Removable sets and the distribution of intrinsicboundary components under quasi-isometries of domains in Rn.pdf В работах [1] и [2] А.В. Сычев и В.В. Асеев рассмотрели случаи устранимостимножеств при квазиконформных отображениях. В данной статье исследуются во-просы устранимости различных множеств при ƒ-квазиизометрических и ƒ-квази-изометрических отображениях. Естественно, что результаты работ [1, 2] справед-ливы для ƒ- и ƒ-квазиизометрий, которые являются подклассами квазиконформ-ных отображений. Однако, так как ƒ- и ƒ-квазиизометрические отображения яв-ляются строгими подклассами квазиконформных, то существует возможность по-лучения более сильных результатов при их исследованиях. Например, в силу ре-зультатов работ [1, 2] следует, что спрямляемые кривые, лежащие в пространст-венной области, устранимы при квазиконформных отображениях, в частности ипри ƒ-, ƒ-квазиизометриях этой области. Однако при ƒ- и ƒ-квазиизометрическихотображениях спрямляемые кривые переходят в спрямляемые, что невозможнопри квазиконформных отображениях. Тем самым результаты работ [1, 2] для слу-чая ƒ- и ƒ-квазиизометрий существенно уточняются. Также в данной работе рас-сматривается вопрос о распределении различных множеств при ƒ- и ƒ-квазиизо-метрических отображениях, что является естественным продолжением вопроса ихустранимости.1. Основные понятия и обозначенияПусть Rn, n ≥ 1 есть n-мерное евклидово пространство точек x = (x1,x2,...,xn ) .Под областью D будем понимать ограниченный гомеоморф шара в Rn. Пусть2 2 1/21( , ) ( ( ))ni iid x y x y== ƒ − есть евклидово расстояние между точками x и y в Rn.Обозначим через Bn(x,r) (Sn−1(x,r)) открытый шар (сферу) в Rn с центром вточке x радиуса r > 0. Пусть A есть множество из Rn. Обозначим через А евкли-дово замыкание, через ∂A евклидову границу, через d(A) евклидов диаметр мно-жества A в Rn.1.1. Определение. Область D  Rn назовем жордановой, если она гомеоморф-на шару и ∂D гомеоморфна сфере из Rn.1.2. Определение. Непрерывное отображение L:ƒ→D, где ƒ есть некоторыйотрезок из R1, назовем путем, или кривой, в области D.Пусть L:[a, b]→ Rn есть путь в Rn и a = t0 ≤ t1 ≤…≤ tk = b есть разбиение сегмента[a, b].1.3. Определение. Длиной l(L) пути L называется точная верхняя грань сумм11( ) ( )ki iiL t L t −=ƒ − по всем разбиениям [a, b]. Если l(L) < ∞, то говорят, что путь Lспрямляем; если l(L) = ∞, то говорят, что путь L неспрямляем. Если путь L:[0,1)→Rn полуоткрыт, то говорят, что он спрямляем, если1lim ( ([0, ]))tl L t< ∞.Для пути L:[0,1)→D через C(L,1) обозначим предельное множество отображе-ния L в точке 1: bC(L,1)  существует последовательность чисел tk→1, {tk} [0, 1) такая, что L (tk) → b в евклидовой норме при k  .Определим в области D  Rn следующие метрики: внутреннюю метрику Рима-на - Александрова ƒD(x, y), равную точной нижней грани длин кривых, лежащих вD и соединяющих точки x, y из D; относительное расстояние Мазуркевича ƒD(x, y),равное точной нижней грани евклидовых диаметров связных подмножеств облас-ти D, содержащих точки x, y из D. Очевидно, что имеет место следующее соотно-шение:d(x,y) ≤ ƒD(x,y) ≤ ƒD(x,y) , x,yD. (1)Отсюда следует очевидное утверждение:1.4. Утверждение. Если последовательность точек {xm} из D фундаментальнапо метрике ƒD, то она одновременно фундаментальна по метрикам ƒD и d, причем{xm} сходится в евклидовой метрике к некоторой точке bD.1.5. Определение. Гомеоморфизм f :DG называется ƒ-квазиизометрией,если существует число K [1,) , такое, чтоK−1ƒD(x,y)≤ƒG(f (x), f (y))≤KƒD(x,y) , x,yD. (2)Гомеоморфизм f :DG называется ƒ-квазиизометрией, если существуетчисло K [1,) , такое, чтоK−1ƒD(x,y)≤ƒG(f (x), f (y))≤KƒD(x,y) , x,yD. (3)В силу (1) очевидно, что любая ƒ-квазиизометрия одновременно является и ƒ-квазиизометрией. Отсюда следует, что любой результат о поведении ƒ-квазиизометрических гомеоморфизмов справедлив также и для класса ƒ-ква-зиизометрий. Обратное утверждение, в общем случае, неверно.1.6. Определение. Величины,D( ) sup D( , )x y AA x yƒ = ƒ и,D( ) sup D( , )x y AA x yƒ = ƒназовем соответственно ƒD-диаметром и ƒD-диаметром множества A.Замечание 1. Из ограниченности области D следует, что ƒD(D)≤d(D)

Скачать электронную версию публикации