | .LL LLA P QB⎡ ⎤ −⎢ ⎥ = ⎡⎣ ⎤⎦⎣ ⎦Тогда процесс создания версии с низшим разрешением CL-1, характеризуемойменьшим количеством коэффициентов, можно выразить матричным уравнениемCL-1 = AL C L,где AL является матрицей размерности 2L  2L+1.При этом потерянные детали собираются в другой вектор DL-1, определяемыйвыражениемDL-1 = BL C L,где BL - матрица той же размерности. Матрицы АL и BL называют фильтрами ана-лиза, a матрицы PL и QL - фильтрами синтеза [3].Процедуру разбиения CL на часть CL-1, соответствующую низшему разреше-нию, и уточняющие коэффициенты DL-1 можно применить рекурсивно и к самойАлгоритм с расщеплением вейвлет-преобразования эрмитовых кубических сплайнов 49этой части CL-1. Следовательно, исходные коэффициенты можно представить ввиде иерархии грубых версий c разрешениями C0, C1, …, CL-1 и уточняющих де-талей D0, D1, …, DL-1. Подобный рекурсивный процесс носит название блокафильтров [3]. При этом по величине вейвлет-коэффициентов D j, j =0, 1,…, L-1,можно судить о значимости соответствующих уточняющих деталей. Незначимыеубираются с целью сжатия информации. Окончательно, коэффициенты CL можновосстановить из последовательности C0, D0, D1, …, DL-1.К сожалению, как нетрудно заметить, матрицы, обратные по отношению к[РL | QL], теряют разреженную структуру. Это соответствует тому, как в классиче-ской теории вейвлетов разложение в явном виде базисных функций пространствасплайнов на густой сетке содержит бесконечную сумму базисных функций про-странства сплайнов на прореженной сетке и вейвлетов [2]. Суть предложенного в[3] для подобных случаев подхода состоит в том, что CL-1 и DL-1 можно вычис-лить из CL с помощью решения системы линейных уравнений (5). При этом мат-рицу [PL | QL] предлагается сделать ленточной, просто изменив порядок ее столб-цов так, чтобы столбцы матриц PL и QL перемежались. Таким образом, операциювейвлет-разложения можно осуществить и без представления и использованияблока фильтров в явном виде. Тем не менее, хотя разрешимость полученной сис-темы и гарантирована линейной независимостью базисных функций, вопрос еехорошей обусловленности остается открытым.Получение неявных конечных соотношений разложенияВ [6, 8] для частного случая эрмитовых сплайн-вейвлетов с помощью методанеопределенных коэффициентов были впервые получены неявные трехчленныесоотношения разложения, включая случай неравномерной сетки узлов сплайна(см. также [13]). Для представленного выше типа мультивейвлетов справедливыаналогичные результаты, которые, используя обозначения для блочных матриц,можно представить в следующем виде.Лемма 1. Пусть для уровня разрешения L, L ≥ 1,1 116 0 0 0 8 96 48 00 32 0 0 , 0 96 48 8 ,8 0 48 8 1 4 2 00 0 0 16 0 4 2 1G R⎡ ⎤ ⎡ − ⎤⎢ − ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ − ⎥ ⎢ − ⎥⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ − − ⎥⎦160 28 0 12 0 4 0 08 0 60 0 8 0 12 00 0 32 0 0 0 00 0 0 16 0 0 04 0 12 0 24 0 12, 0 12 0 8 0 72 0 , 0 0 0 32 0 4 00 0 0 0 8 0 120 4 0 12 0 0 00 0 12 0 16 0 00 28 08 0 60 816GL⎡ ⎤⎢ − ⎥⎢ − ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ − ⎥= ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ − ⎥⎢ − ⎥⎢⎣ ⎥⎦

Скачать электронную версию публикации