Torsion of an elastic rod with a multicircular cross-section.pdf Рассматривается задача о кручении изотропного однородного стержня приусловии отсутствия объёмных сил и внешних напряжений на его боковой поверх-ности.Предполагается, что сечение стержня плоскостью, ортогональной его боковойповерхности, имеет форму некоторого односвязного кругового n-угольника Dn,n=3, 4, …, обладающего n-кратной симметрией вращения относительно точки,принимаемой за начало O прямоугольной системы координат. Её оси абсцисс Oxи ординат Oy лежат в плоскости сечения, а ось аппликат совпадает с осью круго-вой симметрии стержня.Задачу будем решать,, пользуясь средствами теории функций комплексногопеременного. Примем плоскость Oxy за плоскость комплексного переменногоz=x+iy, а в качестве вершин области Dn примем точки2 ( 1), 1,...,k inek e k n² −= = .Считаем, что ориентированная граница Dn многоугольника Dn состоит из круго-вых дуг, образующих в ek внутренние углы области Dn,, равные £², 0 „ £ „ 2 .При кручении стержня закручивающими парами, векторные моменты которыхнаправлены по оси Ol аппликат, сечения не остаются плоскими, а искривляются.Компоненты смещения точки z=x+iy¶Dn даются формулами [1, с. 518]u = −µly, v = µlx, w = µϕ(x, y) ,где µ - постоянная (степень закручивания), а ϕ( x, y) - некоторая гармоническаяфункция, называемая функцией кручения. Она на •Dn удовлетворяет граничномуусловиюy cos (n, x) x cos(n, y)n•ϕ= −•,где через n обозначена внешняя нормаль к границе области Dn.Отметим, что такая функция ƒ(x,y) существует и может быть найдена как ре-шение задачи Неймана, например, методами теории потенциала.Кручение упругого стержня с кратно-круговой областью поперечного сечения 57Введём вместо функции ƒ(x,y) сопряжённую с ней гармоническую функциюƒ(x,y), определяемую с точностью до аддитивной постоянной из условий Коши -Римана:, , ( x, y) Dn .x y y x•ϕ •¹ •ϕ •¹= =− ¶• • • •Эти условия можно обобщить, заменяя дифференцирование по ортогональнымнаправлениям, образованным осями Ox, Oy, на дифференцирование по направле-нию внешней нормали и направлению по касательной t к •Dn , получающейся по-воротом нормали на угол ²/ 2 против хода стрелки часов.. Пусть s - дуга на •Dn .Из равенствcos(n, x) cos(t, y) dy ,ds= = cos(n, y) cos(t, x) dxds= − = −и условий Коши - Римана имеемd cos (n, x) cos(n, y) dx dy d .dn x y x ds y ds dsϕ •ϕ •ϕ •¹ •¹ ¹= + = + =• • • •Граничному условию для ƒ(x,y) можно придать видcos( , ) cos ( , ) 1 ( 2 2 ),2y n x x n y x dx y dy d x yn ds ds ds•ϕ= − = + = +•или, что то же самое,1 ( 2 2 )2d d x yds ds¹= + .Отсюда следует, что( , ) 1 ( 2 2 ) на2 n ¹ x y = x + y +C •D ,где C - произвольная постоянная. Положим её равной нулю. Видим, что гранич-ное условие для функции ¹( x, y) задаётся как её значения на границе области Dnи отыскание ¹( x, y) приводит к задаче Дирихле. Её можно в отдельных случаяхэффективно решить, применяя конформные отображения, что мы и сделаем при-менительно к данной задаче.Отметим, что компоненты напряжения даются формуламиXl y , Yl x , ( x, y) Dn .y x⎛ •¹ ⎞ ⎛ •¹ ⎞ = ®µ⎜ − ⎟ = ®µ⎜ + ⎟ ¶ ⎝ • ⎠ ⎝ • ⎠Напряжения Xl, Yl не меняются при замене ƒ на ƒ+const, ƒ - модуль сдвига.Пусть F(z)=ƒ(z)+iƒ(z) - комплексная функция кручения и z=f(ƒ) - конформноеотображение единичного круга E={ƒ: ƒ 0, имеет вид( ) ( )( ) 0( , , ; )!kk kk ku F z zk†=£ ¤= £ ¤ ¥ =¥ ” ,где ( )k ( 1)...( 1) a = a a + a + k − - символ Похгаммера.Для уравнения (*) одним из решений будетu1 ( z) = F (m1 − p2 , p1,m1; z) .Другое решение можно также получить в виде гипергеометрического ряда,умноженного на степенную функцию:1 1 ( )2 ( ) 1, 2 2 , 2 ; u z = z −m F p m − p m z .Решения u1(z), u2(z) линейно независимы.Вернемся к уравнению для t(ζ). Подсчитаем производную отношения t2(ζ) кt1(ζ):2 1 2 2 1 1 2 ( )2 2 2 1 21 1 1 1 2 11 1 ,d t t t t t t t t t W t t d t t t t‰ − ‰= = ‰ ‰ = ¨.По теореме Остроградского - Лиувилля определитель Вронского W(t1,t2) равенпостоянной, которую обозначим через С. Используя равенства2 ( )21 1d t C d C fd t t d= = ¨¨ ¨и возвращаясь от переменных z к ζ и от t к u, получаем функцию( )( )2 1 2 2 21 1 1 2 1, , ;( ), , ;nnt F p m p mft CF p m p m¨ − ¨¨ = =− ¨,дающую однолистное конформное отображение единичного круга.Очевидно, f(0)=0. Условие f(1)=e0=1 выполняется для( ) ( )( ) ( )2 1 11 2 1m m pCm m p… … −=… … −.Таким образом, отображение круга E на область Dn найдено и задача о круче-нии стержня решена.Функцию f(ζ) можно выразить через определенные интегралы, воспользовав-шись формулой [4, формула 7.211]( )( )( ) ( )11 10, , ,; 1 1 1,F z t t tz dtB£ ¤ ¥ = ¤− − ¥−¤− − −£¤ ¥ − ¤ ´ ,где ( ) ( )11 10B x, y t x 1 t y dt = ´ − − −- эйлеров интеграл первого рода. Бета-функция B(x,y) связана с гамма-функцией( ) 10x e t t x dt†… = ´ − −62 И.А. Александров- эйлеровым интегралом второго рода - соотношением( , ) ( ) ( )( )B x y x yx y… …=… +.После простых вычислений получаем( )( ) ( )( ) ( )2 2 1 2 22 2 2 2 110101 11 1p p m n p mp p m n p mt t t dtft t t dt− − −− − −− − ¨¨ = ¨− − ¨´´.В частности, при α=0( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1 12 2 201 1 1 1 1 12 2 201 11 1n n nn n nt t t dtft t t dt− − + − −− − − − +− − ¨¨ = ¨− − ¨´´.В заключение сделаем добавление, позволяющее сравнить решение указаннойвыше задачи с решением более простой задачи также о кручении стержня.Пусть Δ2n - прямолинейный многоугольник с n-кратной симметрией вращенияотносительно z=0. Будем считать, что n вершин многоугольника Δ2n даются точ-ками2 i (k 1)nek e²−= , k = 1,...,n , а остальные вершины совпадают с точками§k = ek a , где a = rei¥ , 0 < r < 1 , 0 2n²< ¥ < . Область Δ2n имеет вид простой звездыс n треугольными зубцами. Пусть απ - угол Δ2n в точке ek, βπ - угол этой же об-ласти в точке εk. Так как для суммы углов при вершинах многоугольника Δ2nсправедлива формула n(απ+βπ) = π(2n−2),то2n²¤ = − £ − .Конформное отображение z=f(ζ), f(0)=0, f(1)=1, круга E на Δ2n дается формулойКристоффеля - Шварца( ) ( ) ( )2 1 10z f 1 1 n bn n n dC¨£− −£−= ¨ = ´ − ¨ − ¨ ¨ ,в которой( ) ( )2 1 1 10C 1 n bn n n d £− −£−= ´ − ¨ − ¨ ¨ ,b - прообраз вершины reiγ многоугольника Δ2n, т.е.f −1(reiγ) = b - некоторая точкана дуге окружности, лежащая между точками e1 и e2. Существуют способы её на-хождения, использующие отображения полуплоскости на круговые треугольникиВ выполнении работы принимала участие студентка III курса ММФЕ.А. Паньковская.

Скачать электронную версию публикации